3_CD3_Phuong trinh luong giac

Định nghĩa các hàm số lượng giác: a.. Hàm số lượng giác của các cung gĩc cĩ liên quan đặc biệt: Đĩ là các cung : 1... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng gi

Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Đơn vị đo gĩc và cung:

1 Độ:

Góc 0 góc bẹt

180

1



2 Radian: (rad)

180 0   rad

3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số gĩc (cung ) thơng dụng:

Radian 0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

II Gĩc lượng giác & cung lượng giác:

1 Định nghĩa:

2 Đường trịn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: AM  k2

M





















k

C A

k C

k A





















D B,

k

,

2 2

D

2k

2 2

B

2k

x

y

(tia gốc)

Z) (k 2 )

,

(Ox Oy k  



t

(tia ngọn)

O



o

180

O





x

y

O

B

D

x

y

B



(điểm gốc)



t

(điểm ngọn)



III Định nghĩa hàm số lượng giác:

1 Đường tròn lượng giác:

 A: điểm gốc

 x'Ox : trục côsin ( trục hoành )

 y'Oy : trục sin ( trục tung )

 t'At : trục tang

 u'Bu : trục cotang

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM  

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghĩa:

cos sin tan cot

OP OQ AT BU

















b Các tính chất :

 Với mọi  ta có :

1 sin 1 hay sin 1

1 cos 1 hay cos 1

 tan  xác định 

2 k

 cot  xác định   k 

c Tính tuần hoàn

sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( ) tan cot( ) cot

k k k k

(k  Z)





x

y

O

B

D

1

1 1



R

1



1



'

x

'

t

'

t

'

y

'

u

'

t

t

x u

'

y

'

t

1



Q

B

T



M



A P U

Trục cosin

Trục tang





IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

- 3

-1

- 3 /3

(Ñieåm goác)

t

t'

y

y'

x x'

u u'

1

1 -1

-1

-/2



5/6 3/4 2/3

-/6

-/4 -/3

-1/2

- 2 /2

- 3 /2

-1/2

- 2 /2

- 3 /2 1/2 2 /2 3 /2

3 /2

2 /2 1/2

A

/3

/4

/6

3 /3

3

O

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc

Hslg

0 6



4



3



2



3

2

4

3

6

sin 0

2

1 2

2 2

2

3

2

2

2

cos 1

2

3 2

2 2

2

1



2

2



2

3



-1 1

tan 0

3

3

3

3

3 0

3

3





V Hàm số lượng giác của các cung (gĩc) cĩ liên quan đặc biệt:

Đĩ là các cung :

1 Cung đối nhau :  và - (tổng bằng 0) (Vd:

6

&

6





 ,…)

2 Cung bù nhau :  và -  ( tổng bằng ) (Vd:

6

5

&

6





,…)

3 Cung phụ nhau : và

2



  ( tổng bằng

2



) (Vd:

3

&

6





,…)

4 Cung hơn kém

2



: và

2



  (Vd:

3

2

&

6





,…)

5 Cung hơn kém  :  và   (Vd:

6

7

&

6





,…)

1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau:

sin( ) sin

tan( )

cos( ) c

tan cot

o

( )

s

cot

t

sin( ) s

cot( )

i ot

n c















3 Cung phụ nhau: 4 Cung hơn kém

2



:

2

sin( ) cos

2

tan( ) cot

2

cot( ) tan

2









tan

cos( ) sin 2

sin( )

2 cot(

) ta

s

2

co 2

n























5 Cung hơn kém :

tan(

) tan

co

in

t( ) cot

























Phụ chéo

Hơn kém

2



sin bằng cos cos bằng trừ sin

Hơn kém 

tang , cotang

VI Công thức lượng giác:

1 Các hệ thức cơ bản:

sin tan =

cos cos cot =

sin













2

2 2

2

1

1 tan =

cos 1

1 cot =

sin tan cot = 1













2 Công thức cộng:

tan +tan tan( + ) =

1 tan tan

1 tan tan

 









3 Công thức nhân đôi:

2 2

2

2 cos 1

1 2 sin cos sin sin 2 2 sin cos

2 tan

1 tan











 







4 Công thức nhân ba:

3

3

sin 3 3sin 4 sin

5 Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2





2

 

sin

2

 





2

1 cos

4

cos 3 3 cos

4

3 sin sin 3

6 Công thức tính sin ,cos ,tg    theo tan

2





2

sin ; cos ; tan



7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

1

2 1

2 1

2

8 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos

cos cos





9 Các công thức thường dùng khác:

3 cos 4

4

5 3 cos 4

8

B BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho góc ;

