Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ --- Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I.
Trang 1Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ
- Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn
Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ
I Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
Dạng1: f x( ) = g x( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
x TXD
f x g x
f x g x
∈
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)≥0 và g(x) ≥0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: − +x2 3x− = 2 2m x x+ − 2
2
1 1
x
x m
x m
≤ ≤
⇔ − + − = + − ≥ ⇔ = + ⇔ = +
Để phơng trình có nghiệm thì 1≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤m 1 2 0 m 1
Dạng2: ( ) ( ) ( ) 2& ( ) 0
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x
≥
Chú ý: Không cần đặt điều kiện f x( ) 0 ≥
VD: Giải phơng trình: 2 2
1 ( 1)
x
− − = ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = − ⇔ = − Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
Dạng3:
2
( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0
( ( ) ( )) ( )
f x conghia f x
f x g x h x g x conghia g x
f x g x h x
Chú ý: Không cần đặt điều kiện h x( ) 0 ≥
VD: Giải phơng trình:
1
1
2
x x
≤
2 2
1
2
(1 )(1 2 ) (2 1)
2
x x
x
Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Biến đổi phơng trình
Các bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
a/ x− 2x− =3 0 e/ x− −1 x+ =1 2
b/ x2 + x+ = 1 1 g/ 15 − +x 3 − =x 6
c/ x+ −3 x− =4 1 h/ 4x+ −1 3x+ =4 1
d/ 10− +x x+ =3 5 k/ 3x− + − = 2 x2 x 2
Bài2: Giải các phơng trình sau:
Trang 2
Bài3: Cho phơng trình: 2
1
x − − =x m
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Giải và biện luận phơng trình
Bài4: Cho phơng trình: 2x2 +mx− = − 3 x m
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm
Bài5: Giải và biện luận các phơng trình sau:
/ 2 3 2
II Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:
Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ
Các phép thởng đặt là:
- Nếu bài toán có chứa f x( ) và f(x) thì đặt t= f x( ) , t≥0 Khi đó f(x)=t2
- Nếu bài toán có chứa f x( ) , g x( )và f x( ). g x( )=k(hằng số) thì đặt t= f x( ) ,
t≥0
- Nếu bài toán chứa f x( ) ± g x( ), f x g x( ) ( ), f x( ) + g x( ) =k thì đặt t=
( ) ( )
f x ± g x
Chú ý: Với các phơng trình căn thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ , nhất thiết phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ.
Cách tìm ĐK:
- Sử dụng tam thức bậc hai : VD: t= 2 2
x − x+ = x− + ≥
- Sử dụng BĐT: VD: t= 3+ +x 6−x
+ T2=( 3+ +x 6−x)2 ≤(3+x+6-x)(1+1)=18 ⇒t ≤3 2
+ T2=( 3+ +x 6−x)2 =3+x+6-x+2 (3 +x)(6 −x) 9 ≥ ⇒ ≥t 3
VD1: Giải phơng trình:
2 2
1 31
Đặt t= x2 + ⇒ ≥ 11 t 11 Khi đó phong trình có dạng:
t2 +t – 42 =0 6
7
t t
=
⇔ = − Vì t≥ 11 nên t=6 ⇒ x2 + = ⇔ 11 6 x2 + = 11 36 ⇔ x2 = 25 ⇔ = ±x 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5
VD2: Giải phơng trình : 4( )2 4 2 4( )2
2 1 +x + 3 1 −x + 1 −x = 0 Giải:
Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho 4( )2
1 −x ≠ 0,
ta đợc: 4 1 4 1
Trang 3Đặt t=4 1 4 1 1
0
− f + , Khi đó phơng trình trở thành:
2t+ 2
1 0 1
0 2
t
t t
= − <
= − <
(không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm
m x− + x− = x− + x − x+ a) Giải phơng trình với m=1
b) Tìm m để PT có nghiệm
Giải:
Điều kiện: 3 2 0 1
1 0
x
x x
− ≥
− ≥
Phơng trình viết lại dới dạng: ( ) ( )2
m x− + x− = x− + x− −
Đặt t= 3x− +2 x− ⇒ ≥1 t 1
a) x=2
b) m≥5
III Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:
- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x
- Phơng pháp này đợc sử dụng đối với những phơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT thì các BT còn lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn đợc thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp
- Khi đó ta thờng đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số chính phơng
VD: Giải PT: (4x− 1) x3 + = 1 2x3 + 2x+ 1
Giải:
Đặt t= x3 + 1,t≥ ⇒ = + 0 t2 x3 1 Khi đó PT có dạng:
(4x-1)t=2(x3+1) + 2x – 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 1
1 4
2
t x
t
t
=
Thay trở lại ẩn x, ta đợc: 3 ( )2
3 3
3
1
2 0
3 2
1
3 4
4
x x
x x
x
x
≥
− ≥
=
Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt
IV Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3:
- Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ Trong
hệ mới thì k-1 pt nhận đợc từ các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ứng.
Chẳng hạn với PT : m a f x− ( ) +m b f x+ ( ) =c
Trang 4Đặt ( )
( )
m
m
u a f x
v b f x
u v c
+ =
VD: Giải PT: 3 2 − = −x 1 x− 1
Giải:
Điều kiện : x-1≥0 ⇔ ≥x 1
1
1, 0
u v
1
u v
u v
+ =
+ =
Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10
V Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4:
- Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ phơng trình với 1 ẩn
phụ và 1 ẳn x
Dạng1: Phơng trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2
ax b c dx e+ = ( + ) 2 + αx+ β ,d =ac+ α ,e bc= + β (*)
Cách giải: Điều kiện ax+b≥ 0
Đặt dy+e= ax b dy e+ , + ≥ 0 Khi đó chuyển phơng trình về hệ 2pt 2ẩn x,y
Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp trên cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu về dạng thoả mãn ĐK(*)
VD: Giải PT: 2
x+ = x + x+
Giải:
Điều kiện: x+1≥ ⇔ ≥ − 0 x 1
PT đợc viết đới dạng: x+ = + 1 (x 1) 2 + 1
ở đậy a=b=c=d=β = 1;e= 2; α = 0 Thoả mãn điều kiện d=ac+α;e bc= + β
Đặt y+2= x+ 1,y+ ≥ ⇔ ≥ − 2 0 y 2 Khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ
Do x≥ − 1;y≥ − 2 nên x+y+5>0⇒ − = ⇔ =x y 0 x y
Thay x=y vào PT(1), ta có x2+3x+3=0: PT vô nghiệm
Vậy PT đã cho vô nghiệm
Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3
3b ay c dy e+ = ( + ) 3 + αy+ β ,d ac= + α ,e bc= + β
Cách giải: Đặt dx+e=3ay b+ Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT
VD: Giải PT: x3 + = 2 3 3 3 x− 2
Đặt y=3 3x− 2 Khi đó phơng trình chuyển thành hệ
3
3
2 3
3 2
x y
+ =
Từ đó tìm đợc x=1; x=-2
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
2
/( 5)(2 ) 3 3
( )
2
Bài2: Cho phơng trình: 1 + +x 8 − +x (1 +x)(8 −x) =m
Trang 5a/ Giải phơng trình với m=3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
c/ Tìm m để pt có nghiệm duy nhất
Bài3: Cho phơng trình: 2(x2 − 2x)+ x2 − 2x− − = 3 m 0 a/ Giải pt vớim=9
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài4: Cho phơng trình : ( 3) ( 1) (4 3) 1
3
x
x
+
− a/ Giải pt với m=-3
b/ Tìm m để pt có nghiệm
Bài 5: Giải các pt sau: