Ứng dụng tính liên tục Cm pT có nghiệm-Ôn thi đại học

ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘTPHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa : 1.

ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT

PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa :

1 Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên tục tại x 0 (a; b)

 lim f ( x )

0

x

x   = lim f ( x )

0

x

x   = limf(x)

0

x x = f(x 0)

2 Định nghĩa 2: f(x) liên tục trên [a; b]  f(x) liên tục  x  (a,b) và

















) b ( f ) x (

f

lim

) a ( f ) x (

f

lim

b

x

a

x

3 Định nghĩa 3: Nếu f(x), g(x) liên tục trên D thì: f + g; f – g; f.g; gf (nếu g  0) là các hàm liên tục trên D

II.Một vài định lý áp dụng :

1.Định lý 1:

f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó

2.Định lý 2:

f(x) liên tục trên [a; b]; m = xmin[a;b]f(x); M = xmax[a;b]f(x) thì  k  [m; M], c



[a; b] sao cho f(c) = k

3.Hệ quả :

f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì c  (a; b) sao cho f(c) = 0

Ví dụ 1 Cho 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng: ax + bx + c = 0 có nghiệm 2

x  [0;

3

1

]

Giải.

Đặt f(x) = ax + bx + c.2

f(0) = c

18.f(

3

1

) = 2a + 6b + 18c = – c (gt)

 f(0).f(

3

1 ) = – 18

c 2

 0 theo hệ quả trên  f(x) = 0 có nghiệm x  [0;

3 1 ]

Ví dụ 2 Chứng minh rằng  a, b, c phương trình: a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx

= 0 có nghiệm

Giải.

Đặt f(x) = a.cos3x +b.cos2x + c.cosx +sinx

f(0) = a + b + c

f(

2



) = – b +1

f(

2

3

) = – b – 1

f() = – a + b – c

f(0) + f(

2

 ) + f(

2

3

) + f() = 0

 trong các số f(0); f(

2

 ); f(

2

3

); f() có ít nhất 1 số  0, 1 số  0  tích của chúng  0  áp dụng hệ quả suy ra phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 3 Cho f(x) liên tục trên [0; 1] thoả mãn f(0) = f(1) Chứng minh rằng  n 

N thì c  [0; 1] sao cho f(c) = f(c +

n

1 )

Giải.

Đặt g(x) = f(x +

n

1 ) – f(x)  g(x) liên tục trên [0;

n

1

n  ] g(0) = f(

n

1

) – f(0)

g(1) = f(

n

2

) – f(

n

1 )

g(

n

1

n 

) = f(1) – f(

n

1

n  )

 g(0) + g(

n

1 ) + + g(

n

1

n  ) = f(1) – f(0) = 0

 i, j  {0, 1, , n–1} sao cho g(

n

i )  0, g(

n

j )  0

 g(

n

i

).g(

n

j )  0

 c  [min{

n

i , n

j }, max{

n

i , n

j }] sao cho g(c) = 0

 f(c +

n

1 ) – f(c) = 0  f(c) = f(c +

n

1 )

Ví dụ 4 Cho f(x) liên tục trên [a; b] và 2 số ,  > 0 Chứng minh rằng c 

[a; b] sao cho: .f(a) + .f(b) = ( + ).f(c)

Giải.

Theo định lý 1  tồn tại x 1, x 2  [a; b] sao cho

f(x 1) = xmin[a;b]f(x) = m; f(x 2) = xmax[a;b]f(x) = M

vì  > 0,  > 0 nên ( + ).m < .f(a) + .f(b) < ( + ).M.

Xét hàm số g(x) = ( + ).f(x) – .f(a) – .f(b)

Ta có f(x ) liên tục trên [a; b]  g(x) cũng liên tục trên [a; b] Không mất tính tổng quát giả sử x 1 < x 2  [x 1; x 2]  [a; b]

Ta có

g(x 1) = ( + ).f(x 1) – .f(a) – .f(b) = ( + ).m – .f(a) – .f(b) g(x 2) = ( + ).f(x 2) – .f(a) – .f(b) = ( + ).M – .f(a) – .f(b)

 g(x 1).g(x 2)  0  c  [x 1; x 2] sao cho g(c) = 0

 ( + ).f(c) – .f(a) – .f(b) = 0  ( + ).f(c) = .f(a) + .f(b) (đpcm )

4.Định lý Lagrange:

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f ’(c) =

b a

) b ( f ) a ( f





Ví dụ Cho m > 0 và

2 m

a

1 m

b

m

c = 0

Chứng minh rằng: ax + bx + c = 0 có nghiệm x 2  (0; 1)

Giải.

Xét hàm f(x) =

2 m

a



2 m

x  +

1 m

b



1 m

x  +

m

x

f ’(x) = a.xm  1 + b.x + c.m xm  1

ta có f(1) =

2 m

a

1 m

b

m

c = 0

f(0) = 0

áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [0; 1]: x 0  (0; 1) sao cho:

f ’(x 0) =

0 1

) 0 ( f ) 1 ( f





= 0

 a m 1

0

+ b m 0

x + c m 1

0

= 0

0

0

x + b.x 0 + c) = 0

 a 2

0

x + b.x 0 + c = 0 (vì x 0  (0; 1)  xm01

 0)

 x 0 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 và 2 x 0  (0; 1) (đpcm)