bài 1: Nguyên Hàm

Nắm vững nội dung và biết cách chứng minh các định lí về họ các nguyên hàm.. • Trọng tâm: Hs nắm vững định nghĩa nguyên hàm và nội dung các định lí.. Sau tiết này Học sinh nắm đợc các tí

Ngày: 07/12/2005 chơng III: nguyên hàm và tích phân

(Tiết 1: Định nghĩa  Họ các nguyên hàm)

A Mục tiêu Sau tiết này

Học sinh nắm đợc khái niệm, định nghĩa nguyên hàm Nắm vững nội dung và biết cách chứng minh các định lí về họ các nguyên hàm

• Trọng tâm: Hs nắm vững định nghĩa nguyên hàm và nội dung các định lí.

B hớng đích và gợi động cơ

HĐ 1: Chúng ta đã biết rằng v(t) = f’(t) với s=f(t) Tuy nhiên nhiều khi ta phải giải bài

toán ngợc lại, tức là: Tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f’(t) của nó

C làm việc với nội dung mới.

HĐ 2:

 Tìm hiểu SGK

Tại sao? Xét F 1 (x) = x 2 + 3?

(sinx)’ = ?

?

(sinx+5)’ = ?

Giải thích tại sao?

HĐ 3:

 Giải thích định lí?

 ý nghĩa?

 Giải thích Bổ đề?

 Chứng minh bổ đề?

 Định lí lagrange?ịnh lí lagrange?

F’(c)=? tại sao?

HĐ 4:

 C/m F(x) + C cũng là nguyên

hàm của f(x)?

 C/m mọi nguyên hàm của f(x)

đều có dạng F(x) + C?

1 Định nghĩa.

Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x(a; b), ta có:

F’(x) = f(x) Nếu thay khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b] thì phải có thêm:

F’(a+) = f(a) và F’(b) = f(b)

Ví dụ:

a) F(x) = x2 là một nguuyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên  Vì (x2)’ = 2x

Và F1(x) = x2 + 3 cũng là một nguyên hàm của hs f(x) = 2x trên  Vì ta cũng có (x2 + 3)’ = 2x

b) G(x) = sinx là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên  vì (sinx)’ = cosx

G1(x) = sinx+5 cũng là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên  vì ta cũng có (sinx+5)’ = cosx

Nhận xét: Mọi hàm số dạng F(x) = x2 + C (C = const) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x và mọi hs dạng G(x)=sinx+C

đều là nguyên hàm của hàm số g(x) = cosx

Vì (x2 + C)’ = 2x và (sinx + C)’ = cosx

Một cách tổng quát ta có:

2 Định lí.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì:

i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó

ii) Ngợc lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên (a; b) đều có thể viết dới dạng F(x) + C với C là một hằng số

Tức: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì

 F(x) c / C     là họ các nguyên hàm của f(x)

Để chứng minh định lí ta xét Bổ đề sau:

Nếu F’(x) = 0 trên (a; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó

Chứng minh.

Xét phần tử cố định x0(a; b)

• Nếu x = x0 thì F(x) = F(x0)

• Nếu x≠x0, theo định lí Lagrange tồn tại số c nằm giữa x và x0

sao cho: F(x)  F(x0) = F’(c)(xx0) Nhng do c(a; b) nên F’(c) = 0

Vậy ta có: F(x)  F(x0) = 0 hay F(x) = F(x0)

Nh vậy, với mọi x(a; b) ta có: F(x) = F(x0) Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên (a; b)

Chứng minh định lí.

1) Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) Vì vậy F’(x) = f(x) x(a; b) Khi đó ta cũng có:

(F(x)+C)’ = F’(x) + 0 = f(x) nên F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b)

2) Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) Tức là G’(x) = f(x) x(a; b) Khi đó ta có:

HĐ 5:

 Lu ý nắm vững các khái niệm.

 Tìm các nguyên hàm trong ví

dụ?

(G(x)  F(x))’ =G’(x)  F’(x) = f(x)  f(x) =0 Theo Bổ đề trên suy ra: G(x)  F(x) = C (C= const) Tức là G(x) = F(x) +C 

Từ định lí ta có: Định lí lagrange?ể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của f(x)

Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là:

f (x)dx



Định lí lagrange?ọc: Tích phân bất định của f(x) hoặc họ các nguyên hàm của

f(x).

