0914449230 1
Lượng Giác
αααααααα
A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN :
1) Hàm số lượng giác :
Vòng tròn lượng giác : Vòng tròn tâm ,bán kính R = 1 ,chiều dương ngược chiều kim đồng hồ ( trong hệ trục Oxy )
4 hàm số lượng giác : y = sinx ( Oy ) , y = cosx ( Ox ) , y = tanx , y = cotx
1 sin , cos và 1 tan , cot
2) Tính tuần hoàn :
Sin (x + k.2 ) = sinx
Cos (x + k.2 ) = cosx
Tan (x + k. ) = tanx
Cot (x+k. ) = cotx
Hàm six ,cosx tuần hoàn với chu kì 2 , hàm tanx ,cotx tuần hoàn với chu kì 3) Hệ thức cơ bản :
sin2 cos2 1 ; tan sin
cos
; cot cos
sin
tan cot 1
1
co t
tan 1 tan
co t
12 1 tan2
;
2 2
1
1 cot sin
4) Dấu của các giá trị Lượng Giác :
Trong cung phần tư
thứ (1) :
x x x x
Trong cung phần tư
thứ (2) :
x x x x
O
(1)
(4) (3)
(2)
2
0
3 2
2
Trang 2Trong cung phần tư
thứ (3) :
x x x x
Trong cung phần tư
thứ (3) :
x x x x
5) Các cung liên kết :
Hai cung đối nhau : x&x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
Hai cung bù nhau : &x x
sin( ) sin
Hai cung phụ nhau : &
2
2
2
2
2
Hai cung hơn
2
: &
2
2
2
2
2
Chú ý : Đối với sin và cos : chẵn bỏ ; lẻ bỏ ,thêm dấu ở
Trang 30914449230 3
Đối với tan và cot : chẵn hay lẻ ta bỏ vô tư ko cần thêm gì nữa
B CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :
CÔNG THỨC CỘNG :
1 tan tan
a b
HỆ QUẢ :
sin cos 2 sin
4
4
CÔNG THỨC NHÂN :
Nhân đôi :
2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
2 tan tan 2
1 tan
x x
x
Nhân ba :
3
sin 3 x 3sin x 4 sin x ; cos 3 x 4 cos3 x 3cos x
Tổng thành Tích :
cos cos 2 cos cos
cos cos 2 sin sin
sin sin 2 sin cos
sin sin 2 cos sin
nh ận xét :
2
a b đứng trước,
2
a b
đứng sau
Tích Thành Tổng :
1 cos cos [cos( ) cos( )]
2 1 sin sin [cos( ) cos( )]
2 1 sin cos [sin( ) sin( )]
2 1 cos sin [sin( ) sin( )]
2
CÔNG THỨC HẠ BẬC :
2 1 cos 2
sin
2
x
x ; 2 1 cos 2
cos
2
x
x
C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
Phương trình Lượng Giác cơ bản :
2
2
u v k
cos u cos v u v k 2 ,( k Z )
Trang 4tan tan
u v
Chú ý : khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp dạng này
khi gặp phương trình dạng :
cosu cosv đưa về cosucos( v) ; sinu sinv đưa về sinusin(v) tanu tanv đưa về tanutan(v) ; cotu cotv đưa về cotucot(v)
Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG :
Dạng :
2 2
2
2
.sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0
, Cách gi ải : đặt
sin , ( 1 1) cos ,( 1 1) tan , ( ) cot , ( )
Pt cho sẽ trở thành : a t 2 b t c 0 t x
Phương trình đối xứng với sinx và cosx :
a sin u b cos u c ; đk có nghiệm :a2 b2 c2
Cách gi ải : chia 2 vế phương trình cho a2b2
Phương trình cho trở thành :
2a 2 sinu 2b 2 cosu 2c 2
Đặt
thức :
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tức là
sin cosu cos sinu c sin(u ) c
Trang 50914449230 5
Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx :
a sin2 u b sin cos u u c cos2 u d (1)
2
sin 2 2 sin cos 1
1 tan cos
u u
Cách giải1 :
o Xét cos x 0 sin2 x 1, nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm
của pt, nếu ko thỏa thì cosx = 0 ko fải là nghiệm
o Xét cos x 0 , chia 2 vế phương trình (1) cho cos x2 và nhớ
