nguyên hàm

II – Các ph ơng pháp tính nguyên hàm 1.. Đổi biến số... đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập x.. đạo hàm hàm hợp đạo hàm theo biến u Theo đ

TiÕt 50: Nguyªn hµm

C¸c ph ¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm

KiÓm tra bµi cò

1) TÝnh a)(x  sin x)dx

b) ( 2 ) 2

Gi¶i a)(x  sin x)dx xdx  sin xdx

.

cos 2

2

C x

x







2) TÝnh vi ph©n dy víi y = 2x 2 +1

x  dx

b) ( 2 ) 2 (x2  4x  4 )dx 2 4

3

1 3 2

C x

x



2) C«ng thøc tÝnh vi ph©n dy = y dx’dx

 dy = d(2x2+1) = 4xdx.

Định lý 1:

Nếu  udu  F ( u )  C và u  u (x )

là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f ( u ( x )) u ' ( x ) dx  F ( u ( x ))  C

II – Các ph ơng pháp tính nguyên hàm

1 Đổi biến số

Chứng minh

).

( ' ).

( ' ))'

( ( (F u x F u u x

Ta có:

Vì F ' (u)  f (u)  f (u(x))

nên (F (u(x))'  f (u(x)).u' (x).

đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi

u là một hàm số của biến số độc lập x

(đạo hàm hàm hợp)

(đạo hàm theo biến u)

Theo định nghĩa nguyên hàm ta có đpcm !

HÖ qu¶

Víi u = ax + b (a  0)), ta cã

)

(

1 )

a

dx b

ax



VÝ dô 1: cos( 5x  3 )dx

§Æt u = 5x –

3, cosudu  sin u C,

nªn theo hÖ qu¶ trªn ta cã

)

3 5

sin(

5

1 )

3 5

cos(

v×

TÝnh Gi¶i

VÝ dô 2:

Gi¶i

 

I1 ( 2 1 )10

§Æt u = 2x – 1  du = 2dx  dx =

2

1 )

1

( 2

1 )

1 2

du u

( 4

1 10 11





 I   ( u  u ) du

4

1 10 11

1  u11  u12  C

48

1 44

1

)

1 2

( 48

1 )

1 2

( 44

C x



2

du

Các b ớc tính nguyên hàm trong pp đổi biến số

B ớc 1: Đặt u = u(x)  du = u (x)dx’dx

B ớc 2: Biểu diễn g(x)dx = f(u(x).u (x)dx = f(u)du’dx

B ớc 3: Tính f (u)du F (u) C

C x

u F

dx x



Để tính ta th ờng thực hiện các b ớc sau:

Chú ý : Sau khi tính nguyên hàm theo biến số mới phải thay trở lại biến số cũ

VÝ dô 3:

Gi¶i

a) b)

I1 2 1

 

x x

x

I2 22 1

a) §Æt u = x 2 + 1  du = 2xdx  xdx =(1/2)du

Ta cã x x dx x xdx u du

2

1

1

2









3

1 3

1 2

1 2

I       

VËy I  (x  1 ) x  1  C

3

1



b) 2 1 ( 2 ) ln( 2 )

2 2

x x

x x

d dx

x x

x











)

2 x x C

I   

TÝnh a)

b)

 

I1 3x 2



I 2 cos5 sin

VÝ dô 4:

Gi¶i

3

2

3

I  x  x 

a)

6

1 sin

Cñng cè:

1) TÝnh I1 ( 7x  2 )7 dx



 e xdx

I2 cosx sin



 dx

x

x

I3 ln

 x x dx

I4 2 3 1

Bài tập về nhà: Làm các BT trong SGK và sách bài tập phần đổi biến số

Xin cảm ơn các thầy cô giáo và các

em đã quan tâm theo dõi !