Ta có:  f (x)dx F(x) C   , trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) và C là hằng số tuỳ ý

Dấu  gọi là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx gọi là biểu thức dới dấu tích phân

Ví dụ:

2

2

dx

cos x dx sin xdx cos x C; ln x C

x

D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà:

HĐ 6: - Nắm vững định nghĩa nguyên hàm

- Nội dung định lí, phép chứng minh định lí

Bài tập về nhà: Làm bài tập 1a, b, c, d SGK.

E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Ngày: 07/12/2005

(Tiết 2: Các tính chất và sự tồn tại nguyên hàm)

A Mục tiêu Sau tiết này

Học sinh nắm đợc các tính chất của nguyên hàm và nội dung của định lí về sự tồn tại nguyên hàm Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán

• Trọng tâm: Hs nắm vững các tính chất của nguyên hàm và biết cách vận dụng để giải toán.

B kiểm tra và đánh giá

HĐ 1:  Phát biểu định nghĩa nguyên hàm.

 Tính I x 1 dx; J (x 1)dx

x

C làm việc với nội dung mới.

HĐ 2:

 Tìm hiểu SGK

 F’(x)=?

3 Các tính chất của nguyên hàm.

Tính chất 1:  f (x)dx' f (x)

 af (x)dx ? 

Chứng minh aF(x) cũng là một

nguyên hàm của af(x)?

 f (x)dx g(x)dx ? 

 Chứng minh F(x)+G(x) là

một nguyên hàm của hs (f(x)

+g(x))?

HĐ 3:

 Ta cần chứng minh điều gì?

[F(u(x))]’=?

F’(u) = ?

 f (u)du ?

HĐ 4:

2

x dx ?; 3xdx ?  

Tơng tự tính J?

Do f (x)dx F(x) C  với F(x) là một nguyên hàm của f(x)

và C = const nên  f (x)dx' F(x) C 'F'(x) f (x) .

Tính chất 2: af (x)dx a f (x)dx  (a 0)

Chứng minh

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có:

af (x)dx a F(x) C  aF(x) aC



mà aF(x)'a.F'(x) af (x) nên aF(x) là một nguyên hàm của af(x), vì a≠0 và C là hằng số tùy ý nên aC cũng là hằng số tùy ý

Hiển nhiên ta có a f (x)dx cũng là họ nguyên hàm của hs af(x) đpcm

Tính chất 3: f (x) g(x) dx  f (x)dxg(x)dx

Chứng minh.

Nếu F(x) và G(x) là các nguyên hàm của f(x) và g(x) thì ta có:

1 2

f (x)dx g(x)dx F(x) G(x) C   C

Mà F(x) G(x) 'F'(x) G '(x) f (x) g(x)   nên F(x)+G(x)

là một nguyên hàm của hs (f(x)+g(x)) Vì C1 và C2 là các hằng

số tùy ý nên C = C1 + C2 cũng là hằng số tùy ý

Do đó ta có đpcm

Tính chất 4:

Nếu f (t)dt F(t) C   f u(x) u '(x)dx F u(x)    C Hay nếu F(t) là một nguyên hàm của hs f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(u(x)).u’(x)

Chứng minh.

Ta sẽ chứng minh F(u(x))' f (u(x)).u '(x) Thật vậy, đặt u=u(x) thì ta có:

F(u(x))'F'(u).u '(x) f (u).u '(x) f (u(x)).u '(x)  Vì theo giả thiết ta có F'(t) f (t)

Chú ý: Do u’(x)dx = du nên nếu đặt u=u(x) thì tính chất 4 đợc

phát biểu nh sau:

f (t)dt F(t) C   f (u)du F(u) C, u u(x)  

4 Sự tồn tại nguyên hàm.

Định lí Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a; b] đều có nguyên

hàm trên đoạn đó

Từ nay ta giả thiết các hàm số đợc xét đều liên tục (nếu không lu ý gì thêm) do đó chúng đều tồn tại nguyên hàm

Ví dụ:

1) Tính:

a) I (x 3x 1)dx; b) J x dx

x

Hớng dẫn giải.

a) Ta có:

I(x 3x 1)dx x dx3xdxdx

1 3 3 2

D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà:

HĐ 5: - Nắm vững các tính chất của nguyên hàm.

