chuyên đề đại số lớp 10

Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP §1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến 1.Định nghĩa : Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai.. Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai 2.Mệnh đề phủ định:

Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

1.Định nghĩa :

Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai

Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai

2.Mệnh đề phủ định:

Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P

- Ký hiệu là P Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P: “ 3 ≤ 5 ”

3 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :

Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo

- Ký hiệu là P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai

Cho mệnh đề P ⇒ Q Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q

4 Mệnh đề tương đương

Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương

đương , ký hiệu P ⇔ Q.Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng

5 Phủ định của mệnh đề “ ∀ x ∈ X, P(x) ” là mệnh đề “ ∃ x ∈ X, P(x)”

Phủ định của mệnh đề “ ∃ x ∈ X, P(x) ” là mệnh đề “ ∀ x ∈ X, P(x)”

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC

1:Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng

- Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “ ∀ x ∈ X , P(x) ⇒ Q(x)”

2: Chứng minh phản chứng đinh lý “ ∀ x ∈ X , P(x) ⇒ Q(x)” gồm 2 bước sau:

- Giả sử tồn tại x 0 thỏa P(x 0 )đúng và Q(x 0 ) sai

- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn

3: Cho định lý “ ∀ x ∈ X , P(x) ⇒ Q(x)” Khi đó

a) P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)b) Q(x) là điều kiện cần để có P(x) 4: Cho định lý “ ∀ x ∈ X , P(x) ⇒ Q(x)” (1)

c) Nếu mệnh đề đảo “ ∀ x ∈ X , Q(x) ⇒ P(x)” đúng được gọi là dịnh lý đảo của (1)d) Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại

a “ ∀ x ∈ X , P(x) ⇔ Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)

§3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Tập hợp là khái niệm của toán học

e) Có 2 cách trình bày tập hợp

- Liệtkê các phần tử :

a VD : A = { a; 1; 3; 4; b } hoặc N = { 0 ; 1; 2; ; n ; }

- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A = { {x/ P(x) } a VD : A = { ∈ N/ x lẻ và x < 6 } ⇒ A = { 1 ; 3; 5 } b) * Tập con : A ⊂ B ⇔ (x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) c) Cho A ≠ ∅ có ít nhất 2 tập con là ∅ và A 2 các phép toán trên tập hợp : Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp A ∩ B = { x /x ∈ A và x ∈ B } A ∪ B = { x /x ∈ A hoặc x ∈ B } A\ B = { x /x ∈ A và x ∉ B } - Chú ý: Nếu A ⊂ E thì C E A = A\ B = { x /x ∈ E và x ∉ A }

.các tập con của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn Đoạn [a ; b] { ∈ R/ a ≤ x ≤ b } Khoảng (a ; b ) Khoảng (- ∞ ; a) Khoảng(a ; + ∞ ) { ∈ R/ a < x < b } { ∈ R/ x < a } { ∈ R/ a< x } Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (- ∞ ; a] Nửa khoảng [a ; ∞ ) {∈ R/ a ≤ x < b } { ∈ R/ a < x ≤ b } { ∈ R/ x ≤ a } { ∈ R/ a ≤ x } BÀI TẬP Phần I : Mệnh đề 2) Các mệnh đề sau đúng hay sai ?Giải thích a)Hai tam giác bằng nhau khi chỉ khi chúng cĩ diện tích bằng nhau /////// [ ] /////////////

//////////// [ ] ////////

)/////////////////////

////////////( ) /////////

///////////////////(

////////////[ ) /////////

////////////( ] /////////

]/////////////////////

///////////////////[

b) Hai tam giác bằng nhau khi chỉ khi chúng đồng dạng và cĩ một cạnh bằng nhau

c)Một tam giác là vuơng khi chỉ khi nĩ cĩ một gĩc bằng tổng hai gĩc cịn lại

d)Một tam giác là cân khi chỉ khi cĩ hai trung tuyến bằng nhau

3) Các mệnh đề sau đúng hay sai?Giải thích

Xét tính đúng sai của các mệnh đề và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề

