Biểu thị fxdx theo t và dt giả sử fxdx=gtdt 3.. Tìm một nguyên hàm Gt của gt 4... Diện tích phải tìm là :.
Trang 1Nguyªn Hµm -TÝch ph©n - øng dông
I/ Nguyªn hµm
1/ TÝnh chÊt nguyªn hµm
* f(x)dx' f(x)
* a.f(x)dx a.f(x)dx
* [f(x) g(x)]dxf (x)dxg(x)dx
2/ B¶ng nguyªn hµm
Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp
th-êng gÆp
Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp
u = u(x)
C gx x
dx
C tgx
x
dx
C x xdx
C x xdx
C a
a
dx
a
C e
dx
e
C x
x
dx
C x
dx
x
C
x
dx
Ï
Ï
cot
sin
cos
cos
sin
sin
cos
ln
|
|
ln
1
2
2
·
·
1
(x 0)
(0<a 1)
C gu u
dx
C tgu u dx
C u udx
C u udx
C a
a dx a
C e dx e
C u u
dx
C u
dx u
C u du
u u
u u
cot sin
cos
cos sin
sin cos
ln
|
| ln 1
2 2
1
(u=u(x) 0)
(0<a 1)
3/ VÝ dô : T×m nguyªn hµm
a/ (2x 3x5)dx23x 3x2 5xC
2 3 2
x
cos
2 sin
c/
dx x x x C
x
x x
1 3
1
4
3
6 6 3
4 3
2
d/ x dx x d x x C
30
) 3 5 ( ) 3 5 ( ) 3 5 ( 5
1 )
3
5
(
6 5
5
5
sin ) (sin sin
cos
.
sin
5 4
4
Trang 2f/
e
1 1
x
x
8
) 3 ln 2 ( ) 3 ln 2 ( ) 3 ln 2 ( 2
1 ) 3
ln
2
3 3
4/ Bài tập về nhà
Tìm nguyên hàm của hàm số
a/ f(x) = 2x3 +3x -5
b/ f(x) = 1 31
x
x
c/ f(x) = ex(1-e-x)
d/ f(x) = ex
x
e x
2
cos 2
e/ 2x 10 20dx
f/ cos3 x sin. xdx
g/ lnx x2dx
h/ e eẽ dx
II/ Tích phân
1/ Định nghĩa (SGK)
b
b a a
ĐL : GSử f(x) là hàm số liên tục và f(x) 0 /[a,b] hế thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x = b
là : S = F(b)-F(a) với F(x) là nguyên hàm bất kỳ của s(x) trên [a,b]
2/ Tính chất của tích phân
a
a
f x dx
* [ ( ) ( )] ( ) ( )
* f(x) 0 / , ( ) 0
b a
* ( ) ( ) / , ( ) ( )
Trang 3* ( ) / , ( ) ( ) ( )
b a
3/ Ví dụ : Tính tích phân
a/
1 1
1
4
b/
1
2
0
(x 3x 5)dx
c/ 2 3
0
sin xcosxdx
4/ Các ph ơng pháp tính tích phân
a/ Tích phân đổi biến số
Giả sử phải tính ( )
b a
f x dx
trong đó f(x) liên tục /[a,b]
* Đổi biến số dạng 1
Định lý : Nếu
Cách thực hành
b
a
f x dx
Ví dụ : Tính tích phân
a/ I =
1
2 0
1 x dx
Đặt x = sint => dx=costdt
Khi x = 0 => t = 0; x = 1 => t =
2
=> I= 2
0
cost.cost.dt=
2 0
cos2t.dt =
2 0
1 2 2
cos t dt
0
sin 2
4
Trang 4b/ J = 2
0 1 x
Đặt x =tgt => dx = 12
dt
2t)dt
Khi x=0 => t = 0; x = 1 => t =
4
=>
1
2
0 1
dx
x
2
0
1
tg t
c/ K =
1
2
dx
Ta có
2
1
x x x
2
Khi x = 0 => t =
6
; x = 1=> t =
3
=>
1
2
dx
2 3
2 6
3
2 3
4
tg t dt
tg t
3
3 6 6
* Đổi biến số dạng 2
1 Đặt t = v(x), v(x) là hàm số có đạo hàm liên tục
2 Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx=g(t)dt
3 Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
4 Tính
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
v b
v b
v a
v a
5 Kết luận ( ) ( ) ( )( )
b
v b
v a a
Ví dụ : Tính tích phân
a/
1
3
0
(2x 1) dx
Đặt t = (2x+1) => dt =2dx hay dx = dt/2
Khi x = 0 => t =1; x = 1 => t =3
Trang 5=>
1
3
0
(2x 1) dx
1 1
1
10
t
b/
2
.ln
e
e
dx
Đặt t = lnx => dt = dx/x =>dx = x.dt
Khi x = e => t =1; x =e2 => t = 2
=>
2
.ln
e
e
dx
2
2 1 1
ln ln 2 ln1 ln 2
dt
t
c/
2
1 2 1
dx
x
0
