phương trình đường thẳng

Bài tập trác nghiệm về phương trình đường thẳng trong không gian, các bài tập có lời giải chi tiết đầy đủ. tài liệu soạn thảo theo phương pháp trác nghiệm bám sát đề minh họa của bộ giáo dục và đào tạo

∆ có vectơ chỉ phương auur∆

( )α có vectơ chỉ phương nuurα

III Khoảng cách:

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆:

∆ đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương auur∆

Chủ đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

IV Các dạng toán thường gặp:

1 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt A B, .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là uuurAB .

2 Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d.

Cách giải:

Trong trường hợp đặc biệt:

• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là auur r∆ = =i (1;0;0)

• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là auur∆ = =rj (0;1;0)

• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là auur∆ = =kr (0;1;0)Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là auur uur∆ =a d , với auurd là vectơ chỉ phương của d

3 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( )α .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là auur uur∆ =nα, với nuurα là vectơ pháp tuyến của ( )α .

4 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d d1, 2 (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = a a1, 2

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = a n d, α

uur uur uur

, với auurd là vectơ chỉ phương của d

, nuurα là vectơ pháp tuyến của ( )α .

6 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng ( ) ( )α β, ; (( ) ( )α β, là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = n nα, β

uur uur uur

, với n nuur uurα, β lần lượt là vectơ pháp

7 Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α và ( )β .

Cách giải:

• Lấy một điểm bất kì trên ∆, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

• Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = n nα, β

uur uur uur

, với n nuur uurα, β lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( ) ( )α β, .

8 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng

9 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( )α và cắt hai đường thẳng d d1, 2

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là auur uuur∆ =AB, với A d= ∩1 ( )α ,B d= 2∩( )α

10 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d.

Cách giải:

• Xác định B= ∆ ∩d.

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A B, .

11 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2 , với A d∉ 2

Cách giải:

• Xác định B= ∆ ∩d2

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A B, .

12 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( )α .

Cách giải:

• Xác định B= ∆ ∩d.

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A B, .

13 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( )α cắt và vuông góc đường thẳng d.

Cách giải:

• Xác định A d= ∩( )α .

• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = a n d, α

uur uur uur

, với auurd là vectơ chỉ phương của d, nuurα là vectơ pháp tuyến của ( )α .

14 Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng ( )α , nằm trong ( )α và vuông góc đường thẳng d(ở đây dkhông vuông góc với ( )α )

Cách giải:

• Xác định A d= ∩( )α .

• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = a n d, α

uur uur uur

, với auurd là vectơ chỉ phương của d, nuurα là vectơ pháp tuyến của ( )α .

15 Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A B, .

16 Viết phương trình đường thẳng ∆song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương auur uurd =a∆ .

17 Viết phương trình đường thẳng ∆vuông góc với mặt phẳng ( )α và cắt cả hai đường thẳng

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương auur uurd =nα .

18 Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( )α .

Cách giải : Xác định H∈ ∆ sao cho uuurAH ⊥auurd,với auurd là vectơ chỉ phương của d.

• Viết phương trình mặt phẳng ( )β chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( )α .

• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α và ( )β

19 Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng ( )α theo phương d'.

Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng ( )β chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương uuurd' .

• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α và ( )β .

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.

2 Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại.

3 Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số.

4 Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng.

Nhận biết và Thông hiểuCâu 1.Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :

(I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương aur(2; 2;3)

(II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương auur' 2; 2;9( )

(III) ar và auur' không cùng phương nên d không song song với d’

Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:

A Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.

B Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.

C Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.

D Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương trình tham số

23

d đi qua điểm A(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương auurd =(1; 3;5− )

Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc

∆ đi qua điểm A(3; 1;0− ) và có vectơ chỉ phương auur∆ =(2; 3;1− )

Vậy phương trình tham số của ∆ là

d đi qua điểm M(−2;1;3) và có vectơ chỉ phương auurd =(2; 1;3− )

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng

Đường thẳng d đi qua

điểm M và có vectơ chỉ phương auurd có tọa độ là:

Hướng dẫn giải

d đi qua M(−2;2;1) và có vectơ chỉ phương auurd =(1;3;1)

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của

đường thẳng d qua điểm M(−2;3;1) và có vectơ chỉ phương ar=(1; 2;2− )?

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆

của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2;5− )và B(3;1;1) ?