2
cos
d
(sin cos )
d d x x , sau đó đưa về phương trình bậc 2 theo tanx và giải
Cách gi ải2 :
.1 cos 2 sin 2 1 cos 2
a b c d A.sin 2xBcos 2xC ( đã học , dùng trong biện luận nghiệm nhiều hơn )
Phương trình chứa tổng và tích :
.(sin cos ) sin cos 0
a u u b u u c
Cách giải : đặt sin cos 2 sin( )
4
phương và rút sin cosu u theo t và thế vào pt giải bình thường sẽ có nghiệm t
Phương trình quy về dạng tích :
0
0
A
C
Phương trình tổng bình phương :
2 2
0 0
0
A
B
Trang 6 Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới) :
Lưu ý dạng
sin 1
sin cos 1
u v
u v
Trong quá trình làm bài tập sẽ có nhiều dạng khác ,đòi hỏi kĩ năng và kinh
nghiệm của các em…
Bài Tập Lượng Giác
A.Phương trình cơ bản :
1) sin(2 ) 1
3 2
x
2) cos(2 ) 3
x
3) sin(2 ) 2
x
4) sin 5xsin 3x
5) sin( 20 ) 1
2
o
x 6) sin( 2) 1
3
x 7) tan 3 1
3
x 8) tan(3x 12 )o tan 60o
9) tan(4x 2) 10) sin(23 x1)sin(x3) 11) sin3 1
5
x
12) cot 23 x 1
13) 2sin 7x 3 14) 0 cos 4xcos 3x0 15) sin(2 ) sin
3
16) sin 2xcos 3x0 17) 4
cos x 18) 2sin 31 x 3 0
sin xsin 2x 20) 3 tan 21 x 21) 3 0 sin(2 ) 1
3 2
x
22) cos 3xs in4x0 23) 4sin cos cos 2x x x 1 24) 16 sin cos cos 2 cos 4x x x x 2
sin 2
4
x 26) 2
cos (x 30 )o 27) 1 2 3
cos ( )
6 4
x
28) 2sin( ) 3
3 4
x
29) cos 2xsinx
B.Đặt ẩn phụ :
2 cos x3cosx 2) 5 0 tan2x2 tanx 3) 3 0 2 cos 2xcosx1
4) 2sin 22 x5sin 2x 5) 3 0 2 cos2 x3cosx 6) 5 0 4sinx 4 cos2x
7) 32 4 tan
cos x x 8) 2
2 cos 5x3cos 5x 9) 1 0 5 cos 2sin 3 0
2
x
10) 2
4 cos x2( 3 1) cos x 30 11) 2
tan x(1 3) tanx 30 12) 2
cot x4 cotx 3 0
tan x4 tan x 14) 3 0 cos 2x9 cosx 5 0 15) 2
cos x sinx 1 0
16) sin 3xcos 2x 1 2 sin cos 2x x 17) 2 1 2
sin 2 sin
2
cos xcos x2 sin x 2 0
C.Phương trình đối xứng :
1) sinx 3 cosx 2) 3 sin 31 xcos 3x 2 3) cosx 3 sinx 2
Trang 70914449230 7
4) 2sinx2 cosx 2 5) 3sin 20 x 3 cos 2x 6) 1 sin 2 sin2 1
2
x x
7) sin( 2 ) 3 sin( 2 ) 1
2sin x 3 sin 2x 9) 3 sin 4xcos 4x1 10) sin 3x 3 cos 3x2 sin 2x( KA Cao Đẳng – 2008 ) 11) 2 2 1
sin cos cos
2
x x x
D.Phương trình đẳng cấp :
2sin xsin cosx x3cos x 2) 0 2 2
3sin x2 sin 2x5cos x 2
2sin 2x5sin 2 cos 2x xcos 2x 4) 2 sin2 sin 2 2 cos2 1
2
x x x
2 cos x3 3 sin 2x4sin x 6) 4 2 2
3sin x4 sin 2x(8 3 9) cos x0
2sin x(3 3) sin cosx x( 3 1) cos x 1
E.Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích :
1) 3(sinxcos ) 2sin 2x x 2) 3 0 sinxcosx4sin cosx x 1 0
3) 6(sinxcos ) sin cosx x x 4) 6 (2 2)(sin 2xcos 2 ) 2 sin 2 cos 2x x x2 2 1
5) 2sin 2x3 3(sinxcos ) 8x 0 6) (1 2)(1 sin xcos )x sin 2x
F.Bài tập tổng hợp :
Bài 1 : giải các phương trình LG sau
1) 2 cos 2 0
1 sin 2
x
x
2) cos 2 tanx x 0 3) sin 3xcos 5x0 4) 1 tan 2 1 sin 22
cos 2
x x
x
tan xtan x3 tanx 6) 3 2 2
sin x2 cos 2x 3 7 cos x 7) 0 cos 9x2 cos 6x2
4 cosxcos 3x 9) 3 2 2
cos cos 4 cos 0
2
x
sin cos
8
x x 12) 3
2sin xcos 2xsinx 13) 0 4 4
4(sin xcos x) 3 sin 4x2
14) sin 2 1
1 cos 2
x
x
cos cos 2 cos 3 3.cos
17) cosxcos 2xcos 3xcos 4x0 ; 18) 6sinx2 cosx ;19) 2 2 2 2
sin xsin 3xcos 2xcos 4x
Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây :
1) cos 3x2 cosx2 ( ĐH Cảnh Sát Nhân Dân )