6) Cho A; B; C là những tập hợp Mệnh đề nào sau đây sai:

a/ (A\B)∪B= A∪B b/(A\B)∩(B\A)=Φ

c/A∩(B∪C)=(A∩B)∪C d/A⊂B⊂C ⇒A∩B∩C=A

7) Cho hình chữ nhật cĩ chiều dài a = 5,8cm±0,1cm; b = 10,2cm±0,2cm Vậy chu vi của

hình chữ nhật là

a/ P = 32cm±0,6cm b/P = 16cm±0,3cm

c/P = 59,16cm±0,6cm d/P = 32cm±0,2cm

8) Cho các mệnh đề sau hãy chọn ra mệnh đề đúng

a) 19 là hợp sốb) Nếu a là số nguyên tố thì a3 là số nguyên tốc) 0 < x < 2 ⇒ x2 < 4

d) Tồn tại x sao cho x2 + 1 > 0

9) Xét tính đúng sai của các suy luận sau: ( mệnh đề kéo theo )

e) Cho hai số x ≠ – 1 và y ≠ – 1 Chứng minh rằng x + y + xy ≠ – 1

11) Nếu tích ab chia hết cho 3 thì a chia hết cho 3 hay b chia hết cho 3

12) Nếu một tứ giác có tổng hai cạnh đôi diện bằng nhau thì tứ giác đó là một tứ giác

ngoại tiếp

13) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông thì đường trung tuyến thuộc cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền

14) Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180

o thì ABCD là

một tứ giác nội tiếp

15) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có hai phân giác trong BB’ và CC’ bằng

nhau thì tam giác ABC cân tại A

16) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Phương trình x2 − + = 3x 1 0 có hai nghiệm phân biệt

b) 2k là số chẵn ( k là số nguyên bất kì )

c) 211 – 1 chia hết cho 11

d) Cho tứ giác ABDC: Xét hai mệnh đề

e) P: Tứ giác ABCD là hình vuông

f) Q: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng vuông góc với nhau.g) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách khác nhau, xét tính đúng sai của các mệnh đề đó

h) Cho mệnh đề chứa biến P(n) : n2 – 1 chia hết cho 4 với n là số nguyên Xét tính đúng sai của mệnh đề khi n = 5 và n = 2.

17) Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) ∀ ∈n N n* , 2 − 1 là bộ của 3;

b) ∀ ∈x R, x2 – x + 1 > 0 ;

c) ∃x ∈ Q, x2 = 3;

d) ∃n ∈ N, 2n +1 là số nguyên tố;e) ∀ ∈n N, 2n ≥ n + 2 ;

18) Xét tính đúng sai và nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề:

19) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề:

P: Tổng 2 góc đối của tứ giác bằng 1800 ;

Q: Tứ giác nội tiếp được đường tròn

Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P ⇒Q và xét tính đúng sai của mệnh đề này

Tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu ………

- Viết lại mệnh đề dưới dạng một mệnh đề tương đương

22) Chứng mình rằng: Với hai số dương a,b thì a b+ ≥2 ab

25) Xác định các tập hợp con của các tập hợp sau:

g) (– ∞ ;2] ∩ [– 2;+ ∞ ) i) (– 2;3) \ (1;5) j) (– 2;3) \ [1;5) k) R \(2;+ ∞ ) R\ (– ∞ ;3] m) (– 1;0] ∩ [0;1) n) (– 3;5] ∩ Z o) (1;2) ∩ Z p) (1;2] ∩ Z q) [– 3;5] ∩ N

33) Xác định và biễu diễn các tập hợp sau trên trục số:

38) Cho A = [m;m + 2] và B = [n;n + 1] Tìm điều kiện của các số m và n để A ∩ B = ∅ 39) Cho A = (0;2] và B = [1;4) Tìm CR(A ∪ B) và CR(A ∩ B)

40) Xác định các th A và B biết rằng A ∩ B = {3,6,9} ; A\B = {1,5,7,8} ; B\A = {2,10}

41) Cho các tập hợp A, B, C khác rỗng hãy chọn kết quả sai trong các câu sau:

a/A∩B∩C ={x/ x∈A và x∈B và x∈C} b/A∪B∪C ={x/ x∈A hay x∈B hay

52) Mỗi học sinh trong lớp 10C đều chơi bĩng đá hoặc bĩng chuyền.Biết rằng cĩ 25 bạn

chơi bĩng đá,20 bạn chơi bĩng chuyền và 10 bạn chơi cả 2 mơn.Hỏi lớp 10C cĩ mấy học sinh

53) Lớp 10B cĩ 51 em,trong đĩ cĩ 10 em giỏi Văn,12 em giỏi Tốn,14 em giỏi Anh

54) Cĩ 5 em giỏi 2 mơn Văn và Tốn,6 em giỏi 2 mơn Anh và Văn,7 em giỏi 2 mơn Anh

và Tốn và 2 em giỏi cả 3 mơn Văn,Tốn,Anh.Hỏi cĩ bao nhiêu em khơng giỏi mơn nào?

