Do đó, trường hợp 2 không thỏa mãn... CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích
Trang 1Câu 1: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận 3
2 2
Câu 2: Cho 2a 3 b 5 Chứng minh rằng 2 2 30
3a 2
7
b
Câu 3: Cho hệ phương trình: x2 y xy2 m 1
x y xy m
a) Giải hệ với m 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm ( , )x y với x và y âm
Câu 4: Cho a, b, c 1 thỏa mãn a b c 4 Chứng minh rằng: abc 64(a 1)(b 1)(c 1)
Câu 5: (Khối PT chuyên ĐHSPHN)Giải phương trình:
3
3
3x
x
x
Câu 6: Chứng minh rằng: 3 3
9 4 5 9 4 5
3
3x 18 0
Câu 7: Giải hệ phương trình:
2 2 3
4 2 4
6 4 2
2x 1 3 1 4z
1
y x
y
z
y y
x
z z z
Câu 8: Cho a 3b 7 Chứng minh rằng 2 2 21
3a
4
b
Câu 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z 1
Chứng minh rằng:
1 1
xy
Câu 10: Cho 2 2
(a 1) (b 2) 5 Chứng minh rằng a 2b 10
10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Đại số
Trang 2Câu 1:Ta có:
3
2 2 2 2 ( 2) 2
3 2 6x 2 2 2 6x 2 2(3x 2)
Bình phương hai vế trên, ta được:
nên x là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên sau:
P x x x
Câu 2:
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:
2
2 2 30
3a
7
b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
; 3a
2
b
b
Câu 3:
Vì mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y, nên ta sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ:
S x y
P xy
1
S P m
SP m
Áp dụng định lý Vi ét đảo, ta suy ra S, P là hai nghiệm của phương trình:
2
S m P
S P m
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 3Do đó, trường hợp (2) không thỏa mãn Trường hợp (1) cho ta thỏa mãn đề bài khi:
2 2
0
0
4 4
S
m
m
Câu 4:
Theo điều kiện ta viết lại như sau:
(a 1) (b 1) (c 1) 1 Đặt a 1 x b; 1 y c; 1 z x y z( , , 0)
Bài toán trở thành cho x y z, , 0 thỏa x y z 1, chứng minh rằng (x 1)(y 1)(z 1) 64xyz
1
x x x y z, mà
2 4
2 ; 2 z 2( z) 2.2 z 4.
x y xy x z x x x y z xy x xy x x yz
1 4 , 1 4
y xy z z xyz
4 4 4 4
(x 1)(y 1)(z 1) 4.4.4. x y z 64xyz dpcm
Câu 5:
Điều kiện: x 1 Với điều kiện trên, ta có:
3
3
3x
x
x
2
1 1
2
Câu 6:
9 4 5 , 9 4 5
x a b
Do đó:
x a b a b b a b hay 3
3x 18 0
x
x x 3
Trang 4Câu 7: Hệ phương trình đã cho:
2
2
3
4 2
4
6 4 2
2x
(1) 1
3
(2) 1 4z
(3) 1
y x
y
z
y y
x
z z z
Từ hệ phương trình trên, ta suy ra x y z, , 0
nghiệm của hệ phương trình
- Nếu xyz 0 x 0,y 0,z 0 Theo bất đẳng thức Cauchy: 2
1 2x
x
Từ (1) suy ra yz
Tương tự, từ (2) và (3) ta chứng minh được:
z y x z x y z z x y z
Thử lại ta thấy hệ có các nghiệm là x y z 0 hoặc x y z 1
Câu 8:
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:
2
49 ( 3 ) 3 ( 3) 9 (3a ) 3a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
;
3a 3
a b
b
Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
1
xy
2x 2
xy z y xy z x y
Ta phải chứng minh:
1
xy z x y xy
1 1
xy z xy z
Trang 5Câu 10:
2a 4ba b 0 a 2b 10
Dấu “=” xảy ra khi
2 2
2a 4
2 4
2 4
2 10
a
a b
b
a b
Trang 6
CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi
- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247