Tiết 56: Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

GV thực hiện : Nguyễn Hữu HồngTrường THCS Tiến Thiết Lớp 9G... -Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn , các hệ số của phương trình và dùng chúng trong biến đổi và giải phương

GV thực hiện : Nguyễn Hữu Hồng

Trường THCS Tiến Thiết

Lớp 9G

Công thức nghiêm của

PT bậc hai : Đối với phương trình ax2 +bx

0

a 

và   b2 4ac

-

Nếu

thì phương trình cĩ hai nghiêm phân biệt :

- Nếu   0

thì phương trình cĩ nghiệm kép :

2

b

x x

a

 

- Nếu thì phương trình vơ nghiệm

0





0





0 3

:

a

b x

a

b x

2

,

1         ;

Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm(∆≥0):

Hãy tính a) x1 + x2,

b) x1.x2.

2

b x

a

  

2

b x

a

  





 2

1 x

x  a b x1.x2  a c

Đáp số:

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

.

và

1.HỆ THỨC VI-ÉT:

Nội dung ?1

cho ta tổng quát lên điều gì

?

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

* Định lí VI-ÉT:

a

b

x

.

2

c

x

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603) người Pháp.Ông là một nhà toán học nổi tiếng

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí

hiệu các ẩn , các hệ số của phương trình và dùng chúng trong biến đổi và giải phương trình Nhờ cách dùng chữ

để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh

- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của

phương trình

- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã

- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng

TiẾT 57:

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1 2  

.

. 2

1 a

c

x

* Định lí VI-ÉT:

Δ =

x1+ x2 =

x1 x2 =

Δ =

x1+ x2 =

x1 x2 =

Bµi tËp 25(Sgk/52): Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu

x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…)

a, 2x2 - 17x + 1 = 0

(-17)2 – 4.2.1 = 281 > 0

1 2

17 2

= 0 (-1)2 – 4.8.1= -31 < 0

Kh«ng cã gi¸

trÞ Kh«ng cã gi¸

trÞ

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thỡ:

1 HỆ THỨC VI-ẫT:

a

b x

x1  2  

.

. 2

1 a

c

x

* Định lớ VI-ẫT:

*T.Quỏt 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ

PT cú một nghiệm x1 = 1 , cũn nghiệm kia là

Cho PT: 2x2 - 5x + 3 = 0

a, Xỏc định cỏc hệ số a, b, c rồi

tớnh a + b + c

b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm

của phương trỡnh

c, Dựng định lớ Vi-ột để tỡm x2

(? 2) SGK:

a) Ta có a =

2 a + b + c

=

2 + (-5) +

Thay x1= 1 vào VT của PT ta có:

VT = 2.12 - 5.1 + 3

= 0 Vậy x1= 1 là một nghiệm của PT

Theo định lý Vi-ét thỡ:x x1 2 c

a



Mà x1= 1

b)

c)

2

3

2  



a

c x

.

2

a

c

x 

= VP

; b = -5

; c = 3

TiếT 56:

ĐẠI SỐ Đ 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thỡ:

1 HỆ THỨC VI-ẫT:

a

b

x

x1 2  

.

. 2

1 a

c

x

* Định lớ VI-ẫT:

*T.Quỏt 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ

PT cú một nghiệm x1 = 1, cũn nghiệm kia là

Cho PT: 3x2 + 7x + 4 = 0

a, Chỉ rừ cỏc hệ số a, b, c rồi tớnh

a - b + c

b, Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm

của phương trỡnh

c, Tỡm x2

? 3 – SGK:

Ta có a = ; b = ; c =

a - b + c

=

3 - 7 + 4= 0

Thay x1= -1 vào VT của PT ta có:

VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 = VP Vậy x1= -1 là một nghiệm của PT

Theo định lý Vi-ét thỡ:x x1 2 c

a



Mà x1= -1

a, b,

c,

3

4

2    



a

c x

.

2

a

c

x 

TiếT 56:

ĐẠI SỐ Đ 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1 2  

.

. 2

1 a

c

x

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 

*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2  

(? 4) – SGK: Tính nhẩm nghiệm của các phương

trình:

a) -5x2 + 3x + 2 = 0 b) 2004x2 + 2005x +1 = 0

Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0

Vậy x1 = 1;

5

2



Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0 Vậy x1 = -1;

2004

1



a

c

a

c



TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1 2  

.

. 2

1 a

c

x

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là 2 .

a

c

x 

*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là 2 .

a

c

x  

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Bài toán: Tìm hai số biết

tổng của chúng bằng S và

tích của chúng bằng P.

Lập luận : Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là (S - x).

Tích hai số bằng P nên: x(S – x) = P

 x2 – Sx + P = 0 (1) Nếu  = S2 – 4P ≥ 0 thì PT (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là các

số cần tìm.

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1 2  

a

c

x

x1. 2 

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 

*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2  

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0.

Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180

Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – 27x + 180 = 0

x1 = 15 ; x2 = 12.

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.

 = (-27)2 - 4.1.180 = 9

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1 2  

a

c

x

x1. 2 

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 

*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2  

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

? 5 – SGK: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x2 – x + 5 = 0.

 = (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < 0

Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1, tích bằng 5.

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

TiẾT 57:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1 2  

a

c

x

x1. 2 

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 

*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2  

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của PT x2 – 5x + 6 = 0

Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6

nên x = 2, x =3 là hai nghiệm của PT đã cho

TiÕT 56:

ĐẠI SỐ § 6.

H íng dÉn vÒ nhµ

- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc

biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.

- Bài tập về nhà : 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.

- Bài tập NC : Cho phương trình:

Có hai nghiệm

a,Hãy biểu diễn biểu thức M= theo m ?

b,Tìm m để M=m /.

,0 )1

( 2

3 x2  m  x  m 

2 1

2 2

1 ) 10 (

.

x

Cảm ơn các thầy cô đã đến dự tiết học !

Chúc các em tiến bộ hơn trong học tập !

Trường THCS Tiến Thiết

Lớp 9G