2) 1 cos xcos 2xcos 3x0( ĐH Nông Lâm – 2001 ) ĐS :
cos 0 cos 1
1 cos
2
x x x
3) sin 5 cos 5 sin 2
( ĐH An Giang – 2001 )
4) sin co s 2 3 co s 2
x
( KD – 2006 )
Trang 85) 2 cos 2 8cos 7 1
cos
x
( ĐH Nông Nghiệp – 2000 ) 6) sin 2x2 tanx3 ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 )
sin xsin 3x3cos 2x ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 )
8) tìm nghiệm x [0;14] của pt : cos 3x4 cos 2x3cosx 4 0( KD – 2002 )
ĐS: ,3 ,5 ,7
sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x ( KB – 2002 ) ĐS :
x k x k
10) tìm nghiệm [ ;3 ]
2
x
11) sinxsin 2xsin 3x0 ( ĐH Kiến Trúc – 2000 )
12) sin 3 sin 2 sin
( Bưu Chính Viễn Thông – 1999 ) HD : biến VP thành tổng
ĐS :
13) sin 5 cos 5
sin cos
x x HD : pt sin 4 0 cos 2 0
sin 2 0
x
x x
x
x
15) cot tan 4sin 2 2
sin 2
x
x
5sinx 2 3(1 sin ).tan x x ( KB – 2004 )
18) (2 cosx1)(2 sinxcos )x sin 2xsinx ( KD – 2004 )
19) cos 3 cos 22 x xcos2 x ( KA – 2005 ) 0
20) 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0 ( KB – 2005 )
21) cos4 sin4 cos sin 3 3 0
22)
2(cos sin ) sin cos
0
2 2 sin
x
23) cos 3xcos 2xcosx 1 0 ( KD – 2006 )
(1 sin x) cosx(1 cos x) sinx 1 sin 2x ( KA – 2007 )
25) 2
2sin 2xsin 7x 1 sinx ( KB – 2007 )
3
sin
2
x x
x
( KA – 2008 )
sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin xcosx ( KB – 2008 )
28) 2sin (1 cos 2 ) sin 2x x x 1 2 cosx ( KD – 2008 )
29) 3 3
cos xsin xsinxcosx ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 )
Trang 90914449230 9
30) 2 tan cot 3 2
sin 2
x
( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97) 31) tanxcotx4 ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97)
32) 2
5 3sin x4 cosx 1 2 cosx ( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96)
cos xsinx3sin x.cosx ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98) 0
34) sin 3x2 cos 2x 2 0 ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97)
35) 3 sin cos 1
cos
x
( ĐH An Ninh – 98)
sin xsin 3xcos 2xcos 4x ( ĐH Kinh Tế Quốc Dân – 99)
37) sin 3xsin 2x5sinx (ĐH Y Hải Phòng – 2000)
38) 2 sin 2xcos 2x 2 (ĐH Huế - KD – 99)
39) cos2x 3 sin 2x 1 sin2 x( ĐH Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000)
40) cos 7 cos 5x x 3 sin 2x 1 sin 7 sin 5x x( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96)
41) 3sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 33 x( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95)
( ĐH Dân Lập Phương Đông – 97) Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm :
(m3) sin x(m3) sin cosx xcos x 0
(5m2) cos x(m1)sin 2x 1
(m 2) sin x4 sin cosx xm 3
( HD : đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm)
Bài 4 :
sin cos 4 sin 2 4 sin
thỏa điều kiện x 1 3 2)Cho hai phương trình :
2
2
1 sin
cos (1 sin ) sin 2 (2)
x tgx
x
Tìm m để mọi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2)
Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc :
1) cos cos 5x xcos 2 cos 4x x 2) cos 5 sin 4x xcos 3 sin 2x x
3) sin 2xsin 4xsin 6x 3) sinxsin 2xcosxcos 2x
sin 4xsin 3xsin 2xsin x 5) 2 2 2 2
cos xcos 2xcos 3xcos 4x 2