Bài 10 Phương trình lượng giác quy vê phương trình bậc hai... Phương trình lượng giác quy về phương trình bac "9 i Nội dung 1.. Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai a
Trang 1
Bài 10
Phương trình lượng giác quy
vê phương trình bậc hai
Trang 2
© Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bac "9
i
Nội dung
1 Phuong trinh dang Acos2u+B
2 Sử dụng công thức hạ bậc
3 Phép đổi biến số t = sinu + cosu
sinu aint cosu
4 Phuong trinh cao quy vé bac hai
Trang 3
a
sinu
1 Phương trình dạng Acos2u +B +C=0
cosu
Bài 1: Giải phuong trinh: cosx- 3sin2 +1
Bai giai
Biến đổi phương trình: cosx -3sin2 +1=0
~2sin2 X -3sin +1=
<> 1—2sin 2 3sinz +1 0
in2 *+2sinŠ—2=
<> 2sin 5 +Ssing 2=0
Đặt t = sin2
t=-2<-†1 (L)
22+3t-2=0©>Ì_ 4
© Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
=0
=> =1<t< 1, ta được phương trình:
Trang 4
© Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc "
a
1 Phương trình dạng Acos2u + HT +C =0 (tt) Bài tập tương tự: Giải phương trình cos4x + 5cos2x + 2 = 0
Bài giải
Biến đổi phương trình:
<> 2cos? 2x - 1+ 5cos2x + 2 =0
<> 2cos* 2x + 5cos2x+1=0
Đặt t = cos2x => -1 < t < 1, ta được phương trình:
- _-8- V17 =8 (L)
4
~5+ 17
pr——»
t
2t +5t+1=0<>
Cosa
COS2X = COSŒ <> 2X = ‡+ơ + 2K7t <> X = ++kn
Trang 5
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
sinu
1 Phương trình dạng Acos2u +B +C =0 (tt)
cosu
Lưu ý:
Cách giải phương trình dạng Acos2u + Bề +C=0
cos 2u = 2cos*u —1 để đưa về phương trình bậc hai của cosu hoặc
cos2u = 1- 2sin°u
Thay
sinu
Trang 6
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
2 Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2: Giải phương trình: cos? x-4sin| 2 |+2=0
Bài giải
Biến đổi phương trình:
2sin(Šš~ 2 ]=1~eos|x~5]=1~sinx
PT: cos? x~4sin | Š ~ 2 Ì+2=0
>1- sin” x~2(1- sinx)+2=0
«+» sin? x- 2sinx -1=0
Đặt t= sinx => -1< t < 1, ta được phương trình:
t=1+x2 (L) t=1-x42 =sinơ
x=ơœ+2kz X=ft-œơ+2kr
Trang 7
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
2 Sử dụng công thức hạ bac (tt)
Lưu ý: Giải phương trình dạng:
Acos°u+ Bsin 2 + 2J*C“ =0
Acos*u+Beos*| 5:7) +C=0
| Cách giải
Thay
T
sine( +šÌ~— csi) tein
2
2; U_ z
Ta được một phương trình bậc hai của sinu
Trang 8€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
2 Sử dụng công thức hạ bac (tt) Bài tập tương tự: Giải phương trình: sin*| x + 5 sin?| x ~ 5 =5cosx-—2
Bai giai
Biến đổi phương trình:
si |x + 5)" sin?| x- 4 =5cosx-2
1~eos|2x+ 4 1~cos|2x- 2
o>
c 1-cos2x.cos 3 =5cosx- 2
Trang 9
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
2 Sử dụng công thức hạ bac (tt)
Bài tập tương tự (tt)
Đặt t =cosx => -1< t < 1, ta được phương trình:
+57 <0o|^ ~ > só
SinX =COSơ <> x= +o a
=COSa
Trang 10
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
2 Sử dụng công thức hạ bac (tt)
Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng sin2(u + œ) + sin2(u + œ), ta biến
đổi như sau:
sin?(u+œ)+ sin?(u+ ø)= — +2u) G — mm)
1
=1- 5 | 008(2u +2.) +c0s(2u— 2a)
=1—cos2u.cos2œ
Trang 11
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
3 Phép đổi biến số t = sinu + cosu
Bài 3: Giải phương trình sin2x — 3(sinx + cosx) + 3 = 0
