• Nếu bậc của Px lớn hơn hoặc bằng bậc của Qx thì dùng phép chia đa thức... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ Nếu hàm số u u x = ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du = = thì
( )
( )
u b b
I = ∫ f x dx = ∫ g u du Nếu hàm số u u x = ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du = = thì
( )
( )
u b b
I = ∫ f x dx = ∫ g u du B
ài tập
1
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 2
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
∫ 3 4
0
tgxdx
π
∫
4
4
6
cot gxdx
π
π
∫ 5 6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6
1
2 0
1
x x + dx
∫ 7
1
2 0
1
x −x dx
∫
8
1
3 2
0
1
x x + dx
∫ 9
1 2 3
x dx
x +
∫
10
1
0
1
x −x dx
∫ 11
2 3 1
1
1dx
x x +
∫
12
1
2 0
1
1+x dx
∫ 13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x +
∫ 15
1
2 2 0
1 (1 3 )+ x dx
∫
16
2
sin 4
x
e cosxdx
π
π
∫ 17
2 4
sin
cosx
π
π
∫
Trang 218 2
1
2 0
x
e + xdx
∫ 19
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
20
2
sin 4
x
e cosxdx
π
π
∫ 21
2 4
sin
cosx
π
π
22 2
1
2 0
x
e + xdx
2
3
sin xcos xdx
π
π
24
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 25 2
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
26 4
0
tgxdx
π
∫ 27
4 6
cot gxdx
π
π
28 6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
1 2 0
1
x x + dx
∫
30
1
2 0
1
x −x dx
∫ 31
1
3 2 0
1
x x + dx
∫
32
1 2
3
x dx
x +
∫ 33
1
0
1
x −x dx
∫
34
2
3 1
1
1dx
x x +
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
36
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 37
1
1 3ln ln
e
x x dx x
+
∫
38
2ln 1 1
e e x
dx x
+
∫ 39
21 ln2
ln
e
e
x dx
x x
+
40
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 41
1
1 3ln ln
e
x x dx x
+
∫
4
2ln 1
1
e e x
dx x
+
∫ 43
21 ln2
ln
e
e
x dx
x x
+
44
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos + x
1
0
5
+
46 2 ( 4 )
0
sin + 1 cos
π
47
4
2
0
4 x dx −
∫
Trang 32/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng a2 + x2, a2 − x2 và x2 − a2 (trong trong đó
a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
• Với a2 − x2 , đặt sin , ;
2 2
x a = t t ∈ − π π
hoặc x a = cos , t t ∈ [ 0; π ]
• Với a2 + x2 , đặt , ;
2 2
x atgt t = ∈ − π π
hoặc x acotgt t = , ∈ ( 0; π )
• Với x2 − a2 , đặt , ; \ 0 { }
a
t
π π
hoặc ;
cos
a x
t
= [ ] 0; \
2
t ∈ π π
. B
ài tập : Hãy tính các tích sau:
a)
4
2
0
4 x dx −
∫ b)
1
2
01
dx x
+
∫ c)
9
2
0
9 x dx −
2
2
0 4
dx x
+
∫
e)
2 2 2
2 0
x dx
1 x−
∫ f) ∫
+
3 2
5 x x2 4
dx
g)
1
2 0
1 x dx−
∫ h)
3
0
1
x +x dx
∫
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cụng thức tớch phõn từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d =u x v x − v x u x dx
Tích phõn các hàm sụ́ dờ̃ phát hiờ ̣n u và dv
@ Da ̣ng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
β α
∫
Trang 4Đă ̣t
cos
∫
@ Da ̣ng 2: f x( ) ln( )ax dx
β α
∫
Đă ̣t ln( )
dx du
dv f x dx v f x dx
=
=
@ Da ̣ng 3: sin
cos
bx
β α
∫
Đặt:
1
ax
u e
b
=
=
Bài tập
1) ∫1
0
3
.e dx
x x
2) ∫2 −
0
cos ) 1 (
π
xdx
x 3) ∫6 −
0
3 sin ) 2 (
π
xdx
x 4) ∫2
0
2 sin
π
xdx
x
5) ∫e x xdx
1
ln 6) ∫e −x x dx
1
2).ln 1
( 7) ∫3
1
ln
4x x dx 8) ∫1 +
0
2 ).
