Tài liệu BOI DUONG HSG TOAN 9

Diện học sinh giỏi đại trà, căn cứ vào tình hình thực tế, về thời gian, khả năng học sinh, giáo viên cần tập trung vào 2 vấn đề cơ bản : Các bài toán số học trong dấu căn và bài toán số

Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9

Chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi đại trà

môn : Toán lớp 9 năm học 2004 - 2005

A - Phân môn số học

Trong phân môn số học, tiếp nối chơng trình số học ở các lớp 6, 7, 8 Diện học sinh giỏi đại trà, căn cứ vào tình hình thực tế, về thời gian, khả năng học sinh, giáo viên cần tập trung vào 2 vấn đề cơ bản : Các bài toán số học trong dấu căn và bài toán số học với phơng trình nghiệm nguyên

Chuyên đề 1 : Số học trong căn thức

I - Sơ lợc vấn đề lý thuyết :

Dạy học sinh lý thuyết phần này về cơ bản học sinh đợc trang bị các vấn đề sau :

1 - Tính hữu tỷ, tính vô tỷ của biểu thức chứa dấu căn

2 - Tính hữu tỷ, tính vô tỷ của các biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, căn thức giữa số hữu tỷ và số vô tỷ

3 - Tính đồng dạng của các biểu thức chứa dấu căn

II - Các dạng toán điển hính của chuyên đề :

Bài 1 :

Cho x, y  Q ; x5 + y5 = 2x2y2 Chứng minh : 1  xyQ

Bài 2 : Cho abc  P chứng minh b2 4ac

Bài 3 :

a ) Tìm n  N để 2 4 9



 n

b ) Tìm x  Q để 2 6



x

Bài 4 : Tìm x, y  Z thoả mãn

a ) x + y = 1975

b ) 3 x - 5 y = 2000

c ) x

5

11

- 2 x 1 = 3y - 4y 1 + 2

d ) x + y = x  y + 2

Bài 5 : Tìm m  N để : n 17 5  38 + n17 5  38  20

Bài 6 : Cho a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1 (a, b, c Q)

Chứng minh : ( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )





Bài 7 : Cho A =

n

n 1 ) (

1

3 4

1 2 3

1 1 2

1









 Chứng minh A N với n đủ lớn để A > 1

Bài 8 : Cho 16 số tự nhiên khác 0 thỏa mãn 1 1 1 7

16 2

1









n n

n

Chứng minh : Trong 16 số đó tồn tại hai số bằng nhau

Bài 9 : Cho A = 2 + 2 28 2 1



n Z với n  N Chứng minh : A là số chính phơng

Bài 10 : Tìm a, b, c  N thỏa mãn : abc 3 abcbcba

Chuyên đề 2 : Phơng trình nghiệm nguyên

I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết :

Dạy học sinh lý thuyết phần này cần trang bị cho học sinh các phơng pháp cơ bản để giải phơng trình nghiệm nguyên Hệ thống các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên có thể kể đến là :

1 Phơng pháp đa về dạng tích

2 Phơng pháp đa về dạng tổng các luỹ thừa

3 Phơng pháp vận dụng tính chất số :

- Tính chất của số chính phơng

- Tính chất của số nguyên tố

- Tính chất chia hết và chia có d

4 Nhóm phơng pháp phản chứng

- Xét số d từng vế

- Dùng bất đẳng thức

- Phơng pháp cực hạn

5 Phơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm nguyên của phơng trình bậc hai

II Các ví dụ điển hình của các phơng pháp trên :

Giải các phơng trình nghiệm nguyên sau :

1 ) x2 - 656xy - 657y2 = 1983

2 ) x2(x + 2y) - y2(y + 2x) = 1991

3 )

2

3

x2 – 6y2 = x + 332

4 ) 2x + 2y + 2z = 2336 (x, y, z N*)

5 ) x2 – 4xy + 5y2 = 169

6 ) 3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2xz = 26 - 2yz

7 ) x2 + xy + y2 = x2y2

8 ) 3x2 + 4y2 = 6x + 13

9 ) (x + 1)(y + 1) = z2

10 ) x4 + x3 + x2 + x = y2 + y

11 ) y2 - 2 x2 = 1 (x, y là số nguyên tố )