Bài giải
Đặt t = sinx + cosx => † = vZsn|x+ 5] = It} < /2
t? =(sinx + cosx)” =1+sin2x = sin2x = tỶ - 1
Ta được phương trình sin2x - 3(sinx + cosx) + 3 = 0, trở thành:
t=1
t?-3t+2=00
t=2 (L)
t=1: sin x+ 5 ]~1© si x+2)
l=
hị
> +
<>
Tt
Trang 12
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
3 Phép đổi biến số t = sinu + cosu (tt)
Lưu ý: Giải phương trình dạng:
Asin2u + B(sinu + cosu) + C = 0
Cách giải
Đặt
t= sinu+cosu=> t= sin us 5) d2eos|u~ Ì= It| < V2
t? =(sinu+cosu) =1+sin2u=> sin2u = tÊ -1
Trang 13
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
3 Phép đổi biến số t = sinu + cosu (tt)
Bài tập tương tự: Giải phương trình: sinx + 4(cos2 - s5 | +4=0
Bai giai
Đặt t=eosE ~sinŠ =t=VZeos| Ễ + 2 ]>||< V2
# =(cos% sin’) = 1- sinx = sinx = 1- tỶ
Ta được phương trình sinx + A(cosš ~ sin’ 4 =0, trở thành:
t=-1
-t2 = 2_ =i) =
t= 1: WBoos| Xs #) = 1©œs| +2) :
X x 3n
c>
X.1_ ỞỔN X =-2r + 4km
Trang 14
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
3 Phép đổi biến số t = sinu + cosu (tt)
Lưu ý: Giải phương trình dạng:
Asin2u + B(cosu — sinu) + C = 0
Cách giải Đặt
t=eosu ~sinu=>t= ýZsin| Z ~u )=2eos|u+ 2 ]~3||< V2
t? =(cosu—sinu) = †1- sin2u => sin2u = 1- t?
Trang 15
£ Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai C a
4 Phương trình cao quy về bậc hai Bài 4: Giải phương trình: sin* x +cos* x— 2[sinf 5 +cos® 5 +1=0
Bài giải
Ta có
sin’ x + cos*x = 1—_ sin? 2x = 1+cos* 2x
6X 6X _ _3 9 _ 5+3cos2x
sin 5 + COs 2“! goin x=———
Ta được phương trình:
sin*x+cos* x2 sin® > +cos*>|+1=0
2
ies ESOS +120
2cos* 2x —-3cos2x+1=0
Trang 16
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
a
4 Phương trình cao quy về bậc hai (tt)
Bài 4 (tt)
Dat t=cos2x => -1< t < 1 ta được phương trình:
t=1
2t2-3t+1=0<>|,„ 4
2 1: COS2x=1<¢> 2x = 2kx <> X=kz
ty ae _+% 4%
t
t
Trang 17
© Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc h
a
4 Phương trình cao quy về bậc hai (tt)
Lưu ý: Giải phương trình dạng
.„ 6U øeM
st 6 sin® — +cos® —
AI IYPBE tp 2 Ct sin“u+eos“u ¡4U oesU
Cách giải
Sử dụng các biến đổi sau để đưa về phương trình bậc hai của cos2u:
2
sin°u+cos®u = KG 2u
2
sin*u+cos*u= —Ằ
sin® — +cos® = =
sin* Ú +cos*U „ 3+€os
2 2 “
al
@
Trang 18
€3 Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
4 Phương trình cao quy về bậc hai (tt)
Bài tập tương tự: Giải phương trình: sinÊx + cosÊx — 3cos8x + 2 = 0
Bài giải
Ta co: sin® x +cos® x = 1- = sin? 2x = cos4x 9+ soon
cos8x = 2cos* 4x~—1
Ta được phương trình: sinÊ x+ cosÊ x- 3cos8x + 2 =0
c„ °+3©9S4X _ 3(2cos? 4x ~1)+ 2=0.<5 48cos? 4x~3cos4x 45 =0
8 Đặt t = cos4x => -1< t < 1, ta được phương trình:
t=1
48t?-3t-45=0<—|, 15 _- *Š _
t=1: COS4X = 1<> 4x = 2kn > X=
Ex 16 7 COSa: C0S4X =C0Sơ c 4X = tơ + ZkR CS X=+ 7 +-2 ` \
Trang 19
© Bài 10 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai
4 Phương trình cao quy về bậc hai (tt)
Lưu ý: Giải phương trình dạng
Acos8u + B(sinÊu + cosÊu) + C = 0
Acos8u + B(sinu + cos4u) + C = 0
Cách giải
Sử dụng các biến đổi sau để đưa về phương trình bậc hai của cos4u:
sinŠu + cos u = — sin” u + cosf u = os cos
cos8u = 2cos* 4u—1