∆đi qua hai điểmAvà B nên có vectơ chỉ phương uuurAB=(2;3; 4− )

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 1 2 5

x− = y+ = z−

−

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có A(−1;3;2 ,) (B 2;0;5 ,) (C 0; 2;1− )

Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là

AM đi qua điểm A(−1;3;2) và có vectơ chỉ phương uuuurAM =(2; 4;1− )

Vậy phương trình chính tắc của AM là 1 3 2

x+ = y− = z−

−

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác , ABC với A(1;4; 1 ,− ) (B 2;4;3 ,) (C 2;2; 1− )

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương a uurd = ( 0;1;2 )

d qua A(1;4; 1− ) và có vectơ chỉ phương auurd

Vậy phương trình tham số của d là

14

y y

x y

x y

Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương auur rd = =i (1;0;0)

d đi qua M(1;3;4) và có vectơ chỉ phương auurd

Vậy phương trình tham số của d là

134

y y

d có vectơ chỉ phương auurd = −( 2;1;2)

Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương auur∆=auurd = −( 2;1;2)

∆ đi qua điểm A(3;1; 1− ) và có vectơ chỉ phương auur∆ = −( 2;1;2)

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 3 1 1

d có vectơ chỉ phương auurd =(2; 1;3− )

Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương auur∆=auurd =(2; 1;3− )

∆ đi qua điểm M(1;3; 4− ) và có vectơ chỉ phương auur∆

Vậy phương trình tham số của ∆ là

1 23

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng ( )P : 2x y z− + − =3 0 Phương trình

chính tắc của của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(−2;1;1) và vuông góc với ( )P là

( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(2; 1;1− )

Vì ∆ vuông góc với ( )P nên d có vectơ chỉ phương auur∆ =nuurP =(2; 1;1− )

∆ đi qua điểm M(−2;1;1) và có vectơ chỉ phương auur∆

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 2 1 1

x+ = y− = z−

−

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :x−2y+2z− =3 0.Phương trình

tham số của đường thẳng d đi qua A(2;1; 5− ) và vuông góc với ( )α là

Vì d vuông góc với ( )α nên d có vectơ chỉ phương auurd =nuurα =(1; 2;2− )

d đi qua A(2;1; 5− ) và có vectơ chỉ phương auurd =(1; 2; 2− )

Vậy phương trình tham số của d là

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1;3− ) và

vuông góc với mặt phẳng (Oxz là.)

A.

2

1 3

(Oxz) có vectơ pháp tuyến rj=(0;1;0)

Vì ∆ vuông góc với (Oxz) nên ∆ có vectơ chỉ phương auur∆ = =rj (0;1;0)

∆ đi qua điểm A(2; 1;3− ) và có vectơ chỉ phương auur∆

Vậy phương trình tham số của ∆ là

213

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1; 2 ,− ) (B 4; 1;1 ,− ) (C 0; 3;1− )

Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC là)

A.

2

1 2 2

Gọi Glà trọng tâm ∆ABC, ta có G(2; 1;0− )

Gọi auurd là vectơ chỉ phương của d

2; 2;32; 4;3

d đi qua G(2; 1;0− ) và có vectơ chỉ phương là auurd =(1; 2; 2− − )

Vậy phương trình tham số của d là

2

1 22

Câu 17 (ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B(−1;2;4)

Phương trình d đi qua trọng tâm của OAB∆ và vuông góc với mặt phẳng (OAB là)

A B − − − C − − Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt

phẳng ( ABC Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d )

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2;1; 5 ,− )

đồng thời vuông góc với hai vectơ ar=(1;0;1) và br=(4;1; 1− ) là

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 2 1 5

− Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời

vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ là

d có vectơ chỉ phương auur2 =(1; 2; 2− − )

Gọi auur∆ là vectơ chỉ phương ∆

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x y+ +2z− =1 0 và đường thẳng

∆ có vectơ chỉ phương auur∆ =(2; 1;3− )

( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(2;1;2)

Gọi auurd là vectơ chỉ phương d

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )α :x−2y+2z+ =3 0 và

( )β : 3x−5y−2z− =1 0 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;3; 1− ) , song song với hai mặt phẳng ( ) ( )α β, là

A.

1 14

3 8 1

( )α có vectơ pháp tuyến nuurα =(1; 2;2− )

( )β có vectơ pháp tuyến nuurβ =(3; 5; 2− − )

d đi qua điểm M(1;3; 1− ) và có vectơ chỉ phương là auurd =n nuur uurα, β=(14;8;1)

Vậy phương của d là

1 14

3 81

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α : 2x y− +2z− =3 0 Phương trình

đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 1− − ) , song song với hai mặt phẳng ( ) (α , Oyz) là

A.

2

3 2 1

( )α có vectơ pháp tuyến nuurα =(2; 1;2− )

(Oyz có vectơ pháp tuyến ) ri=(1;0;0)

d đi qua điểm A(2; 3; 1− − ) và có vectơ chỉ phương là auurd = n iuur rα, =(0;2;1)

Vậy phương của d là

2

3 21

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )α :x−3y z+ =0 và ( )β :x y z+ − + = =4 0 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

A.

