Bồi dưỡng Toán 9 (đề 18)

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b và c.. Dễ dàng nhận thấy và lần lượt là các nghiệm còn lại của các phương trình trên... Bài toán được chứng minh.... Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng

Bài 1: Tích của 1 nghiệm của phương trình x2 + ax + 1 = 0 với 1 nghiệm của phương trình x2 + bx + 1 = 0 là nghiệm của phương trình x2 + cx + 1 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b và c

Lời giải:

Gọi x1, x3 và x1x3 lần lượt là nghiệm của các phương trình x2 + ax + 1 = 0, x2 + bx + 1

= 0 và x2 + cx + 1 = 0 theo như giả thiết ban đầu của bài toán

Dễ dàng nhận thấy và lần lượt là các nghiệm còn lại của các phương trình trên

Tương tự như vậy, ta có:

(1)

Ta có: x1 + x2 = –a, x3 + x4 = –b, x1x3 + x2x4 = –c và x1x2 = 1, x3x4 = 1 (2) Thay (2) vào (1) ta suy ra:

Hay là a2 + b2 + c2 + abc = 4

Vậy a2 + b2 + c2 + abc = 4 là hệ thức liên hệ giữa a, b và c

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: với

Lời giải:

Từ đẳng thức (1) suy ra:

x3 = 3x2 – x = 3(3x – 1) – x = 8x – 3

x4 = 3x3 – x2 = 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – 8

x5 = 3x4 – x3 = 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21

Vậy P =

Bài 3: Chứng minh rằng

Lời giải:

Ta có:

Lại có

Suy ra: (1) Tương tự như vậy, ta có:

(2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được ĐPCM

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác

Chứng minh rằng:

Lời giải:

Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c Khi đó x, y, z là các số dương và:

a = y + z, b = z + x, c = x + y

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

và

Tương tự như vậy, ta có và

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

Hay là

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều

Bài toán được chứng minh.

Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Một góc 450 quay xung quanh đỉnh A

và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N

a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a2

b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E Chứng minh

Lời giải:

a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM

Dễ dàng nhận thấy ABM = ADF(cạnh, góc, cạnh)

AF = AM

Mặt khác:

NAF = NAD + DAF = NAD + MAB = BAD – MAN = 900 – 450 = 450

Từ đó suy ra: MAN = FAN(cạnh, góc, cạnh)

MN = FN =BM + DN

Xét tam giác vuông CMN, ta có: MN2 = CM2 + CN2

(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 (1)

Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2 ĐPCM

b)Ta có: EAF = MAN + NAF = 450 + 450 = 900

EAF là tam giác vuông

(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay là: ĐPCM.