.cos
x
d/
2
2
1 (2 1)
dx
x
0
1 4sin cosx xdx
e/
1
1 ln
dx x
g/ 2 3
0
sin cosx xdx
b/ Tích phân từng phần
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoan [a;b] thì :
Hay
Ví dụ : Tính tích phân
a/
2
5 1
ln x
dx x
( ) '( ) ( ( ) ( )) ( ) '( )
b a
b a
Trang 65
4
ln
1 4
x dx
dv
v x
x
2 5 1
ln x
dx x
2
1
1
64 16 16 256 64
b/ 2
0
.cos
Đặt
=> 2
0
.cos
2
0
c/
1
0
x
xe dx
Do đó :
1 0
x
xe dx
= (xex)
1
0
BTVN
Câu 1 : Tính tích phân
a/
0
0
tgxdx
c/ 2
0
sin
1 3cos
x dx x
1 0
e2xdx
e/ 2
1
0
.
x
1 0
33x+1dx
Câu 2 : Tính tích phân
Trang 7a/ 2
0
2 0
sin3xcosxdx
c/ 6
0
1 4sin cosx xdx
1 ln
dx x
Câu 3 : Tính
a/
1
0
1 0
x2e-xdx
c/ 2
0
6 0
(2-x)sin3xdx
Câu 4 : Tính
a/ 2
0
2 0
excosxdx
c/
1
e
1
e
(lnx)2dx
5/ Diện tích của hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), hai đờng thẳng
b a
f x dx
Diện tích hình phẳng giới hạn bời hai đờng x=a, x=b, và đồ thị của hai
hàm số y =f(x), y = g(x)
S = ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
R
Ví dụ 1 : Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa các đờng
y = x3, y = 0, x = -1, x = 2
Giải
Giải phơng trình x3 = 0 x =0 [-1;2] Diện tích phải tìm là :
Trang 8S = 3 3 3 3 3
|x dx| |x dx| |x dx| x dx x dx
=
4
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng nằm giữa hai đờng y = x3-3x và y = x
Giải
Ta có x3-3x – x = 0 x(x2-4) = 0 x=-2, x = 0, x = 2 Diện tích cần tìm là :
S | x 4x | dx |x 4x | dx | x 4x | dx
=
áp dụng
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau :
a/ x = 0, x =1, y =0, y = 5x4+3x2+3
b/ y = x2+1, x+y = 3
c/ y = x2+2, y =3x
d/ y = 4x-x2
e/ y = lnx, y = 0, x = e
f/ x = y3 , y = 1, x = 8
a S = 5 đvdt
b S = 9/2 đvdt
c S = 1/6 đvdt
d S = 32/3 đvdt
e S = 1 đvdt
f S = 17/4
Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ x = , x
2
, y = 0, y =cosx
b/ y =x(x-1)(x-2), y = 0
a S =3 đvdt
b S = 1/2 đvdt
Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y =x2-2x+2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3,5) và trục tung
HD : Phơng trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M( 3, 5) là : y = 4(x-3)+5
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4 -2
2 4 6
x y
Trang 9Hoành độ giao điểm của (P) và tiếp tuyến là nghiệm của
phơng trình x2-2x+2= 4x-7
x2 – 6x + 9 = 0 x = 3
=> S =
3 3
0 0
x
3
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x3-1
đờng thẳng x = 2, trục tung và trục hoành
HD : Giải phơng trình x3-1 = 0 x = 1 [0, 2]
S =
= 1 1 2 (1 1) 3 11 7
4 4 4 4 2 đvdt
Bài 5 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y = 2-x2 và y = -x
Hoành độ giao điểm của hai đờng là
nghiệm của phơng trình
2-x2 = -x -x2 +x+2 = 0 x = -1 và x = 2
=> S =
2
2 1
9 (2 x x )dx
2
f(x)=x^3-1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-6 -4 -2
2 4 6
x y
O 1
f(x)=2-x^2 f(x)=-x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-6 -4 -2
2 4 6
x y
O -1
