+ Nếu bậc của Px < bậc Qx dùng phương pháp đổi biến hoặc phương pháp hệ số bất định.. b Tích phân chứa các hàm số lượng giác.. Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân CÁC PHƯƠNG PHÁP
Trang 11 Bảng nguyên hàm của các hàm số.
2 Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
Dạng: β 2 2
α
−
β
∫ a dx x đặt x = asint
Dạng: 2 2
β
α∫x dx+a đặt x = atant, 2 2
β
α∫ ax b+dx +c đặt ax b c+ = tant
* Loại 2: ∫b ( ( )) '( )
a
f u x u x dx Đặt t = u(x).
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx
+ Ta cũng có thể biến đổi: ∫b ( ( )) '( ) =∫b ( ( )) ( ( ))
b) Phương pháp tích phân từng phần:
Dạng: ∫b ( )sin ,
a
P x xdx ∫b ( ) cos ,
a
a
P x e dx
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx)
Đặt u = x, dv = 2
cos
dx
x hoặc dv = sin2
dx
x.
3 Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ: ( )
( )
∫
b
a
P x dx
Q x P(x), Q(x) là các đa thức.
+ Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x)
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc
phương pháp hệ số bất định
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác
+ Nắm vững các công thức biến đổi
c) Tích phân hồi quy:
Dạng ∫b xsin ,
a
a
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx Tích phân từng phần 2 lần
Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) ∫b ∫b
Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx Tích phân từng phần 2 lần
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
−
=
a
+ y = f(x) lẻ thì: ( ) 0
−
=
∫a
a
e) Tích phân dạng ( )
1 α α
−∫ x+
f x dx
a trong đó f(x) là hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
Xét tích phân
0 ( )
1 α
−∫ x+
f x dx
a đổi biến số x = -t.
Kết quả ta được
0
1
α
−
= +
f) Tích phân dạng:
∫a f a x dx ∫a f x dx trong đó f(x) là hàm
số liên tục trên [0; a]
Đổi biến x = a - t
Bài 1: Tính tích phân
1 3 2
= +
∫ x
Bài 2: Tính tích phân
ln 3
3
0 ( 1)
=
+
∫ x x
e
e HD: đưa về dạng ∫b α
a
u du ĐS I= 2 1−
Bài 3: Tính tích phân
0
2 3 1
−
=∫ x+ +
0
1 cos sin cos
π
=∫ −
HD: t =61 cos− 3x⇒ cos 3 x = 1- t 6 ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
2 3
2 5
1
=
+
∫
x x
HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt t= x2+4 ĐS I=1/4.ln5/3 Bài 6: Tính tích phân 4
01 cos 2
π
= +
x HD:Đưa về dạng tích phân từng phần ĐS I =π /8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân
1
0 1
=∫ −
Bài 8: Cho hàm số ( ) 3
( 1)
+
x
a
Tìm a,b biết rằng f’(0) = -22 và
1
0 ( ) =5
∫ f x dx
Bài 9: Tính tích phân
3
2 4
cos 1 cos
π
π
=
+
HD: Biến đổi về dạng
3
4
tg cos tg 1
π
π
=
+
2
1 tg
= +
ĐỀ THI ĐẠI HỌC Năm 2002 A: ? :S y =|x2−4x+3 |;y= +x 3
1
x
x
− −
=
−
Trang 2A:
2 3
2
dx
0
1 2sin
1 sin2
x dx x
π − +
2 2 0
|x −x dx|
∫
Năm 2004
A:
2
x
+ −
1
1 3ln ln
x
+
3 2 2 ln(x −x dx)
∫
Năm 2005 A:
/ 2
0
sin2 sin
1 3cos
dx x
+
∫ B:
/2
0
sin2 cos
1 cos
x
π
+
/2 sin 0 (e x cos )cosx xdx
π
+
∫
Năm 2006 A:
/2
0
sin2 cos 4 sin
x dx
π
+
∫
B:
ln5
ln3 x 2 x 3
dx
1
2 0
(x−2)e dx x
∫
Năm 2007 A: ? :S y =(e+1) ;x y =x e( x +1)
B: ?Vox y: =x x yln ; =0;x=e D: 3 2
1 ln
e
Năm 2007 (Dự bị – A, B, D).