3 ln(
x
9) ∫2 +
1
2 1)
(x e x dx
10) π∫
0
cos x dx
x 11) ∫2
0
2.cos
π
dx x
x 12) ∫2 +
0
2 2 ).sin (
π
dx x x x
13)
2
5
1
ln xdx
x
∫ 14) 2 2
0
x cos xdx
π
∫ 15)
1 x 0
e sin xdx
∫ 16)
2
0
sin xdx
π
∫ 17)
e
2
1
x ln xdx
∫ 18) 3
2 0
x sin xdx cos x
π
+
∫ 19) 2
0
xsin x cos xdx
π
∫ 20) 4 2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
III.Tích phân một số hàm số thờng gặp
1 Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
I 2 dx ( a 0 )
β
α
+ +
(trong đó ax2 + bx c + ≠ 0 với mọi x ∈ [ α β ; ])
Xét ∆ = − b2 4 ac
Trang 5+)Nếu ∆ = 0 thì 2
2
dx I
b
a x
a
β
α
=
−
∫ tính đợc
+)Nếu ∆ > 0 thì
( 1) ( 2)
I
β
α
=
(trong đó
( 1 2) 12
1
ln x x
I
β α
−
⇒ =
2
+ + −∆
I
1
1
β
α
+
+ +
(trong đó f x ( ) 2mx n
ax bx c
+
=
+ + liên tục trên đoạn [ α β ; ]) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
c bx ax
B c
bx ax
b ax A c bx ax
n mx
+ +
+ + +
+
= + +
+
2 2
2
) 2 (
+)Ta có I= ∫β
α
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
+ +
+ + +
+
= + +
+
∫
2
) 2
α
β
α
Tích phân dx
c bx ax
b ax A
+ +
+
) 2 (
β
α
= Aln ax2 +bx+c βε
Tích phân 2 dx
β
∫ tính đợc
Trang 6c) Tính tích phân ( )
( )
b
a
P x
Q x
= ∫ với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức
• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α α1, , ,2 αnthì đặt
( )
( )
n n
A
P x
Q x = x − α + x − α + + x − α .
+ Khi Q x ( ) = − ( x α ) ( x2 + px q + ) , ∆ = p2 − 4 q < 0thì đặt
2
( )
( )
+
+ Khi ( ) ( )2
( )
Q x = − x α x − β với α≠β thì đặt
( )2
( ) ( )
A
Q x = x − α + x − β + x − β .
Bài tập
a/
1
2 0
x
dx
+ + +
∫ b/
1
2
dx
x + + x
∫ c/
1
2
x dx
x −
∫ d/ −∫02 2 +2+ −3
2 2
x x
x
e/ ∫ + +
−
1
1 x2 2x 5
dx
f/ ∫5 − −+
3
1 2
dx x x
x
g/ ∫b + +
a
dx b x a
x )( ) (
1
h/ ∫1 ++ +
0
3
1
1
dx x
x x
i/ ∫1 + +
0
x
dx
k/ ∫3 −+ ++
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
l/ ∫3 +−
2
dx x
x
m/ dx
x
x x
0
2
3
3 2
IV.Tích phân hàm vô tỉ
.Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ : Tính tích phân:
1
dx I
=
+ +
.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác
Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Trang 7Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng
Ví dụ :Tính
=∫1 −
0
2
x I
Bài tập:
a/
x 2
5
2
dx
x 2 + + −
− +
2
11 x 1dx
x
c/∫
+ +
1
01 1 3x
dx
d/
2
1
x 4 x dx−
2 2 2
2 0
x dx
1 x−
∫
+
3
2
5 x x2 4
dx
V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 −∫3 −
3
x 2 ∫2 − +
0
x 3 ∫2 x − x dx
0
2 4
4 2 1
x 3x 2dx
−
3 1
2
x− dx
∫ 6
2
2
2
1
−
−
∫