Chuong IIIOn tap tich phan

Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng 1 ngoài dùng để tính các tích phân thuộc 2 loại trên còn được dùng trong các bài toán biến đổi tích phân... Tích phân từng phần... Tích phân từng

Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t) Có 2 loại:

Loại 1: Với các tích phân có dạng hoặc a2 x dx2

β α

−

dx

β

α∫ −

2 2

x a = t  t ∈ −  π π  

     ÷

thì ta đặt

Loại 2: Với các tích phân có dạng hoặc

2 2

dx

β

dx

β

;

2 2

tg

x a t =  t ∈ −  π π  

thì ta đặt hoặc ;

2 2

tg

ax b c t + =  t ∈ −  π π  

Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng 1 ngoài dùng để tính các tích phân thuộc 2 loại trên còn được dùng trong các bài toán biến đổi tích phân

=

2 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:

0

a

−

=

3 Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:

Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t)

Ví dụ: 4 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:

0

( )

( ) 1

x a

f x

a

−

= +

Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t)

5 Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng: Đặt ( ( )) '( ) t = u(x)

a

f u x u x dx

∫

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t

( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))

f u x u x dx = f u x d u x

ln (ln ) ln

1

0

π

ln 2 ln 2 ln1 ln 2

3

x

−

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng: Đặt ( ( )) '( ) t = u(x)

a

f u x u x dx

∫

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t

( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))

f u x u x dx = f u x d u x

Chú ý: - Nhiều khi ta phải biến đổi trước khi thực hiện phép đổi biến số

Ví dụ:

/4

0

π

∫

Trong thực hành ta thường gặp các dạng tích phân sau:

b

a

Cách giải:

( )sin ,

b

a

b

a

∫ ( ) , với P(x) là đa thức

b

x a

P x e dx

∫

( ) ln

b

a

f x xdx

∫

Dạng 1:

Dạng 2:

Cách giải:

b x a

b x a

∫

Cách giải:

Tích phân hồi quy

Đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx, dv = exdx)

Đặt u = lnx, dv = f(x)dx

Đặt u = ex, dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx) Tích phân từng phần

Ngoài ra ta còn gặp một số dạng tích phân sau:

b

a

Cách giải: Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx Tích phân từng phần 2 lần

Tích phân hồi quy

Chú ý: - Có những bài toán phải tính tích phân từng phần nhiều lần

- Đối với dạng 1: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của đa thức P(x)

- Đối với dạng 2: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của hàm số y =

lnx

Tính các tích phân sau:

1

2 2

0

5) ∫ x e dxx ;

1

e

dx x

+

∫

1

2 0

4

dx

x

−

∫

3 1

e

∫

/2

0

7) ex cos xdx ;

π

∫

/2

5 0

3) cos xdx ;

π

∫

3

2 2

dx

x − x +

∫

- Chú ý rèn luyện kĩ năng nhận dạng và vận dụng để tính tính phân.

- Đối với tích phân đổi biến khi tính toán cần chú ý điều gì?

- Đối với tích phân từng phần khi tính toán cần chú ý điều gì?

5 DẶN DÒ

- Về nhà xem và làm lại các bài tập trong SGK và sách bài tập

- Ôn lại phần diện tích và thể tích, làm các bài tập trong SBT