Đáp án bồi dưỡng Toán 9 (đề 19)

M là điểm chuyển động trên cạnh đáy BC.. Dựng đường tròn O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C... Vì MD là phân giác góc BDC nên MD đi qua điểm

ĐÁP ÁN ĐỀ 19

Bài 1: Chứng minh rằng trong 2008 số khác nhau tùy ý lấy ra từ tập hợp:

A ={1, 2, 3, ,20072008} có ít nhất 2 số x, y thỏa mãn:

Lời giải:

Chia tập hợp A thành 2007 tập hợp con

Ak={k2008,k2008 +1 ,(k+1)2008–1} với

và A2006 ={20062008, , 20072008–2}, A2007={20072008–1, 20072008}

Bây giờ lấy 2008 số khác nhau từ tập hợp A, theo nguyên lý Derichle, tồn tại 2 số x <

y cùng nằm trong 1 tập hợp con Ap nào đó.Xét các trường hợp

a) p = 2007

Khi đó x=20072008–1 và y = 20072008

b) p ≤ 2006

Khi đó p2008 ≤ x < y≤ (p+1)2008–1 ( Đúng cho cả trường hợp p =2006)

ĐPCM

Bài 2: Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương thì | | ≥

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức nn+3 +(n+1)n+3 < (n+2)n+3

Bổ đề: Cho , ta có:

Chứng minh bổ đề: Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Do đó:

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

ĐPCM

Bài 4: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c; abc = 1 và

Chứng minh rằng: a + b> ab +1

Lời giải:

Trước hết, ta chứng minh c < 1.Thật vậy:

Nếu c >1 Vì a ≥ b ≥ c nên a > 1, b > 1 abc > 1 Vô lý Nếu c = 1 Vì a ≥ b ≥ c và abc = 1 nên a = 1, b = 1

Vô lý

Vậy c < 1

Trở lại với bài toán ban đầu,ta có:

(1 – c)(a + b – ab – 1) > 0

a + b – ab – 1 > 0

a + b > ab + 1.ĐPCM

Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) M là điểm chuyển động trên cạnh đáy BC

Dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AC tại C Hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại D

a) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí của M

Lời giải:

a) Ta có: MBO1 =900 – ABC = 900 – ACB = MCO2

Hai tam giác cân MO1B và MO2C đồng dạng với nhau

Kẻ O2K vuông góc với BC Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: MDC = ACB = C (3)

Chứng minh tương tự, ta có:

Từ (3) và (4) suy ra MDC = MDB

Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

Vì MD là phân giác góc BDC nên MD đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa

D của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hay nói cách khác MD qua A là điểm cố định ĐPCM

b) Kẻ AH vuông góc với BC Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của các đường tròn (O1), (O2) Dễ dàng chứng minh được:

Cộng vế theo vế hai đẳng thức (5) và (6) với chú ý rằng AB = AC, ta được:

Độ dài của đường tròn (O1) là

Độ dài của đường tròn (O2) là

+ =

Tổng độ dài của hai đường tròn không phụ thuộc vào vị trí của M ĐPCM