b p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng từng vế ta ức cần chứng minh... Chứng minh nh bài 1... Chứng minh bằng phản chứng... Bất ẳng thức 1 ợc chứng minh... Vậy hai số ny bằng
Trang 1BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI
V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI
1 Giả sử 7 l số hữu tỉ 7 m
n
(tối giản) Suy ra
2
2
m
n
(1) ẳng thức ny chứng tỏ m 72 m 7 l số nguyn tố nn m 7 ặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) v (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại c n2 7 v v 7 l số nguyn tố nn n 7 m và n cùng chia hết cho 7 nn phn số m
n khng tối giản, tri giả thiết Vậy 7 khng phải l
số hữu tỉ; do 7 l số v tỉ
2 Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) vì (ad bc)2 0
3 Cách 1 : Từ x + y = 2 ta c y = 2 - x Do : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 +
2 2
Vậy min S = 2 x = y = 1
Cách 2 : p dụng bất ẳng thức Bunh a = x, c = 1, b = y, d = 1,
Ta có :(x + y)2 (x2 + y2)(1 + 1) 4 ) = 2S S.2 mim S = 2 khi x = y = 1
4 b) p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng
từng vế ta ức cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c c) Với cc g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c :
3a 5b
2
(3a + 5b)2 4.15P (vì P = a.b) 122 60P
P 12
5 max P = 12
5 Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5
5 Ta có b = 1 - a, do M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) Dấu = xảy ra khi a
=
Vậy min M = a = b =
6 ặt a = 1 + x b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x)3 = 1 - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3
Suy ra : b 1 x Ta lại c a = 1 + x, nn : a + b 1 + x + 1 x = 2
Với a = 1, b = 1 th a3 + b3 = 2 v a + b = 2 Vậy max N = 2 khi a = b = 1
7 Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b)
Trang 28 Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b | a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2 4ab > 0 ab > 0 Vậy a v b l hai số cng dấu
9 a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0
b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
10 a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2)
b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2 Khai triển v rt gọn, ta ợc : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
11 a)
4
b) x2 4x 5 (x 2)2 33 | x 2 | 3 -3 x 2 3 1 x 5
c) 2x(2x 1) 2x 1 (2x 1)2 0 Nhng (2x 1)2 0 thể : 2x 1
= 0
Vậy : x =
12 Viết ẳng thức cho dới dạng : a2 + d2 ab ac ad = 0 (1) Nhn hai vế của (1) với 4 rồi a về dạng : a (a 2c)2 + (a 2d)2 = 0 (2) Do ta c :
a = a 2b = a 2c = a 2d = = b = c = d = 0
13 2M = (a + b 2)2 + (a 1)2 + (b 1)2 8 2.1998 M 1998
Dấu = xảy ra khi c ồng thời
a
1 0
1 0
Vậy min M =1998a = b= 1
14 Giải tng tự bi
15 a ẳng thức ạ g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0
16
2
17 a) 9 16 3 4 7 Vậy 7 15 < 7
b) 17 5 1 16 4 1 4 2 1 7 49 45
d) Giả sử
2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 3 22 3 18 12 18 12 Bất ẳng thức cuối cng ng, nn : 3 2 2 3
18 Cc số c thể l 1,42 v 2 3
2
19.Viết lại phng trnh dới dạng :
3(x 1) 4 5(x 1) 16 6 (x 1)
Trang 3Vế tri của phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn 6 Vậy
ẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế ều bằng 6, suy ra x = -1
20 Bất ẳng thức Cauchy ab a b
2
viết lại dới dạng
2
a b ab
2
(*) (a, b 0)
p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy
Ta ợc :
2
2x xy
2
Dấu = xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức l khi x = 1, y = 2 max A = 2
x = 2, y = 2
21 Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng : 1 2
a b
ab
p dụng ta c S > 2.1998
1999
22 Chứng minh nh bài 1
23 a)
x
b) Ta có :
A
Theo câu a :
a) Từ cu b suy ra :
0
Vì x y 2
yx (câu a) b) Do :
4
2
2
24 a) G 2 = m (m : số hữu tỉ) 2 = m2 1 2 l số hữu
tỉ (v l)
b) Giả sử m + 3
n = a (a : số hữu tỉ) 3
n = a m 3 = n(a m)
3 l số hữu tỉ, v l
25 C, chẳng hạn 2(5 2)5
26 ặt
2
y x y x Dễ dng chứng minh
2
y x nên
a2 4, do
| a | 2 (1) Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 2 + 4 3a
a2 3a + 2 0 (a 1)(a 2) 0 (2)
Từ (1) suy ra a 2 hoặc a -2 Nếu a 2 th (2) ng Nếu a -2 thì (2) cng ng Bi ton ợc chứng minh
27 Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với :
Trang 4
2 2 2
x z y x z x x z y x z y xyz
0
x y z
Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2(y z) + z3y2(z x) 0 (1)
Biểu thức khng ổi khi hon vị vng x y z x nn c thể giả sử x l
số lớn nhất Xt hai trờng hợp :
a) x y z > 0 Tch z x ở (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với :
x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0
z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0
Dễ thấy x y 0 , x3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nn bất ẳng thức trn ng
b) x z y > 0 Tch x y ở (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với :
x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0
z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0
Dễ thấy bất ẳng thức trn dng
Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t với :
28 Chứng minh bằng phản chứng Giả sử tổ ữu tỉ a với số v tỉ b l số hữu tỉ c Ta c : b = c a Ta thấy, hiệu ữu tỉ c v a l số hữu
tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết số v tỉ
29 a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a (a + b)2 2(a2 + b2)
b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c 2 Khai triển v rt gọn ta ợc : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 3 b2 + c2)
c) Tng tự nh câu b
30 Giả sử a + b > 2 8 a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 2 + 3ab(a + b) > 8
ab(a + b) > 2 b) a3 + b3 Chia hai vế cho số dng a + b : ab
> a2 ab +
(a b)2 Vậy a + b 2
31 Cách x x ; y y nên x + y x + y Suy ra x + y là
số nguyn khng vợt qu x + y (1) Theo ịnh ngha phần nguyn, xy là
số nguyn lớn nhất khng vợt qu x + y (2) Từ (1) v (2) suy ra : x + y
xy
Cách 2 : Theo ịnh ngha phần nguyn : 0 x - x < 1 ; 0 y - y < 1
Suy ra : 0 (x + y) ( x + y ) < 2 Xt hai trờng hợp :
- Nếu 0 (x + y) ( x + y ) < 1 thì xy = x + y (1)
- Nếu 1 (x + y) ( x + y ) < 2 thì 0 (x + y) ( x + y + 1) < 1 nên
xy = x + y + 1 (2) Trong cả hai trờng hợp ta ều c : x +
y + xy
Trang 532 Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nn tử v mẫu của A l cc số dng , suy ra A > 0 do : A lớn nhất 1
A nhỏ nhất x2 6x + 17 nhỏ nhất Vậy max A = 1
8 x = 3
33 Khng ợc dng php hon vị vng quanh x y z x v giả sử x
y z
Cách 1 : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho 3 số dng x, y, z :