A1:
1
0
x
dx x
+
∫
A2: ? VOx: 4 y x y x = 2; =
+ 2
1
x
−
0
4
x x
dx
π
∫/ 2 2 0 cos
Trang 3DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRÒN XOAY.
1)Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y =
g(x);
x = a; x = b có diện tích: SD=∫b ( )− ( )
a
2)Miền (D) giới hạn bởi các đường:
y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trục Ox nó
tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
VOx=π∫b 2( )
a
f x dx
3)Miền (D) giới hạn bởi các đường:
x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục Oy nó
tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
VOy=π∫b 2( )
a
f y dy Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1) y=x2−4x+3 ;y=3 (ĐS: 8(đvdt))
2) y=x2−1 ;y = x +5 (ĐS: 73(
3 đvdt))
3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0 (ĐS: 5(
6 đvdt)) 4) y=x2 ; y=
; 8
x
y x
= (ĐS: 8ln3)
5) y=x2 ; y= 2 ; 27
27
x
= (ĐS: 27ln3) 6) y=x2 ; x=y2
7) y=ex ; y=e-x ;x=1
Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay
miền (D) giới hạn bởi các đường:
1) y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16 )π
2) y=x2 ; x=y2 quanh Ox
3) y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (ĐS : 16 )
5
π .
4) y=-x2+4x ; trục Ox :
a) Quanh Ox (ĐS : 512 )
15
π
b) Quanh Oy (ĐS : 128 )
3
π
5) y=(x-2)2 ;y=4
a) Quanh Ox (ĐS : 256 )
5
π
b) Quanh Oy (ĐS : 128 )
3
π
6) y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2
a) Quanh Ox (ĐS : 206 )
15
π
b) Quanh Oy (ĐS : 12 )π
Trang 4Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày
dưới đây
1 Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
b
b a a
f (x)dx F(x) = = F(b) F(a) −
∫
Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt
buộc phải có để được sử dụng định lý Nhiều bạn cứ tưởng
có được F(x) là tính được tích phân Chẳng hạn, có bạn viết
:
3
3 4
4 0 2
0
dx
cos x
π
π
f (x)
cos x
= không xác định tại
3
= ∈ nên I không tồn tại.
Thí dụ 1 : Tính
7 3 3 0
(x 1)dx I
3x 1
+
=
+
1999)
Giải :
3
−
+ +
+
7
3
0
Thí dụ 2 : Tính
1
0
dx I
=
thương HN - 1999)
Giải :
1
0
+
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần
tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối
Thí dụ 3 : Tính
3 2
I = ∫ x x − 2x dx
Giải :
4
−
−
2 Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì
u(b) b
f[u(x)].u'(x)dx = f (t)dt
Thí dụ 4 : Tính
4
2 7
dx I
=
+
1999)
Giải : Đặt 1
t x
t
t
Đổi cận : x = 7 ⇒ t 1
7
= ; x = 4 ⇒ t 1
4
Do đó :
1 1
1 7
4
7 2
4 7
Thí dụ 5 : Tính
x 1
x dx I
1 2
−
= +
∫ (Đề Học viện BCVT - 1999)
Giải : Đặt t = −x ⇔ x = −t ⇒ dx = −dt
Đổi cận : x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = −1 ta có :
1
1
−
−
⇒ I 1 5
Chú ý : - Để tính
b
a
f (x)dx
∫ không nhất thiết phải tìm nguyên hàm F(x) của f(x)
- Cách tích phân dạng g(x)dxx
α
−α∫ + với a > 0 và g(x) là hàm
số chẵn, đều làm như trên
Trang 5Thí dụ 6 : Tính
1
1
2 x
2 x
−
− +
∫
Giải : Đặt t = - x thì dx = - dt Với x = -1 thì t = 1, với x = 1
thì t = -1.Do đó :
−
−
Suy ra : I = 0
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số
lẻ luôn bằng 0
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
f (x)dx = f (u)du = f (t)dt
Thí dụ 7 : Tính
0
x dx
1 sinx
π
+
∫
Giải : Đổi biến số u = π − ⇔ = π − x x u Ta có :
x 0 = ⇒ = π = π ⇒ = u ; x u 0.