12 ) xy + 1 = z (x, z là số nguyên tố)

13 ) x(x + 1)( x2 + x + 2) = 2y2

14 ) 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y)

15 ) 8y2 - 25 = 3xy + 5x

16 ) x3 - y3 = xy + 8

17 ) x2 - y3 = 7

18 ) 1 121 21

xy y

19 ) 2x + 57 = y2

20 ) x2 + y2 = 3z2 (x, y  N*)

III ứng dụng giải phơng trình nghiệm nguyên :

Bài 1 : Tìm x  Q để x2 + x + 6 là số nguyên chính phơng

Bài 2 : Tìm x  Z sao cho :

6 4

3





x

x

là bình phơng của một phân số

Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó bằng lập phơng tổng các chữ số

của nó

Bài 4 : Nhân dịp tết, đại diện các cụ hội cựu chiến binh anh chị đoàn thanh niên, các

em thiếu nhi gồm 15 ngời mang 50 tặng phẩm cùng loại đến tặng một trại mồ côi Mỗi cụ góp 4 tặng phẩm, mỗi anh chị góp 6 tặng phẩm, mỗi em học sinh góp 1 tặng phẩm Hỏi có bao nhiêu cụ, anh chị, thiếu nhi?

Bài 5 : Tìm các số nguyên dơng a và b sao cho nghiệm của phơng trình sau là số

nguyên : x2 - abx + a + b = 0 (a ≥ b)

B - Phân môn đại số

Trong phân môn đại số, ở lớp 9 thực tế học sinh cần tập trung ở 3 chuyên đề chính là : Chuyên đề căn thức, chuyên đề hệ phơng trình, chuyên đề phơng trình bậc hai - hệ viet và ứng dụng Ngoài ra cần giành thời gian nhất định cho chuyên đề bất

đẳng thức và cực trị đại số

Chuyên đề 1 : Căn thức

I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết :

Trong chuyên đề này học sinh cần vận dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức và kỹ năng biế đổi đồng nhất để giải quyết các vấn đề :

Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9 1.Bài toán rút gọn biểu thức ( Các phơng pháp rút gọn biểu thức có chứa dấu căn)

đặc biệt lu ý đến các bài toán có điều kiện kèm theo

2.Chứng minh đẳng thức chứa dấu căn hoặc chứng minh biểu thức chứa dấu căn thoả mãn ĐK nào đó

3.Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức chứa dấu căn

4.Phơng pháp tìm cực trị của một số biểu thức chứa dấu căn

5.Bài toán tính toán giá trị có liên quan đến biểu thức có chứa dấu căn

Lu ý :

- Tối thiểu các vấn đề trên phải đợc giải quyết đến căn bậc 3

- Các bài tập có sự biến dạng ít nhất về dạng “hình thức” yêu cầu của bài toán

II Các dạng toán điển hình của chuyên đề

Bài 1 : Cho biểu thức A = 2 2 1 12

1

2 1

2

n n

n m m n

n m



















a ) Rút gọn A

b ) Tìm giá trị của A với m = 3 7  5 2  3 7  5 2

c ) Tìm GTNN của A

Bài 2 : Chứng minh : A =

2 6

48 13 5 3 2







Bài 3 : Tính tổng : S =

2005 2006 2006

2005

1

3 2 2 3

1 2

1 2

1













Bài 4 : Trục căn thức ở mẫu : A = 3 3

9 3 2 2 1

2







Bài 5 : Chứng minh :

1 )

2 2

2

a a b

a      

2 )

2 2

2

a a b

a      

Bài 6 : Cho ax3 = by3 = cz3 và 111  1

z y

Chứng minh 3 ax 2  by 2 cz 2  3 a 3b 3 c

Bài 7 : Cho x > 2 và x 4  x  10 Tính giá trị của A =

2

4







x

x x

Bài 8 : Cho x = ( 1)

2

1 );

1 ( 2

1

b b y a

a   (a, b  1)

Tính giá trị của P =

1

1

1

1 2 2

2 2













y x

xy

y x

xy

theo a, b

Bài 9 : Chứng minh các BĐT sau :

a ) a b 1 b a 1  ab (a 1 ; b  1)

b ) (ab) 2  (cd) 2  2 2 2 2

d b c

c ) (ac)(bd)  ab  cd (a, b, c, d  0)

d )