- Xem lại các ví dụ

 Xem bảng các nguyên hàm cơ bản

Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3 SGK.

E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Ngày: 08/12/2005 Tiết PPCT: 49 Đ1 nguyên hàm (Tiết 3: Bảng các nguyên hàm cơ bản  Ví dụ) A Mục tiêu Sau tiết này Học sinh hiểu các xây dựng bảng nguyên hàm và nắm vững các công thức tính nguyên hàm của một số hàm số thờng gặp Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán • Trọng tâm: Hs nắm vững nội dung bảng các nguyên hàm cơ bản

B kiểm tra và đánh giá

HĐ 1:  Phát biểu các tính chất của nguyên hàm.

C làm việc với nội dung mới.

HĐ 2:

 Tìm hiểu SGK

x’ = ?  dx=?

(x5)’=?  x dx ?4 

(lnx)’=?

(e x )’=?

(a x )’=?

(sinx)’=?

(cosx)’=?

(tgx)’=?

5 Bảng các nguyên hàm.

Nguyên hàm các hs sơ cấp Nguyên hàm của hs hợp dx

1

x

1





 

1

u

1





 

dx

ln x C

x

e dx

x

x a

ln a

u

u a

ln a

sin xdx

 = cosx + C sin udu= cosu + C

HĐ 3:

Vận dụng x dx ?





 I 1 =?

Tích phân hàm luỹ thừa?

HĐ 4:

u = 2x+5  du=?

t = cosx  đờng thẳng = ?dx

d(e x +1)=?

HĐ5:

Tính du?

 I 6 = ?

Biến đổi về cosx, cos2x?

Tơng tự tính I 8 ?

cos xdx

 = sinx + C cos udu= sinu + C

2

dx cos x

cos u

 = tgu + C

2

dx sin x

sin u

 = cotgu + C

6 Các ví dụ về tính nguyên hàm.

Ví dụ 1

1

I (3x 4x  2x 1)dx 3 x dx 4 x dx 2 xdx       dx =

5 3

2

Ví dụ 2

3 4 1

3

3

2 2 2

x



= 12 4 32 3 43

Ví dụ 3

3

6

1

I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5)

2

1 (2x 5)



Ví dụ 4.

5

4

sin x

I sin x cos xdx sin xd(cos x) C

5

Ví dụ 5.

x

e dx d(e 1)



Ví dụ 6

3 6

(2ln x 3)

x



 , đặt u =2lnx+3  du2xdx

Do đó

4 3

6

Hay

4 6

(2ln x 3)

8



Ví dụ 7

4

2

1 cos x

Ví dụ 8.

x

8 2 x

2x e







 Định lí lagrange?ặt u x 2ex  du2x e dx x

u

D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà:

HĐ 6: - Nắm vững bảng các nguyên hàm cơ bản.

- Xem lại các ví dụ.

Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3 SGK.

E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Ngày: 08/12/2005 Tiết PPCT: 50 Đ1 nguyên hàm (Tiết 4: Luyện tập) A Mục tiêu Sau tiết này Học sinh củng cố đợc định nghĩa, các tính chất và khắc sâu bảng nguyên hàm cơ bản Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản • Trọng tâm: Hs khắc sâu bảng các nguyên hàm cơ bản  Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản B kiểm tra và đánh giá HĐ 1:  Tính các nguyên hàm:   2 1 2 2 I (x x)dx; I x tgx dx x      C luyện tập. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2:  Nguyên hàm của tổng các hs?  Nguyên hàm của hs lũy thừa? 2 x dx ?  x1 dx?  Định lí lagrange?a về hs luỹ thừa?  Nhận xét về hs dới dấu tích phân? HĐ 3: Nguyên hàm của hs mũ? x e dx?  Bài số 1 Tìm nguyên hàm các hàm số sau:     2 2 3 3 2 x 1 a) f (x) x 4x ; b) f (x) x x 1 1 c) f (x) ; d) f (x) x 1 x x 1 x x             Hớng dẫn giải. a)             2 2   2 1 2 2 I x 4x dx x dx 4 xdx 2 x dx x 

1 3 2 1

3

2 3

x





2

 

d) I4   x1 x   x1 dx  x x1 dx

 3  5

2 2 2

5

Bài số 2 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

2

e a) f(x) e 1 e ; b) f(x) e 2

cos x c) f(x) 2a x; d) f(x) 2 3



Nguyên hàm của các hs lợng

giác?