2

 



   mà

1 sin

5

  Tính sin

6

 

  

 

Bài giải

♥ Từ hệ thức: cos2 sin2 1 và ;

2

 



  

          (2)

Thay (2) vào (1) ta được: sin 3 2

  

Ví dụ 2: Cho góc 3 ; 2

2

  



   mà

1

   Tính sin 2

Bài giải

4

4

  

♥ Do

3

; 2 2



  



4

sin 2 2 sin cos

8

Ví dụ 3: Cho góc ;3

2

 



   

  mà

9 cos

41

   Tính tan

4

 

 

 

Bài giải

♥ Do    



3

;

2

2 2

2

♥ Do đó

40 1

tan

40

1 9



Ví dụ 4: Cho  là góc mà sin 1

4

  Tính sin 4 2 sin 2cos

Bài giải

♥ Ta có: sin 4 2 sin 2cos cos 2 1 2 sin 2 cos   

2 cos2.4sin cos 2

 

2 2

Ví dụ 5: Cho  là góc mà tan  Tính 2 3 sin 3



Bài giải

♥ Vì tan  nên sin2   , do đó: 0

2 2

1

 2   2 

C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

1 Định lý cơ bản: ( Quan trọng )

u = v+k2 sinu = sinv

u = -v+k2

u = v+k2

u = -v+k2 tanu = tanv u = v+k (u;v )

2 cotu = cotv u = v+k (u;v

k















 







( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k  Z )

2 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã biết cách giải

b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

0

B=0

 hoặc

A=0

C=0

A B C







c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng cĩ thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :

 Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

 Phương trình cĩ chứa (cosxsin ) và sinx.cosxx

3 Các phương trình lượng giác thường gặp:

a Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( m  R)

(Phương trình lượng giác cơ bản)

* Gpt : sinx = m (1)

 Nếu m  thì pt(1) vơ nghiệm 1

 Nếu m  thì ta đặt m = sin1  và ta cĩ

(1) sinx = sin

x = ( - )+k2







* Gpt : cosx = m (2)

 Nếu m  thì pt(2) vơ nghiệm 1

 Nếu m  thì ta đặt m = cos1  và ta cĩ

(2) cosx = cos

x = +k2









* Gpt: tanx = m (3) ( pt luơn cĩ nghiệm m  R)

 Đặt m = tan thì

(3)  tanx = tan   x = +k 

* Gpt: cotx = m (4) ( pt luơn cĩ nghiệm m  R)

 Đặt m = cot thì

(4)  cotx = cot   x = +k 

Các trường hợp đặc biệt:

2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2

2

cosx = 0 x = + k

2 cos 1 x = 2

























x

y

O

B

D

b Dạng 2:

2 2 2 2

( a  ) 0

(Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác)

Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)

Ta được phương trình : at2bt c 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu cĩ)

c Dạng 3:

acosx b sinxc (1) ( a;b0)

(Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx)

Cách giải:

 Chia hai vế của phương trình cho a2b2 thì pt

(2)

 Đặt

b

a

a

với 0;2thì :

2 2

2 2

c (2) cosx.cos + sinx.sin =

a c

cos(x- ) = (3)

a

b b











Pt (3) cĩ dạng 1 Giải pt (3) tìm x

Chú ý :

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm  a2b2c2

d Dạng 4:

asin2x b sin cosx x c cos2x0 (a;c 0) (1)

(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx)

Cách giải 1:

sin cos sin 2

2

x x x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt: 2

atan2x b tanx c 0

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k

2



   có phải l nghiệm của (1) không?

e Dạng 5:

a(cosxsin )x bsin cosx x c 0 (1)

(Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx)

Cách giải :

4

Do

2

(cos sin ) 1 2 sin cos sinx.cosx=

2

 Thay vào (1) ta được phương trình :

2 1

0 2

t

at b   c (2)

 Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )

4

x  tìm x t

Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cosxsin )x bsin cosx x c 0

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Giải phương trình sin 5x2 cos2x1 (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1 cos 5 cos 2 0

2

 



     

cos 5 cos 2

2

 

  





  (Biến đổi về pt cơ bản)

5 2 2 2  

2

k









2

2

k x

k k

x

   









Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x2 sin 2x (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1 1sin 3 3cos 3 sin 2

sin 3 sin 2

3



 (Biến đổi về pt cơ bản)

3

3



 