1

2

2 2









x x

x x

 2









c c a

b c b

f ) Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh : a b 1 b a 1  2  2

g )

b a

ab ab

b a





2 5

(a, b > 0)

a ) A = 2 2 5 2 2 5









x

b )B = 9  4 (xy)  3  2 (xy) Biết x2 + y2 = 1















y x y xy y y x

d )D =

1

1







x

x x

e ) E = (a 1 )(b 1 )  2 (b 1 )(c 1 )  4 (c 2 )(a 2 )

Với a, b, c  2 thỏa mãn 3 39

2

3 2

5





 b c a

f ) F = ab cb ac với a, b, c  0 và a + b + c = 1

1

1 1

1 1

1











 a b c Tìm GTLN của G = abc

Chuyên đề 2 : Hệ phơng trình

I sơ lợc các vấn đề lý thuyết

1.Vấn đề số nghiệm

- Giải quyết tối thiểu đến số nghiệm của hệ phơng trình có một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc 2

- Cần đề cập đến số nghiệm của hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối và dầu căn

2.Vấn đề tìm tập nghiệm của hệ phơng trình (Giải hệ)

- Học sinh cần đợc trang bị tất cả các phơng pháp giải hệ

- Học sinh nắm chắc cách giải một số hệ cơ bản

3.Vấn đề quan hệ giữa các yếu tố trong nghiệm của hệ :

*Cần đề cập đến 2 dạng toán cơ bản

- Tìm điều kiện để biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện cho tr-ớc

- Chứng minh biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn ĐK cho trớc

*Cần lu ý đến các khía cạnh bất đẳng thức, cực trị, số học trong các ĐK trên

4.Vấn đề quan hệ giữa các hệ phơng trình :

- Giải quyết quan hệ tơng đơng và quan hệ nghiệm chung

II Các dạng toán điểm hình

Bài 1 : Tìm số nghiệm của các hệ sau theo tham số











4 -3m y

-mx

25 y













2a 1 2xy

2a y







 4 2y -mx

2 m -y -x













2

y

x

2

Bài 2 : Giải các hệ PT sau :















0 12y 8xy

x

12 y

x

2 3

2 2













x

3 1 y

3y 1 x 2 2













1 y x

1 y x

4 4 3 3

z

y y

1 1

1























4 1 2

2 1 1 1

2

z xy

z y x













6 13 5

x

y

y

x















2 3

5 2

1

y x

y x













28 2 1

y y x x

x y y x

Bài 3 : Cho hệ PT : 













m y x m

m y mx

2 2 ) 1 (

1

a ) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn xy lớn nhất (nhỏ nhất ) nếu có

b )Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (x, y)

c ) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) mà x 2y  1

Bài 4 : Tìm giá trị của tham số để :

a > 







1 y

-mx

m 2









1 my -x

1 2x y2 m tơng đơng

b > 





 2 3y

-2x

m 1 2my

-mx

và 





 4 y mx

2 -m my -x

có nghiệm chung

Chuyên đề 3

Phơng trình bậc 2 – hệ viet – ứng dụng

I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết

a > Vấn đề số nghiệm :

- Xem xét số nghiệm của một Phơng trình bậc 2

- Xem xét mối quan hệ về số nghiệm của hai phơng trình

b > Vấn đề tìm nghiệm (Giải phơng trình )

Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9

- Phơng pháp giải phơng trình bậc cao

- Phơng pháp giải một số phơng trình vô tỷ

- Phơng pháp giải một số phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Phơng pháp giải phơng trình có chứa ẩn ở mẫu

c > So sánh nghiệm

- So sánh nghiệm với số 0

- So sánh nghiệm với số a bất kỳ

d > Quan hệ giữa các nghiệm

- Quan hệ giữa 2 nghiệm trong một phơng trình

- Quan hệ giữa 2 nghiệm trong hai phơng trình

e > Quan hệ giữa 2 hay nhiều phơng trình

- Quan hệ tơng đơng

- Quan hệ nghiệm chung

f > Nghiệm hữu tỷ của phơng trình bậc 2

- Điều kiện để phơng trình có nghiệm hữu tỷ

- Điều kiện để phơng trình có nghiệm nguyên

II Các dạng toán điển hình

Bài 1.1 Cho PT bậc 2 : x2 - 2(a + b + c)x + 3ab + 3ac + 2bc +

2

2

a

= 0 (1) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Bài 1.2 Cho hai PT : x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0 có ac = 2(b + d) Chứng minh ít nhất một trong hai PT trên có nghiệm

