Bồi dưỡng Toán 9 (đề 20)

Lý luận tương tự, ta có:... Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho Lời giải: Qua M kẻ đường thẳng d song song với AD và lấy trên d điểm N sao cho: MN

ĐÁP ÁN ĐỀ 20

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình x2 + ax + 1= 0 và

x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung Hãy tìm tổng a + b + c

Lời giải:

Gọi x1 là nghiệm chung của các phương trình x2 + ax + 1= 0 và x2 + bx + c = 0

Ta có: x12 + ax1 + 1= 0 và x12 + bx1 + c = 0 Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:

Gọi x2 là nghiệm chung của các phương trình: x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0

Lý luận tương tự như trường hợp đầu, ta có: (c–1)x2 + b – a =0

Từ (1) và (2) suy ra x1x2 = 1

Vì x1 là nghiệm của phương trình x2 + ax + 1= 0 nên x2 là nghiệm còn lại của phương

Lại vì x2 là nghiệm của phương trình x2 + x + a = 0 nên x22 + x2 + a = 0 (4)

Dễ dàng nhận thấy vì với a = 1, phương trình x2 + ax + 1 = 0 không có nghiệm thực Do đó từ (5) suy ra x2 = 1

Vì x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + b = 0 nên b + c + 1 = 0 (7)

Từ (6) và (7), cộng vế theo vế ta được a + b + c + 3 =0, hay là a + b + c = –3

Vậy a + b + c = –3

Bài 2: Cho 3 số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải:

Ta có: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1

(1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c) abc

(a+b+c–2a)(a+b+c–2b)(a+b+c–2c) abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:

2a = (c+a–b) + (a+b–c) 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (c+a–b) = (a+b–c) b = c

Lý luận tương tự, ta có:

b (3)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta được bất đẳng thức (1) Suy ra ĐPCM

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = x = y = z = 3

Bài 3: Cho a > c, b > d Chứng minh rằng: (a + b + c + d)2> 8(ad + bc)

Lời giải:

Ta có:

(a + b + c + d)2 – 8(ad + bc) =

(a2 + b2 + c2 + d2) + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd – 8(ad + bc)

= 4(ab + cd – ad – bc) + (a2 + b2 + c2 + d2 –2ab – 2cd –2ad – 2bc + 2ac + 2bd)

= 4(a – c)(b – d) + (a + c – b – d)2 > 0

ĐPCM

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho

Lời giải:

Qua M kẻ đường thẳng (d) song song với AD và lấy trên (d) điểm N sao cho:

MN = AD = BC Dễ dàng chứng minh được tứ giác ADMN và tứ giác BCMN là hình bình hành

NA = MD và NB = MC

MCD = NAB (cạnh, cạnh, cạnh)

ANB = CMD

tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp

Ta có:

Từ (1), (2), (3) suy ra: MCD = MAD ĐPCM

Bài 5: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Đường thẳng O1A cắt (O2) tại C, đường thẳng O2A cắt (O1) tại D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O1), (O2) lần lượt tại M và N Chứng minh rằng:

a) Năm điểm B, C, D, O1, O2 cùng nằm trên cùng một đường tròn

b) BC + BD = MN

Lời giải:

a) Ta có: O1O2A = O1O2B (cạnh, cạnh, cạnh)

O1AO2 = O1BO2

Lại có CAO2 = ACO2(Tam giác ACO2 cân)

Từ đó suy ra:

O1BO2 + O1CO2 = O1AO2 + CAO2 = 1800

Tứ giác BO1O2C nội tiếp

Chứng minh tương tự, tứ giác BO1O2D cũng là tứ giác nội tiếp

Năm điểm B, C, D, O1, O2 cùng nằm trên một đường tròn ĐPCM

b) Tứ giác BO2CD nội tiếp, có hai dây cung BO2 và CO2 bằng nhau nên DO2 là phân

Mặt khác, vì CD song song với MN nên DAM = ADC(2)

Từ (1) và (2) suy ra DAM = ADB

DAB = DAM + MAB = ADB + MDB = MDA

BD = MA (Mối tương quan giữa góc và dây cung của đường tròn (O1) (3)

Từ (3) và (4) suy ra MN = MA + NA = BD + BC

Vậy MN = BC + BD ĐPCM