Chương II: HÀM SỐ

§1: Đại cương về hàm số

1:Định nghĩa: Cho D ⊂ R hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi x∈D là 1 và chỉ 1 số

- Khi đó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác định

2: Sự biến thiên hàm số

- Cho f(x) xác định trên K

a) f đồng biến ( tăng) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)b) f nghịch biến ( giảm) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2⇒ f(x1) > f(x2)

3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :

+ f gọi là chẵn trên D nếu ∀x∈D ⇒ -x ∈D và f(-x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

+ f gọi là lẻ trên D nếu ∀x∈D ⇒ -x ∈D và f(-x) = - f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng

4: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có

- Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q

Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)

Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R

a. a > 0 hàm số đồng biến trên R

b. a < 0 hàm số nghịch biến trên R

2 Bảng biến thiên :

§3:HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c∈ R và a ≠ 0

• Tập xác định là R

• Đỉnh I (

2

b a

− ;−4a∆ )

• Hàm số nghịch biến trên khoảng (

-∞;2

b a

− )và đồng biến trên khoảng (

2

b a

− ; +∞)

• Bảng biến thiên

x - ∞

2

b a

− +∞

−

1 x

2 − + +

3 +

−

− +

65)

2 2

4

x y

x x

−

=

− −

6 89

x y x

−

=

−

x y

x x

+

=

− −

75)

x y

2 1 2

2 − +

−

− x x

) x )(

x (

81) y = (3x+4)(3−x)

2 + + ) x x

x 1 x

1 − − +

x x 2

2

− +

−

−

3 x 2

x 2

−

−

+ +

x 3 2 x

−

− + +

1 x

−

−

91) : Cho hàm số f x( )=x2+ x−1

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f(4), ( 2), ( )f f π chính xác đến hàng phần trăm.

92) Tìm điều kiện của m để hàm số sau xác định trên [0;1)

x y x

y x

= +

1 x

−+

2 2

−

− +

− + +

x x

x x

1 1

1 1 0

1 1

2

2

x

; x

x

;

x

; x

1 1 0

1 2

2

x

; x

x

;

x

; x

x − 1

131) y = −|x + 1|132) y = x + |x − 1|

0 x x

2 neáu neáu

0 x x

0 x 1

x

neáu neáu

138) Cho hàm số y =  x + 9 + 4 ;thì đồ thị của hàm số

đó:

a) cắt trục hoành tại 2 điểm b) cắt trục hoành tại 1 điểm

c) Không cắt trục tung d) Không cắt trục hoành

139) Cho hàm số y = -5 - 2 x ;thì đồ thị của hàm số đó:

a) cắt trục hoành tại 2 điểm b) cắt trục hoành tại 1 điểm

c) Không cắt trục tung d) Không cắt trục hoành

140) : Cho 3 dường thẳng ∆1 : y = 2x -1 ; ∆2 : y = 8 - x và

a) Đi qua gốc tọa độ O

b) Đi qua điểm M(-2,3)c) Song song với đường thẳng y= 2x

Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng :

146) Xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b :

a/ Đi qua 2 điểm A(−1, −20) và B(3, 8)

b/ Đi qua C(4, −3) và song song với đường thẳng y = −32x + 1

c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2

d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = −21x + 5

e/ Đi qua M(−1, 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5

147) Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường

thẳng y= ax+b

a) Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hòanh độ bằng -2 và cắt đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2

- b)Song song với đường thẳng 1

148) Cho điểm ( , )A x y , hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng o o

với A qua trục hòanh

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng y=x-2 và y=2-x đối xứng với nhau qua trục hòanh

149) Tìm biểu thức xác định hàm số y=f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng

đối xứng với đường thẳng y= -2x+3 qua trục hòanh

150) Tìm điểm A sao cho đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua A, dù m lấy bất kỳ

giá trị nào

Tìm điểm B sao cho đường thẳng y=mx-3-x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào

151) Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho

a) Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và mx+5 phân biệt và đồng quy

b) Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân biệt và đồng quy

152) Cho Cho 2 đường thẳng ∆1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ; ∆2 : y = (m – 2) x + m+4

a) Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng

b) Định m để đồ thị ∆1 song song với ∆2

153) Gọi A vàB là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số

f(x)=(m-1)x +2 và có hòanh độ lần lượt là -1 và 3

a/ Xác định tọa độ của hai điểm A và B

b/ Với điều kiện nào của m thì điểm A nằm ở phía trên trục hòanh ?

c/ Với điều kiện nào của m thì điểm B nằm ở phía trên trục hòanh ?

d/ Với điều kiện nào của m thì hai điểm A và B cùng nằm

ở phía trên trục hòanh ? Từ đó hãy trả lời câu hỏi : Với điều kiện nào của m thì f(x) > 0 với mọi x thuộc đọan [-1,3]

154) Cho (H) là đồ thị hàm số y = 3x 

a) Khi tịnh tiến (H) sang phải 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? b) Khi tịnh tiến (H) lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?c) Khi tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị,rồi tịnh tiến lên trên 2 đơn vị ; ta được đồ thị hàm số nào ?