Bài 1.3 Tìm giá trị của tham số để :

a > 2x a  1 x 3 có nghiệm duy nhất

b > x2  4 x a có nghiệm

c > 2 2

1 )

1

(

1

x

x  = a có nghiệm

14 5

3 5 2 ) 2 3

(

2

2 2

















x x

a a x a

Bài 2 Giải các PT sau :

a> x3 - 2x2 - 3x + 10 = 0

b> x(x 1 )  x(x 3 )  x(x 2 )

1

4 10

11 1

2 10

1 1

2

2

2 2

2























































x

x x

x x

x

d> 3 x 2  x 4  2x 5

Bài 3.1 Cho PT : x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6 = 0

a > Tìm m để PT có 2 nghiệm đều âm

b > Tìm m để PT có 2 nghiệm đêù nhỏ hơn 1

Bài 3.2 Cho PT : x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0

Tìm m để PT có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2005 < x1 < x2 < 2008

Bài 3.3 Cho PT : x2 + x + 2m = 0

Tìm m để PT có 2 nghiệm đều lớn hơn m

Bài 4.1 Cho PT : x2 - 2(m - 1)x - 3m = 0

a > Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2

2

2

1 x

x   10

b > Tìm m để A = 2

2

2

1 x

x  nhỏ nhất

d > Tìm m để 2 nghiệm hơn kém nhau 1 đơn vị

Bài 4.2 Cho hai PT

x2 - (m + 1)x + 2 - m = 0 (1) và x2 + mx - 2m + 1 = 0 (2)

Tìm m để nghiệm  cuả PT (1) và nghiệm  của PT (2) thỏa mãn  +  = 3

Bài 5.1 Cho a, b là nghiệm cuả PT : x2 + px + 1 = 0

c, d là nghiệm cuả PT : x2 + qx + 1 = 0

Chứng minh : (a - c)(b - c)(a + d)(b - d) = q2 - p2

Bài 5.2 Tìm quan hệ của a, b, c biết rằng tích của một nghiệm cuả

PT : x2 + ax + 1 = 0 Với 1 nghiệm của PT : x2 + bx + 1 = 0

Là nghiệm cuả PT : x2 + cx + 1 = 0

Bài 5.3 Cho hai PT : 3x2 + 5x + 4 - m = 0 và x2 - 5x + 4 + m = 0

a> Tìm m để 2 PT tơng đơng

b> Tìm m để 2 PT có nghiệm chung

Bài 6.1 Cho PT : x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dơng

Chứng minh a2 + b2 là hợp số

Bài 6.2 Cho PT : (m - 1)x2 - (2m + 1)x + m2 - 2m + 4 = 0

Tìm m để PT có các nghiệm đêù là số nguyên

Bài 6.3 Cho hai PT : x2 + 6x + ac = 0 (a, b, c Z) và x2 + bx - ac = 0

có các nghiệm đêù là số nguyên Chứng minh abc ∶ 30

Bài 6.4 Cho a, b  Q thỏa mãn a5 + b5 = 2a2b2

Chứng minh PT : ax2 + 2x + b = 0 có nghiệm hũ tỷ

C - Phân môn hình học

Trong phân môn hình học ở lớp 9 kế thừa các kiến thức ở lớp 6, 7, 8 học sinh giỏi cần tập trung ở 3 dạng toán cơ bản : Chứng minh quan hệ hình học, chứng minh hình đặc biệt, tính toán các đại lợng hình học

Chuyên đề 1 : Chứng minh quan hệ hình học

I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết

Trong chuyên đề này học sinh cần tập trung chứng minh và nêu rõ phơng pháp chứng minh các quan hệ sau :

- Chứng minh đẳng thức hình học

- Chứng minh bất đẳng thức hình học, cực trị hình học

- Chứng minh các điểm thuộc đờng tròn (tứ giác nội tiếp)