Mặt khác : dx = -du
0
0
u
π
π
π
2 0
2
0
2
cos
2 4
π
π
π
π
∫
∫
Do đó : I = u
0
2 4
π π
Chú ý : Nếu gặp tích phân
b
a
f (x)dx
∫ mà tính mãi không được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x
Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác
dụng
Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục,
tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :
+
=
Giải : Ta có
Xét
a T
T
+
= ∫ , đặt u = x - T ⇔ x = u + T ⇒ dx = du Đổi cận : x = T ⇒ u = 0 ; x = a + T ⇒ u = a, do đó :
J = ∫ f (u T).du + = ∫ f (u)du = ∫ f (x)dx Thay vào (*) ta có đpcm
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân
của hàm số tuần hoàn
Thí dụ 9 : Tính
2007
0
sinx dx
π
∫
Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là π.Do đó :
0
π
3 Sử dụng công thức tích phân từng phần :
Ta có :
b a
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 : Tính
2
0
π
= ∫ (Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Giải : Đặt t = x ⇔ x t = 2 ⇒ dx = 2tdt Đổi cận x = 0 ⇒
t = 0 ; x = π2 ⇒ t = π nên :
0
π
= − −π − 2 sin t 0π = π 2 .
Thí dụ 11 : Tính I =
1
5 x
x e dx
∫
Trang 6Giải : Xét
1
n x n
0
I = ∫ x e dx Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta có :
n x
n
1
n 1 0
1
0
1
0
−
−
∫
với mọi n nguyên và n >1
Ta có :
1
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần
tương tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt
cho n = 2;3;4;5
1 Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm.
Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong
sách giáo khoa Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa
nguyên hàm và vi phân:∫d F x[ ( )]=F x( )+C
Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ
dàng tìm được nguyên hàm Xem lại các bài tự luyện và
đáp án ở số này để theo dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân
trung gian đã lược bớt để cho gọn bài viết)
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm
2x+1 x + +x 5 dx
ln x dx
x
∫
Giải
2x+1 x + +x 5 dx= x + +x 5 d x + +x 5
1
5
8 x + +x +C
2 ∫sinx.cos x.dx7 =
( os x).d(cosx)= d - os x - os x+C
3 ln ln (ln ) 1ln2
2
x dx
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm
1 sin3 os2x.dx∫ x c 2
1
dx
3 2
1
x dx
∫
1 sin3 os2x.dx 1[sin5 s nx ]
2
os5x-cosx
∫
= 1 os5x -1 osx +C
−
2
dx
=∫ + + = + + +
2
1
1
1
1 2
d x
−
( )2
3 1 4
Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1
sinx
dx
cos x
dx
∫ Giải:
1
2
dx
2
2
x
d tg
x tg
÷
d tgx
3
3
tgx+ tg x C+
2 Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.
Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân ( )
b
a
f x dx
thể tìm nguyên hàm của f(x) Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x Thí dụ 1: Tính
1
1
1 2
1 2
x dx x
−
−
+ ÷
∫ Giải:
Đặt t = -x ⇔x = -t ⇒dx = - dt Đổi cận: x = -1 ⇔t = 1 và x = 1 ⇔t = -1
Ta có:
1
−
= 1
1
1 2
1 2
t
−
−
− ÷ = − ⇒ = +
∫ Chú ý: Tích phân không phụ thuộc ký hiệu biến số Cụ thể là
f x dx= f t dt
Thí dụ 2: Tính
2 2
2x 1
x dx
+
∫
Trang 7Đổi biến x = -2 ⇔t = 2 và x = 2 ⇔t = -2
Do đó: 2( ) (2 ) 2 2
2 2 t 1 22t 1
− −
2 1 1
2
t t
t dt
t dt
+ −
=
2
2 3
2t 1
t dt
− +
2
−
Thí dụ 3: Tính 2
0
sinx
dx c
π
+
∫
Giải:
Đặt t =
π − ⇔ = − ⇒π = −
Do đó:
2
π
π
− −
− + −
Vì I + J = 2
0
sinx
dx c
π
+
0
osx
osx sinx
c
π
+
2
0
1 2
0
= = ⇒ = =
∫
Thí dụ 4: Tính
0
.sinx.sin3x.dx
x
π
∫
Giải
Đặt t = π - x ⇔x = π - t ⇒dx = -dt
Đổi cận: x = 0⇔t = π và x = π ⇔ t =0
Do đó:
0
π
0
.sin sin3
π
π −
∫
=
sin sin3 t t dt t.sin sin3 t t dt
0
os2t-cos4t
π
∫
0
0
∫