3 2  

k k x









♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 4 + 2  

k

Ví dụ 3: Giải phương trình 4 cos5 cos3 2 8sin 1 cos 5

Bài giải

♥ Ta có:  1  2 cos 4 xcosx8 sin 2x2 cosx 5

 2 cos 4x8sin 2x  5 0

2

4 sin 2x 8sin 2x 3 0

   (Biến đổi về pt bậc hai theo sin2x)

 sin 2 3

2

x  : phương trình vô nghiệm

 1 2 6 2 12  





♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 5 +  

  

Ví dụ 4: Giải phương trình 2 cos 5 cos 3x xsinxcos 8x (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1  cos 8xcos 2xsinxcos8x

 2 sin2xsinx  1 0 0

1 sin

2

x x









(Biến đổi về pt bậc hai theo sinx)

2

7

2 6

    

  









x  k    x  k  x  k  k

  

Ví dụ 5: Giải phương trình 2 sin x2 cosx 2 sin 2x (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1  2 sinx2 2 cosx2 sin cosx x 2 0

sinx2 cosx 2 2 2 cos x 2 0

sinx 2 2 cos x 20 (Biến đổi về pt tích số)

 sinx 2 0 sinx 2: phương trình vô nghiệm

 

♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 3 2  

4

Bài giải

♥ Ta có:  1 sinx4 cosx2 sin cosx x  2 0

sinx2 2 cos x 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

 sinx  2 0 sinx : phương trình vô nghiệm 2

 

♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2  

3

Ví dụ 7: Giải phương trình cos sin 2 0

 

Bài giải

♥ Ta có:  1 sinx2 sin cosx x 0

sinx12 cosx0 (Biến đổi về pt tích số)

 sinx    0 x k

♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x  , k 2 2  

3

Ví dụ 8: Giải phương trình sin 3xcos 2xsinx (1) 0

Bài giải

♥ Ta có:  1 2 cos 2 sinx xcos 2x  0 0

cos 2x2 sinx 10 (Biến đổi về pt tích số)

k

x  x      k x   k

 

7

2 6

  









k

Ví dụ 9: Giải phương trình 2 cos 2xsinxsin 3x (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1  2 cos 2xsinxsin 3x 0

 2 cos 2x2 cos 2 sinx x 0

 cos 2xsinx 10 (Biến đổi về pt tích số)

 cos 2 0 2  

k

2

 

♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là , + 2  

k

Ví dụ 10: Giải phương trình  2

12 sinx cosx 1 sinxcosx (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1 2 1 sinxsin 2x 1 sinx 0

1sinx2 sin 2x 1 0 (Biến đổi về pt tích số)

2





x   k  x   k x  k k

  

Ví dụ 11: Giải phương trình 1 tan 2 2 sin

4

     (1) (Phương trình lượng giác có điều kiện)

Bài giải

♥ Điều kiện: cos 0

2

    

♥ Ta có:  1 1 sin 2 sin cos 

cos

x

x

 sinxcosx2 cosx 10 (Biến đổi về pt tích số)

4

 

Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện

D BÀI TẬP

Giải các phương trình

1) cos 5xcosx2 sin 3x0 2) cos 7xcos 3x2 cos 5x0

3) 2 cos 3 cos 1 cos 2

2

x x  x 4) cos 3xtan sin 3x x 1

5) cos 3x 3 sin 3x2 cosx 6) cos 5xcos 2xsin 3 sin 2x x 0

7) sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 8) sin 2 cos 2 sin 2 cos2 0

2

x

9) 4 cos4x8sin4xcos 4x3 10) 4 cos 23 x6 sin2x3

x x x 12) sin sin 13 1

2



13) 1 5sin x2 cos2x0 14) cos 2 3 2 cos 3 0

tan 1

x



1

1 s in2





x 16) 5sinx 2 3 1 sin  xtan2x

in2

2

s

x

   18) cos 3 cos 22 x xcos2x0

19)

3

2

2 cos cot

sin

x

x



  20)

2

2

cos2 tan

cos

x

in2

1 2 s

x



22) 4 cos3x 3 sin3x 1 3cosx

23) cos 7xsin5x 3 cos5 xsin 7x 24) 2 cos2 2 3 cos 4 4 cos2 1



25) in3s 3 cos3 2 sin 3

3

26) 2 sin 2 4 sin 1

6

sin cos 4 sin 2 4sin

x

2

30) 2 sin2xcos2x7sinx2 cosx 4

4

32) 2 cos6x2 cos 4x 3 cos2xsin2x 3

-Hết -