3
Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y
Ta c x y2 (do x,
y > 0) nn ể chứng minh x y z 3
(1) (1) xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d
xy + z2 yz xz 0 y(x z) z(x z)(y z) 0 (2)
(2) ng với giả thiết rằng z l số nhỏ nhất t số x, y, z, do (1) ng
Từ tm ợc gi trị nhỏ nhất của x
y
34 Ta có x + y = 4 x2 + 2xy + 6 Ta lại c (x y)2 0 x2 2xy + y2
0 Từ suy ra 2(x2 + y2) 16 + y 8 min A = 8 khi chỉ khi x = y = 2
35 p dụng bất ẳng t ho ba số khng m :
+ z 3.3xyz (1)
2 = (x + y + (z + x) 3.3(xy)(y z)(z x) (2)
A
A =
9
3
2 9
khi v chỉ khi x = y = z = 1
3
36 a) C thể b, c) Khng thể
37 Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b)
38 p dụng bất ẳng thức 1 4 2
xy (x y)
với x, y > 0 :
2
Tng tự
2
(2) Cộng (1) với (2)
2
Trang 6Cần chứng minh B 1
2, bất ẳng thức ny tng ng với : 2B 1 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2
a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0 (a c)2 + (b d)2 0 : ng
39 - Nếu 0 x - x < thì 0 2x - 2 x < 1 nên 2x = 2 x
- Nếu x - x < 1 thì 1 2x - 2 x < 2 0 2x (2 x + 1) < 1 2x = 2
x + 1
40 Ta sẽ chứng minh tồn tại cc số tự nhin m, p sao cho :
m chữsố0
96000 00 a + 15p <
m chữsố0
97000 00
Tức l 96 am 15pm
10 10 < 97 (1) Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10k 1 a + 15
< 10k
1 ak 15k 1
10 10 10 (2) ặt xn ak 15pk
10 10 Theo (2)
Ta cĩ x1 < 1 và 15k
10 < 1
Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc n tng dần, mỗi lần tng khng qu 1 n vị, khi xn sẽ trải trị 1, 2, 3, ến một lc no ta c xp = 96 Khi 96 tức l 96 ak 15pk
10 10 < 97 Bất
ẳng thức (1) ợc chứng minh
42 a) Do hai vế của bất ẳng hứ g m nn ta c :
| A + B | = | A | + | B | + B |2 = ( | A | + | B | )2
A2 + B2 + 2AB + 2| AB | AB = | AB | (bất ẳng thức
ng) Dấu = xảy ra
b) Ta cĩ : M = | x 3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5
Dấu = xả hi (x + 2)(3 x) 0 -2 x 3 (lập bảng xt dấu)
c) Phng ho | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x |
(2x + 5)(4 x) 0 -5/2 x 4
43 iều kiện tồn tại của phng trnh : x2 4x 5 0 x 1
x 5
ặt ẩn phụ 2
x 4x 5 y 0 , ta ợc : 2y2 3y 2 = 0 (y 2)(2y + 1) = 0
45 Vơ nghiệm
46 iều kiện tồn tại của x l x 0 Do : A = x + x 0 min A = 0
x = 0
47 iều kiện : x 3 ặt 3 x = y 0, ta cĩ : y2 = 3 x x = 3 y2
B = 3 y2 + y = - (y )2 + 13
4 13
4 max B = 13
4 y = x = 11
4
48 a) Xét a2 và b2 Từ suy ra a = b
Trang 7b) 5 13 4 3 5 (2 3 1) 42 3 3 1 Vậy hai số ny bằng
nhau
c) Ta có :
n 2 n 1 n 2 n 1 1 và n+1 n n 1 n1
Mà n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 n
49 A = 1 - | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| - )2 +
Từ suy ra : min A = x = hoặc x = 1/6
51 M = 4
52 x = 1 ; y = 2 ; z = -3
53 P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1 min P = 1 2 x 3
5 5
54 Cần nhớ cch giải một số phng trnh dạng sau :
2
B 0
a) a phng trnh về dạng : A
b) a phng trnh về dạng : AB
c) Phng trnh c dạng : A B
d) a phng trnh về dạng : A
e) a phng trnh về dạng : | | B | = 0
g, h, i) Phng trnh
k) ặt x 1 = y 0, rnh về dạng : | y 2 | + | y 3 | = 1 Xt dấu
vế tri
l) ặt : 3x 5 v 0 ; 7x 4 z 0 ; 2x 2 t 0
Từ suy ra : u = z tức l :
8x 1 7x 4 x3
55 Cách 1 : Xét
x y 2 2(x y) x y 2 2(x y) 2 2xy (x y 2) 0
Cách 2 : Biến ổi tng ng
