Ôn tập tích phân nâng cao phần 2

Parabol y?. = 2x chia hinh phẳng giới hạn bởi đường tròn xˆ +yˆ =8 thành hai phần... Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoãnh b/ quanh truc tung..

220) -—- ` lTính diện tích của miễn kín giới hạn bởi đường cong

y= x l¢x? , trục Öx và đường thang x = 1

Giải:

Dudng cong (C): y= x4/I+x? cắt trục hoànhOx khi: xxI+x” =0 ©x =0

Ta có: x4l+xˆ >0, vối mọi x €[0; 1) Do đó điện tích § cần tìm là:

l y= |x L+x? dx,

0

Đặt: uyl+xˆ >uˆ=l+x” >2udu =2xdx > udu =xdx

Đổi cận: x=0>u=l, xz1> u= 2

3

Tacé: S= [ u’du = Ì =2 02 = (dvdt)

0

Tính điện hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ji+inx

~x

Diện tích hình phẳng § cần tìm: §= lnx 4x

X

Đặt: u=-jI+lnx — Uˆ=|+Ìnx=2udu= “dx

X Đổi cận: x= Í >u=Í: X=e= =4)

Ý2

Ta có; Š= | 2u’.du : ‘ost - ! : ov) -l) (dvdt)

|

Q= ` TTính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường;

Yy=Xˆ-2X Và y=-X + 4x

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:

x -2x =-x? +4x

& 2x’ -6x =0 © x=0 hay x =3

Đồ thị (P): y =x” -2x va (P,):y=-x° + 4x

như trên hình ve

Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm O(0; 0) và Á( ; 3)

Diện tích hình phẳng S cần tìm:

S=|[-x? +4x)-(x?-2x) Hx =|(-2x” +6x)dx 13 đó] =9 (dvdt)

Parabol y? = 2x chia hinh phẳng giới hạn bởi đường tròn

xˆ +yˆ =8 thành hai phần tính diện tích môi phần đó

[Do tính đối xứng nên: Sopac = 2-Soap = 20+ =

GoiS la dién tich hinhtrén (C) > S=2.R* =82

Czoi S- là phần ciiện tích hình tròn còn lai

2 2-2

Đặt: S¡=S¿„g= [A2xdx+ \8—x?.dx

với: [eas = (z2#] = =

2

Đồ thị @)iy=x7,@):y=—>, i y=—

như trên hình vẽ

Phương trình hoành độ giao điểm của

(P¡) và (H):

27

x7 =— Sx =27 Sx =3> toa dé AG, 9)

x

Ehưởng trình hoành độ giao điểm của:(Pờ và (H): '

— = — & x =6 => toa a9 B(6, 2}

Diện tích hình phẳng S cẩn tìm:

Jax = =27In2 (dvdr)

(d)tiép mic (P) khi hé sau c6 nghiém:

4-2x =K

Thế (2) vào (1) ta được:

4x—x? =(4—2x)(x -2)+6

x=l1=>Ke=1 x=4=>K=—-4

e>x? ~5x+4 =0 ©

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: (d,3:y = 2x +1, (d„): y =—4x +16

Diện tích hình phẳng S cần tim:

3⁄2 4

S=S, +S, = | (2x+1—4x+x?xIx+ ƒ (—4x+16~4x+x?Xix= =2 (đvảt}

AOL 330 ses rich ait tit gift gn bi cde dug: y=h?= 4x4 dlva y=3

Vẽ đỗ thị(C}: y =f(x)=x”—4x+3

f(x), F(x) = O0

—f(x), F(x) <O

Từ đồ thị (C)ta suy ra đồ thị (C?) như sau:

+ Giữ nguyên phần để thị (C nằm trền Ox

Ũ Lấy đối xứng phẩn để thị (C? nằm dưới Ox qua trục hoành

Đồ thị (C”) là hợp của 2 phần trên

Đường thẳng y = 3 cắt (C?)tại A(0 ; 3), B(4 ; 3)

Gọi S là điện tích hình phẳng cần tìm

Do tính đối xứng nên ta có: S=2{S, +S„}

Xét đỗ thị (C?): y= Fool=4

= 2.16 —|x? — 4x 4+3hdx« = al fc —(x? —4x4+3)]dx +B —(—-x’ od

Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : yˆ= 8x và đường thẳng x = 2 Tính thể

tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên:

a/ quanh trục hoãnh b/ quanh truc tung

ul (P): y? =8x & (P): y = 4/8 (x 20)

Thé tich V khéi tron xoay sinh ra khi quay hinh phang gidi han bdi (P) va x = 2 quanh truc Ox la:

V= nly’ dx =n] 8xdx = 16m (Avit)

l

i Œ):y =Bx©x=cy

Thể tích V khối quanh trục tung là:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p): y =2x- x’ Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho (H)

a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung

¬/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là:

2 2 `

a ny? dx = n|(2x-x*)*dx = = = (đvtt)

(P):y=2x—x ` ©x -2x+y=0 (J)

A'=l-y 206 O<yél

yo [ato viny, Osu SD

xy =l+afl-y, (Sx, $2)

Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trụe tung là:

3 _V= | (x3 - x dy = n(x, + Xxx, \dy = m)2(2 f= y dy =

2

Cho hinh gidi han elip: at =1 quay quanh trục hoanh Tinh thé tic

của khối tròn xoay dude tao nên

h tích Ykhối tròn xoay cân tìm là:

2 Ị

§ Ụ: nh : | 1): ae l (dvtt),

f |

Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miễn Dị

giới hạn bởi các đường:

a/ yYy=lÌnx; y=0; x =2 b¿x?+y—5=0;,x+y—3=0

g/ yv=e';y= "°”:;x=0;x=2 h/ y =x-In(+x”); x =1

if (P): y =x' (x >O), y=—3x+10; y=1 (miễn (D)) năm ngoài (P))

ki y= Vicos*x+sin* x; y=0;x “2i xX = 7

7L

105

af me? — 1): h/ = (21n2 ~ 1)

| Tinh thé tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường:

2/3

af y= (=| (0 <x<a) quanhtruc Ox

a

bf y=sinx;y=0 (O=x =7)

2

ci y=o(%) y= blo

dé y=e°; y=0 (0<x <+00) quanhtruc Ox va Oy

cf coef VQ = — 7b’; Ce —

TRUONGETHDIEGRUNGAUUONG

THHUGHHIEN

1/2008