2

dx

?

cos x



Tơng tự tính các nguyên hàm còn

lại?

HĐ 4:

 Xác định du theo dx?

 E 1 = ?

Định lí lagrange?ặt u -=? Tính du?

Tơng tự cho các nguyên hàm còn

lại?

Hớng dẫn giải.

1

J e 1 e  dxe 1 dx

b)

x



= x

2e tgx C c)  x  x 1 x 3 2 2 3 2a 2 J 2a x dx 2 a dx x dx x C ln a 3         d)  x x x x x x 4 2 3 J 2 3 dx 2 dx 3 dx C ln 2 ln 3        Bài số 3 Tính: 2 3 1 2 3cos x 3 4 a) E cos(ax b)dx (a 0); b) E x x 5dx c) E tgxdx; d) E e sin xdx            Hớng dẫn giải. a) Định lí lagrange?ặt u = ax+b  du = adx  E1 cos(ax b)dx 1 cos(ax b)d(ax b) a       1sin(ax b) C a    b) Định lí lagrange?ặt 3 2 ux  5 du3x dx 3 3 2 2 3 3 3 2 1 1 2(x 5) E x x 5dx x 5d(x 5) C 3 3 3           c) Định lí lagrange?ặt u = cosx  du =sinxdx  E3 tgxdx sin xdx d(cos x) ln cos x C cos x cos x      d) Định lí lagrange?ặt u = 3cosx du = 3sinxdx 3 cos x 3 cosx 3 cos x 4 1 1 E e sin xdx e d(3 cos x) e C 3 3       Bài tập ra thêm: Bài số 4 Tính:

3 5 3 x 2 x 2x a) cos 2x cos 3xdx; b) sin x cos xdx e dx c) ; d) x e dx e 4       D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Nắm vững bảng các nguyên hàm cơ bản.  Chú ý nguyên hàm của hàm số hợp - Xem lại các ví dụ Bài tập về nhà: Làm bài số 4. E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Ngày: 14/12/2005

(Tiết 5: Luyện tập)

A Mục tiêu Sau tiết này

Học sinh thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Biết cách phân loại và định hình phơng pháp tìm nguyên hàm của các hàm số

• Trọng tâm: Học sinh thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

B kiểm tra và đánh giá

HĐ 1:  Tính các nguyên hàm:

1

5 2 3

C luyện tập.

HĐ 2:

 Biến số là gì?

 Nguyên hàm của tổng các hs?

2

t dt ?

1

dt ?



 Khai triển thành nguyên hàm

của tổng?

dx

x

 =?

 Phân tích hs dới dấu tích phân

thành tổng?

sin 4xdx?



HĐ 3:

 Phơng pháp giải?

3x  8x 5 dx   ?



F(2) = 0  ?

Tính

3

2

x 1

dx ?

x

  



 

 



C = ?

Bài số 1 Tính:

2

3

c) I cos x.sin xdx





Hớng dẫn giải.

I 7 t dt tdt dt 4a

7 3 1 2 b 21

b)

2

2

x

2

c) Có cos x.sin 3x 1sin 4x sin 2x

2

Do đó I3 1 sin 4xdx 1 sin 2xdx

sin 4xd(4x) sin 2xd(2x) cos 4x cos 2x C

Bài số 2 Tìm nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số f(x) sau đây,

biết rằng nguyên hàm đó thoả mãn điều kiện tơng ứng đã chỉ ra

2 3 2 x

a) f(x) 3x 8x 5; F(2) 0

x

xe 1

x





Hớng dẫn giải.

3x 8x 5 dx x 4x  5x C



Vì F(2) = 0 nên 8 + 16 10 + C = 0  C = 14 Vậy nguyên hàm phải tìm là 3 2

F(x)x 4x  5x 14

Tơng tự giải câu c)?

HĐ 4:

 Nhân với lợng liên hợp, khử căn

ở mẫu thức?