2
2
(x2 + y2)2 -8(x- y)2 0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 ) 0
(x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16 0 (x2 + y2+ 4)2 0
Cách 3 : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy :
Trang 82 2 2 2 2
(x > y)
62
2
2
= 12 12 12
a b c Suy ra iều phải chứng minh
63 iều kiện :
(x 6)(x 10) 0
x 10
Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36
Nghiệm của bất phng trnh cho : x 10
64 iều kiện x2 3 Chuyển vế : x23 x
ặt thừa chung : 2
x 3.(1 - 2
x 3
2
Vậy nghiệm của bất phng tr h 3 ; x 2 ; x -2
65 Ta có x2(x2 + 2y2 3) + (y2 1 (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0
Do : A2 4A + 3 0 A 3) 0 1 A 3
min A = 1 x = 0, max A = 3 x = 0, khi y = 3
66 a) x 1
b) B c n
2
2 2
2
1
2
67 a) A c ngha
2
2
b) A = 2
2 x 2x với iều kiện trn
c) A < 2 2
x 2x < 1 x2 2x < 1 (x 1)2 < 2 - 2 < x 1 <
2 kq
Trang 968 ặt
20chữsố9
0,999 99 = a Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin của
a l cc chữ số 9 Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1 Thật vậy ta
cĩ : 0 < a < 1 a(a 1) < 0 a2 a < 0 a2 < a Từ a2 < a < 1 suy ra a <
a < 1
Vậy
20 chữsố9 20chữsố9
0,999 99 0,999 99
69 a) Tm gi trị lớn nhất p dụng | a + b | | a | + | b |
A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = -
2, y = - 3)
b) Tm gi trị nhỏ nhất p dụng | a b | | a | - | b
A | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3)
70 Ta cĩ : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2 uy ra :
x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b + 1 th a2 + b2 + c2 1
3
Do từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2
Từ (1) , (2) : min A = 1
3
71 Làm nh bài 8c ( 2) Thay vì so s n n 2 và 2 n+1 ta so sánh
n2 n 1 và n 1 n :
n 2 n 1 n 1 n 2 2 n 1
72 Cách 1 : Viết cc ới dấu cn thnh bnh phng của một tổng hoặc một hiệu
Cách 2 : T a A
73 p dụ b)(a b) = a2 b2
74 Ta ch g bằng phản chứng
a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3 5 = r 3 + 2 15 + 5 = r2
2
15
2
Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l Vậy 3 5 l số v tỉ
b), c) Giải tng tự
75 a) Giả sử a > b rồi biến ổi tng ng :
3 3 3 2 2 1 3 3 2 22
3 3 2 2 222 27 8 4 8 2 15 8 2 225 128 Vậy a > b l ng
b) Bình phng hai vế ln rồi so snh
76 Cách 1 : ặt A = 4 7 4 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 A = 2
Trang 10Cách 2 : ặt B = 4 7 4 7 2 2.B 8 2 7 8 2 7 2 0
B =0
77
78 Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 1402 5.7 Vậy P = 2 5 7
79 Từ giả thiết ta c : 2 2
x 1 y 1 y 1 x Bình phng hai vế của ẳng
y 1 x Từ : x2 + y2 = 1
80 Xét A2 ể suy ra : 2 A2 4 Vậy : min A = 2 x = 1 ; max A = 2
x = 0
81 Ta có : M a b 2 a b 2 a b2 2a
2
82 Xt tổng của hai số :
2a b 2 cd 2c d 2 ab a b 2 2 cd a c =
= ac a b 2 c d2 a
83 N 4 68 34 2 18 1 4 64 22 =
= 2 3222 2 2 3 2 2 3 2 22 2 3 22
84 Từ x y z xy x
Vậy x = y
85 p dụ ng thức Cauchy cho 1 v ai ( i = 1, 2, 3, n )
86 p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b 0 v 2 ab 0, ta có :
a b 2 ab 2 2(ab) ab hay a b 2 2(ab) ab
Dấu = xảy ra khi a = b
87 Giả sử a b c > 0 Ta c b + c > a nn b + c + 2 bc > a hay
b c 2 a 2
Do : b c a Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh một tam giác
88 a) iều kiện : ab 0 ; b 0 Xt hai trờng hợp :