Đáp án bồi dưỡng Toán 9 đề 2

b Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp.. Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp.. Lời giải: a Ta có: b

Bài 1:

a) Giải phương trình căn thức:

b) Chứng minh đẳng thức:

Lời giải:

a) Ta có:

Kết luận, nghiệm của phương trình đã cho là hoặc

b) Ta có:

Suy ra:

Tương tự như vậy, ta có:

Từ đó, ta có:

Và ta có đpcm

Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k

thành các thừa số

b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương

liên tiếp

Lời giải:

a) Ta có:

b) Giả sử tồn tại số nguyên A thỏa mãn điều bài toán, khi đó tồn tại 2 số nguyên dương p và q sao cho:

Khi đó:

(1)

Vì phương trình (1) có nghiệm nguyên p nên:

là số chính phương

Mặt khác:

Lại có:

Từ (2) và (3) suy ra:

thấy giả sử ban đầu về sự tồn tại A là sai Từ đó ta có ĐPCM

Bài 3: Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn điều kiện:

a) Chứng minh bất đẳng thức :

(2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao?

b)Cho p, q, r là 3 số thực thỏa mãn điều kiện Chứng minh bất

Lời giải:

a) Ta có:

Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử a=max{a, b, c} Khi đó:

(*)

Như vậy:

Suy ra:

b) Không thể được, chẳng hạn, với Ta có (2) nhưng không

có (1)

(**) Với (**) hiển nhiên đúng, và ta có (đpcm.)

Với , ta có:

(**)

(***)

(***) đúng theo như điều kiện ban đầu, suy ra (**) đúng, và ta cũng có (đpcm.)

Bài 4: Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình ; c,d là hai

nghiệm của phương trình Chứng minh hệ thức :

Lời giải:

Vì c, d là hai nghiệm của phương trình

Nên:

Suy ra:

Mặt khác, vì a, b là hai nghiệm của phương trình nên ,

từ đó ta có:

(đpcm)

Bài 5: Cho hai đường tròn (O, R) , (I, r) (R>r) tiếp xúc ngoài với nhau với A là tiếp điểm Gọi B, C là hai điểm di động lần lượt trên (O), (I) sao cho

a) Chứng minh trung điểm M của BC nằm trên 1 đường tròn cố định khi B,

C thay đổi.

b)Kẻ AH vuông góc với BC Chứng minh H cũng nằm trên một đường tròn

cố định khi B, C thay đổi.

c) Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC nên: MA=MB=MC Suy ra M nằm trên trung trực của các đoạn thẳng AB, AC

Mặt khác, vì (O) qua A, B nên O nằm trên trung trực của AB Suy ra MO AB Tương tự, vì (I) qua A, C nên I nằm trên trung trực của AC Suy ra MI AC Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của MO với AB, MI với AC Dễ dàng nhận thấy tứ giác MPAQ là hình vuông, suy ra Từ đó suy ra M nằm trên đường tròn đường kính OI là đường tròn cố định ĐPCM

b) Nối OB, IC Gọi J là giao điểm của BC với OI

Ta có: BOA=2 MOA=2(900 – BAO)=2 CAJ= CIJ

Từ đó suy ra OB || IC (Đồng vị)

Suy ra:

Suy ra J là điểm cố định

Ta có: AH BC nên AHJ=900 Suy ra H nằm trên đường tròn đường kính AJ là đường tròn cố định ĐPCM

c) Kẻ IK BC Dễ thấy AH || IK (Vì cùng vuông góc với BC)

Ta có:

Ta có (đpcm.)