Tơng tự, giải câu b)?

b)

3

2

Vì F(2) = 0 nên ta có: 2 1 C 0 C 3

Vậy nguyên hàm cần tìm là: 1 2 1 3

F(x) x

c)

x

Vì F(1) = 0 nên e + C = 0  C = e Vậy nguyên hàm cần tìm là x

F(x)e  ln x  e

Bài số 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số:

2 9 2

2x a) f(x) ; b) f(x) x (x 1)

Hớng dẫn giải.

2 2

2x(x x 1)

x (x 1)

3 2 3

2

3

b) Hớng dẫn: Định lí lagrange?ặt u = x1

D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà:

HĐ 5: - Xem lại lời giải các bài toán đã trình bày?

 Chú ý nguyên hàm của hàm số hợp

Bài tập về nhà: Làm bài tập 3a, d, h, i  SGK.

E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Ngày: 15/12/2005

(Tiết 1: Diện tích hình thang cong)

A Mục tiêu Sau tiết này

Học sinh hiểu đợc bài toán tính diện tích hình thang cong Nắm đợc nội dung định lí về diện tích hình thang cong

• Trọng tâm: Học sinh hiểu đợc bài toán tính diện tích hình thang cong.

B hớng đích và gợi động cơ

HĐ 1: Chúng ta đã biết cách tính diện tích của các hình đa giác và đã đợc giới thiệu về

cách tính gần đúng diện tích của các hình phẳng giứoi hạn bởi các đờng cong, điểm chung của

phơng pháp này là sử dụng lới ô vuông Bài toán hôm nay sẽ giúp chúng ta tính toán chính xác diện tích của các hình nh vậy

C Làm việc với nội dung mới.

HĐ 2:

 Khái niệm hình thang cong và

tam giac cong?

 Cách tính diện tích hình đế giày?

HĐ 3:

 Định lí lagrange?a về bài toán đơn giản hơn?

 Có thể giả thiết f(x) đơn điệu

không?

HĐ 4:

Tức S’(x)=?

 So sánh diện tích hình thang

cong aABb với diện tích các hình

chữ nhật MNè và MNPQ?

 Từ (1) và (2) ta có?

 Giải thích (3)?



0

0

x x

0

S(x) S(x )

x x









 Diện tích aABb?

HĐ 5:

1 Diện tích của hình thang cong.

 Thay cạnh huyền của một tam giác vuông bới một đờng cong

ta đợc một tam giác cong

 Thay cạnh bên không vuông góc với đáy của một hình thang vuông bởi một đờng cong ta đợc một hình thang cong

 Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đờng cong

có thể đa về bài toán tính diện tích của một số hình thang cong (tam giác cong)

Bài toán Tính diện tích của hình thang cong aABb giới hạởi

đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), f(x)≥0, trục Ox và các đờng thẳng x = a, x = b

Nhận xét: Có thể chia đoạn [a; b] thành các đoạn con mà trên

mỗi đoạn đó f(x) là đơn điệu Do đó chỉ cần giải bài toán trên với giả thiết f(x) đơn điệu trên [a; b] Chẳng hạn f(x) đồng biến trên [a; b]

 Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong đợc giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đờng thẳng đi qua a,

x và song song với Oy

Ta chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b] Thật vậy, giả sử x0 là một điểm tùy ý thuộc [a; b] ta chứng minh S’(x0) và S’(x0) = f(x0)

1) Nếu x0< x≤b, khi đó S(x)  S(x0) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi (C), Ox và 2 đờng thẳng song song với Oy, đi qua

x và x0 Nhận thấy:

MNPQ 0 MNEF

S S(x) S(x ) S

0 0

0

x x f(x ) S(x) S(x ) x x f(x) S(x) S(x )

x x



 2) Nếu a≤x≤ x0 tơng tự ta có:

0

0 0

S(x) S(x )

x x





Từ (1) và (2) suy ra:

0

0

S(x) S(x )

x x





Do f(x) liên tục tại x0 nên

xlim f(x)x f(x ) xlim f(x) f(x )x 0

Do đó từ (3) 

0

0

0

x x

0

S(x) S(x )

x x







 hay S’(x0) và S’(x0)=f(x0) Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b)

A

B

x O

B

A

F E

Q P

x

0 x

M N