2

( )α có vectơ pháp tuyến nuurα =(1; 3;1− )

( )β có vectơ pháp tuyến nuurβ =(1;1; 1− )

d có vectơ chỉ phương auurd =n nuur uurα; β=(2;2;4)

d đi qua điểm M(−2;0;2) và có vectơ chỉ phương là auurd

Vậy phương trình tham số của d là

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )α :x−2y z− + =1 0 và ( )β : 2x+2y− − =3z 4 0 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm

(1; 1;0)

M − và song song với đường thẳng ∆ là

( )α có vec tơ pháp tuyến nuurα =(1; 2; 1− − )

( )β có vec tơ pháp tuyến nuurβ =(2;2; 3− )

d đi qua điểm M(1; 1;0)− và có vectơ chỉ phương là auurd =n nuur uurα, β=(8;1;6)

Vậy phương trình của d là 1 1

A.

2

1 2 3

d có vectơ chỉ phương auurd =(2;1; 2− )

∆ đi qua điểm A(2; 1; 3 ,− − ) và có vectơ chỉ phương là auur∆ = k ar uur, d= −( 1;2;0)

Vậy phương của ∆ là

2

1 23

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−3y+5z− =4 0 Phương trình

đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−2;1; 3 ,− ) song song với ( )P và vuông góc với trục tung là

∆ đi qua điểm A(−2;1; 3 ,− ) và có vectơ chỉ phương là auur∆ = r uurj n, P= (5;0; 2− )

Vậy phương của ∆ là

2 51

Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( )S , song song với

( )α : 2x+2y z− − =4 0 và vuông góc với đường thẳng : 1 6 2

Tâm của mặt cầu ( )S là I(1; 2;3− )

∆ có vectơ chỉ phương auur∆ =(3; 1;1− )

( )α có vectơ pháp tuyến nuurα =(2;2; 1− )

d đi qua điểm I(1; 2;3− ) và có vectơ chỉ phương là auurd =a nuur uur∆, α= −( 1;5;8)

Vậy phương của d là

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x y

d đi qua điểm B(12;9;1)

Gọi H là hình chiếu của B lên ( )P

( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(3;5; 1− )

BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương auuur uurBH =n P =(3;5; 1− )

( ) ( )

d đi qua A(0;0; 2− ) và có vectơ chỉ phương auurd' =(62; 25;61− )

Vậy phương trình tham số của d' là

6225

• Gọi ( )Q qua d và vuông góc với ( )P

d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương auurd =(4;3;1) ( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(3;5; 1− )

( )Q qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến nuurQ =a nuur uurd, P= −( 8;7;11) ( )Q : 8x−7y−11z−22 0=

• d' là giao tuyến của ( )Q và ( )P

Tìm một điểm thuộc 'd , bằng cách cho y=0

Hình chiếu song song

của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương : 1 6 2

x+ y− z−

chọn M bất kỳ không trùng với M0(5;0;5); ví dụ: M(1; 2;3)− Gọi A là

hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương : 1 6 2

• d đi qua điểm A(3; 2; 1− − ) và có vectơ chỉ phương uuurAB= −( 5;1; 1− )

Vậy phương trình chính tắc của d là 3 2 1

A.

3

1 2 1

( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(1;2; 3− )

∆ có vectơ chỉ phương auur∆ =(1;1; 1− )

d P d

d đi qua điểm M(−3;1;1) và có vectơ chỉ phương là auurd

Vậy phương trình tham số của d là

3

1 2 1

1

AB a t

⇔ = −

uuur uruuur ur

∆ đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương uuurAB=(1; 3; 5− − )

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 3.

AB a t

⇔ =

uuur uuruuur uur

∆ đi qua điểm A(− −4; 2;4) và có vectơ chỉ phương uuurAB=(3;2; 1− )

Vậy phương trình của ∆ là 4 2 4

x+ = y+ = z−

−

Câu 5 (ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3 3

−

và mặt phẳng ( )P : 2x y+ − + =2z 9 0 Gọi A là giao điểm của d và ( )P Phương trình tham

số của đường thẳng ∆ nằm trong ( )P , đi qua điểm A và vuông góc với d là:

4

x t y

( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(2;1; 2− )

d có vectơ chỉ phương auurd = −( 1;2;1)

Gọi vecto chỉ phương của ∆ là auur∆

∆ đi qua điểm A(0; 1;4− ) và có vectơ chỉ phương là auur∆ =(5;0;5)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 1

4

x t y

AB n t

⇔ = −

uuur uuruuur uur

∆ đi qua điểm A(1;2; 1− ) và có vectơ chỉ phương uuurAB=(1; 2; 1− − )

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 1

A.

2

3 3

∆ ⇔ uuur uur cùng phương

⇔ có một số k thỏa uuurAB ka= uurd

∆ đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương uuurAB=(0; 1; 1− − )

Vậy phương trình của ∆ là

233