- Chứng minh song song và vuông góc

- Chứng minh thẳng hàng và đồng quy

- Chứng minh một đại lợng không đổi

- Chứng minh họ đờng cong, họ đờng thẳng đi qua điểm cố định

- Chứng minh điều kiện cần và đủ

- Chứng minh đờng thẳng tiếp súc với đờng tròn, hai đờng tròn tiếp xúc nhau

Đặc biệt lu ý :

- Các bài toán cơ bản về đẳng thức tiếp tuyến, đẳng thức cát tuyến cùng đi qua một

điểm Các hệ thức trong tam giác

- Bài toán tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp

- Chứng minh đại lợng không đổi

II Các dạng toán điển hình

1 - Chứng minh đẳng thức hình học :

Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9 Bài 1 : Cho (O) và điểm A ở ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AE; AF với (O) Đờng kính vuông góc với AO tại O cắt AE và AF tại I và J Lấy C trên cung nhỏ EF, kẻ tiếp tuyến qua C cắt AE, AF ở M và N Chứng minh : IM.JN =

4

2

IJ

Bài 2 :

Cho (O) đờng kính AB Vẽ (A) có bán kính R’ < 2R, (A) cắt (O) ở C và D và cắt AB ở E M thuộc cung CE; BM cắt cung CA ở N Chứng minh : MN2 = DN.CN

Bài 3 :

Cho (O) và dây AB I là trung điểm của AB Qua I kẻ hai cát tuyến tuỳ ý MN

và PQ Gọi E, F là giao điểm của AB với MQ và BN Chứng minh : IE = IF

Bài 4 :

Cho (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC; M thuộc (O) Gọi A’ , B’ , C’ là hình chiếu của M trên BC, CA, AB Chứng minh :

1 ) MA’.MA = MB’.MB = MC’.MC = 2R.d (d = MH là khoảng cách từ M đến B’C’)

2 ) Cho M thuộc cung AC (cung nhỏ) Chứng minh : ' ' '

MB

CA MA

BC MC

AB





Bài 5 :

Cho tam giác ABC (AB = c, BC = a, CA = b) Phân giác AD, trung tuyến AM Nửa chu vi là P Chứng minh :

a )

4 2

2 2

2 c a

b

AM   

b ) AD = 2 bcp(p a)

c

2 - Chứng minh các điểm thuộc đờng tròn :

Bài 1 :

Cho (O) và hai dây AC, BD vuông góc với nhau ở I nằm trong đờng tròn Gọi

M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; E, F, G, H là hình chiếu của I trên 4 cạnh trên Chứng minh 8 điểm M, N, P, Q, E, F, G, H cùng thuộc một đờng tròn

Bài 2 :

Chứng minh định lý Ơle :

Trong tam giác ABC; ba trung điểm của 3 cạnh; 3 chân đờng cao; 3 trung điểm của 3

đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh; 9 điểm đó cùng thuộc 1 đờng tròn

3 - Chứng minh song song và vuông góc :

Bài 1 :

Cho (O) và hai dây AB và CD tuỳ ý Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB Gọi E, F là giao của AB với MC, MD Gọi I, J là giao của (O) với DE và CF

Chứng minh : AB // IJ

Bài 2 :

Cho tam giác ABC, kẻ 3 đờng cao AD, BE, CF gặp nhau tại H Gọi M, N là hình chiếu của D trên AB và AC Chứng minh : MN // với EF

Bài 3 :

Cho hình thang cân ABCD nội tiếp (O) (AD // BC) Gọi I là giao của BC và

AB, gọi K là giao của hai tiếp tuyến của (O) ở B và D

Chứng minh : IK // AD

Bài 4 :

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ; M ở trong tam giác ABC sao cho góc MAB bằng góc MBC bằng góc MCA, tiếp tuyến Ax của (O) gặp MC ở I

Chứng minh : BI // AC

Bài 5 :

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Kẻ các đờng cao AA’; BB’; CC’

Chứng minh : OA vuông góc với B’C’

Bài 6 :

Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp (O) Kẻ đờng kính AOI; M thuộc AB; N thuộc tia đối của tia CA sao cho BM = CN Gọi K là giao điểm của MN với

BC

Chứng minh IK vuông góc với MN

Bài 7 :

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I) Đờng tròn (I) tiếp xúc với

AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q

Chứng minh MP vuông góc với NQ

4 - Chứng minh thẳng hàng và đồng quy

Bài 1 :

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H, G, O9 lần lợt là trực tâm, trọng tâm, tâm đờng tròn Ơle

Chứng minh : H, G, O, O9 thẳng hàng ( Đờng thẳng Ơle)

Bài 2 :

Cho tam giác ABC nội tiếp (O); M thuộc (O) Gọi I, K, J lần lợt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB

Chứng minh : I, J, K thẳng hàng ( đờng thẳng Simson)

Bài 3 :

Cho tam giác ABC và (I) là đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm A’

, B’ , C’ lần lợt thuộc BC, CA, AB

Chứng minh : AA’; BB’; CC’ đồng quy (Điểm Giec gon)

Bài 4 :

Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, kẻ 2 tiếp tuyến của AB là Ax và By M thuộc cung AB Qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By ở I và J Gọi C là giao của Ax và MB; D là giao của By và MA

Chứng minh : DC, IJ, AB đồng quy

5 - Chứng minh đại lợng không đổi

Bài 1 :

Cho (O) và điểm M không thuộc (O) kẻ cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B Chứng minh : AM.MB không đổi

Bài 2 :

Cho (O;R) và (O;R’), R > R’ A là điểm cố định thuộc (O;R’) Điểm I chuyển

động trên (O;R’), dây BC qua I của (O) và BC vuông góc với AI

Chứng minh : IA2 + IB2 + IC2 không đổi

Bài 3 : Cho (O;R) và đờng kính AB; M thuộc AB Qua M kẻ dây CD sao cho CD hợp với AB một góc 450

Chứng min : M C2 + MD2 không đổi

6 - Chứng minh đờng cong, đờng thẳng đi qua điểm cố định

Bài 1 :

Cho tam giác ABC, góc A = 900 AB cố định, C chuyển động Gọi (I) là đờng tròn nội tiếp tam giác ABC các tiếp điểm của (I) trên AC và CB là M, N

Chứng minh : MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 2 :

Cho góc xAy cố định; M chuyển động trong góc xAy sao cho ME + MF = m (m là đoạn cho trớc, E, F là hình chiếu của M trên Ax, Ay

Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua 2 điểm cố định

7 - Chứng minh điều kiện cần và đủ

Bài 1 :

Cho tam giác ABC, kẻ hai trung tuyến AA’ và BB’ gặp nhau ở G

Chứng minh : Điều kiện cần và đủ để tứ giác GA’CB’ nội tiếp là a2 + b2 = 2c2

Bài 2 :

Cho ABCD; gọi (I) và (J) là hai đờng tròn nội tiếp 2  ABC và  ACD

Cmr : Điều kiện cần và đủ để (I) và (J) tiếp xúc nhau là ABCD là tứ giác ngoại tiếp

Chuyên đề 2 : Chứng minh hình đặc biệt

Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9

I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết

Trong chuyên đề này học sinh cần nắm chắc và có kỹ năng vận dụng các

ph-ơng pháp chứng minh :

- Tam giác vuông, cân, đều

- Tứ giác là hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

II - Các bài tập minh hoạ

Bài 1 :

Cho tam giác ABC ( góc A = 900) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho

AE = 2AB, kẻ Bx vuông góc với BC, Ey vuông góc với CE; Bx cắt Ey ở I

Chứng minh : Tam giác AIE cân

Bài 2 :

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có góc A bằng 500, góc B bằng 700 Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; BO cắt AC ở D; CO cắt AB ở E

Chứng minh : Tam giác HED đều

Bài 3 :

Cho tam giác ABC (góc A = 900) ngoại tiếp (I) Các tiếp điểm của (I) trên BC,

CA , AB là M, N, P Gọi H là giao của AI và MN

Chứng minh : Tam giác AHB vuông

Bài 4 :

Cho đờng tròn đờng kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx Kẻ đờng kính CD bất kỳ Gọi

P, Q là giao của Bx với AC và AD Gọi I là trung điểm của PQ, J là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPQ

Chứng minh : Tứ giác AOJI là hình bình hành

Bài5 :

Cho(O) đờng kính AB, kẻ 2 dãy AE và AF nằm về 2 phía bờ AB Gọi M và N

là trung điểm của cung AE và cung AF (cung nhỏ) Gọi C là giao của MF và NE Gọi I, J là giao của MN với AE và AF