2 + 2x

2 + bx + c ( với a< c < 0 ) thì đồ thị của parabol đó:

a) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ cùng dấu b) tiếp xúc với trục hoành

c) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ trái dấu d) Cả 3 đều sai

178) Với giá trị nào của m thì đỉnh đồ thị y = x

2 + x + m nằm trên đường thẳng

y =43

179) Tìm Parabol y = ax

2 + 3x − 2, biết rằng Parabol đó :a/ Qua điểm A(1; 5) b/ Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2c/ Có trục đối xứng x = −3 d/ Có đỉnh I(−21; −114 )

e/ Đạt cực tiểu tại x = 1

180) Tìm Parabol y = ax

2 + bx + c biết rằng Parabol đó :a/ Đi qua 3 điểm A(−1; 2) ; B(2; 0) ; C(3; 1)

b/ Có đỉnh S(2; −1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3.

c/ Đạt cực đại tại I(1; 3) và đi qua gốc tọa độ

d/ Đạt cực tiểu bằng 4 tại x = −2 và đi qua B(0; 6)

e/ Cắt Ox tại 2 điểm có hoành độ là −1 và 2, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng −2

181) Cho hàm số y = 2x

2 + 2mx + m − 1

a/ Định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ

b/ Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) khi m = 1

c/ Tìm giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng y = −x − 1

d/ Vẽ đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ của (P)

184) Xác định phương trình Parabol:

a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x = 23b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2

c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)d) y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)e) y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh yI = - 1

185) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol(p):

y= x có đồ thị là parabol(P) Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của hàm số

187) Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối

xứng của mỗi parabol sau đây Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớnnhất của mỗi hàm số tương ứng

y= − +x x+ và đường thẳng y=m

189) Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc tọa

e) Đỉnh I(2;-2)f) Qua A(-1;6) và tung độ đỉnh bằng1

4

−

191) Xác định hàm số bậc hai (p): y=ax2+ +bx c, biết (p)

a) Qua A(0;-1), B(1;-1) và C(-1;1)

193) Hàm số bậc hai f(x) = ax

2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng 3

4

khi 1

2

x= và nhận giá trị bằng 1 khi x=1

a)Xác định các hệ số a,b và c Khảo sát sự biến thiên ,vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa nhận được

b) Xét đường thẳng y=mx, ký hiệu bởi (d) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đọan thẳng AB

Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1: Đại cương về phương trình

1.Các phép biến đổi tương đương của phương trình:

• Thực hiện các phép biến đổi trong từng vế nhưng không làm thay đổi tập xác định củaphương trình

• Dùng quy tắc chuyển vế

• Nhân hai vế của phương trình với cùng một biểu thức xác định và khác 0 với mọi giá trị của ẩn thuộc tập xác địnhcủa phương trình

• Bình phương hai vế của phương trình có hai vế luôn luôn cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trị thuộc tập xác định của phương trình

2.Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :

• Bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả

4 1

3

x

x x

+

= +

2 (

5

3 − = x+ −x + x+

x x

y y

y+

x x

1

3+ − +

3 2 1

2 3

3 3

x x

4 1

3

x

x x

+

= +

x x

+ + + =+

5 2 1

1

3+ − +

4 1

1 2 1 2

2

+

− +

= +

+

x x

x

254)

2 2

1

+

− +

−

2 2

x

) 11 ( 2 2

13 2

−

x

x x

x x

8 3

4 1

4 1

2 1

3

2 −

= +

x x

x

) (

2 1

2 1

− +

−

+

x

x x x

x x

x

3 2 3 1

1

+

+

= + +

−

x

x x

x

) 2 ( 2 2

1 2

−

+

x

x x

x x

x

2 1

2

2

−

= +

−

+

x x x x

1 1

2

− +

x

272)

2 1

x x

+ + − =+

2 1

x

x + 7

2

2 +

x

+ 2)(5x – 2) =

1 2

2 5 +

−

x x

2 1

1

2 + −

= +

x x

2 2

2

2 −

= +

x x

x

2 +

x

- 2

1 (

11 3

− +

−

x x x

7 1

1

x x

x

x− − − = − −

3 1

2 1

1

x x

x x

x+ + − − + = −

3 4

1 2

3 7 3 3

1

x

x x

x x

−

2 6 4

3 3 2

x

2 1

3 1

4 1

1

x

x x

−

− +

Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

323) m(x – 4) = 5x 2 −

324) m x2( + − = − 1 1) (2 m x)

1 2

m x

m x