Chứng minh : Tứ giác AICJ là hình thoi

Bài 6 :

Cho hai đờng tròn ngoài nhau (O), (O’) Kẻ tiếp tuyến chung MM’ ( M thuộc (O); M’ thuộc (O’) ) Đờng nối tâm OO’ cắt (O) (O’) thứ tự tại A, B, A’, B’ Gọi E là giao của AM và B’M’; F là giao của MB’ và A’M’

Chứng minh : Tứ giác MEM’F là hình chữ nhật

Bài 7 :

Cho tam giác ABC , góc A = 900 , kẻ đờng cao AH và phân giác AD, kẻ phân giác của góc AHB và góc AHC gặp AB và AC ở E và F

Chứng minh : Tứ giác AEDF là hình vuông

Chuyên đề 3 : Tính toán các đại lợng hình học

I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết

Trong chuyên đề này học sinh cần đợc trang bị các phơng pháp và kỹ năng tính toán ở các dạng tiêu biểu :

- Phơng pháp tính số đo góc

- Phơng pháp tính độ dài đoạn thẳng, tính tỷ số

- Phơng pháp tính diện tích của tam giác, tứ giác, đờng tròn

II - Các bài tập ví dụ

Bài 1 :

Trong hình vuông ABCD cho một điểm O sao cho góc OAB bằng góc OBA bằng 150

Tính góc DOC

Bài 2 :

Cho tam giác ABC có góc A = 150 ; góc B = 450 Trên tia đối của tia CB lấy E sao cho EC = 2BC

Tính góc AEC

Bài 3 :

Cho tam giác ABC vuông ở A; kẻ đờng cao AH, cho biết chu vi của các tam giác ABC, ABH, CAH lần lợt là 240; 144; 192

Tính các cạnh và bán kính các đờng tròn nội tiếp và bàng tiếp tam giác ABC

Bài 4 :

Cho tam giác ABC cân nội tiếp đờng tròn (O;R) (AB = AC = b;BC = a) Tính

tỷ số 2

2

a

b

biết 2 lần góc B bằng ba lần góc A

Bài 5 :

Cho hình thang ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AB có diện tích là S Gọi I là trung điểm của cung nhỏ CD Dựng tam giác cân IEF ( IE = IF) nội tiếp (O) sao cho IE // AD; IF // CB

Tính diện tích tam giác IEF

Một số lu ý khi tổ chức giảng dạy phần hình học

Do thời gian có hạn và mục đích của các chuyên đề chỉ có tính định hớng Chúng tôi không liệt kê hết các phơng pháp giải tng loại toán và phân tích tỷ mỷ các phơng pháp toán mà chỉ soạn một số bài tập điển hình với số lợng hạn chế Trong khuôn khổ đề thi học sinh giỏi ắt hẳn không thể ra nhiều bài ở nhiều chuyên đề có tính độc lập mà thờng phải lồng gép vào một bài tập lớn Bởi vậy khi tổ chức dạy giáo viên cần lu ý các điều sau :

*Tập trung giải quyết các bài toán có liên quan đến các yếu tố trong đờng tròn

*Tập trung giải quyết các bài tập toán có tính khái quát cao “đúng cho phạm vi rộng” : Ví nh các bài toán đúng cho tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp

*Sau khi dạy các chuyên đề cần tìm và chọn ra các bài tập tổng hợp có tính lồng gép các dạng toán trong cùng một bài 0

* Toán dựng hính chúng tôi không đề cập song giáo viên cần lồng gép vào dạng toán “Xác định điểm” hoặc “Xác định hình” thoả mãn nếu cần cho trớc

Danh mục tài liệu tham khảo

1 Một số vấn đề phát triển đại số, hình học 9 của tác giả Vũ Hữu Bình

2 Để học tốt đại số và hình học 9 của Hoàng Chúng

3 23 chuyên đề giải toán sơ cấp của nhóm tác giả Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn

Đức Đồng

4 Toán BDHSG phổ thông THCS của Doãn Minh Cờng

5 Chuyên đề đờng tròn của Vũ Hữu Bình

6 Toán tuổi thơ 2 của Nhà xuất bản Giáo dục