Phương trình lượng giác-Phạm Trọng Thu

PHAM TRONG THU TOAN NANG CAO | LƯỢNG GIAC | PHAN PHUONG TRINH LƯỢNG GIÁC_- TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM «BOI DUONG HOC SINH KHÁ GIỎI LỚP 10, TI ' 12 | e LUYỆN THỊ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHO

PHAM TRONG THU

TOAN NANG CAO

| LƯỢNG GIAC |

PHAN PHUONG TRINH LƯỢNG GIÁC_-

TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

«BOI DUONG HOC SINH KHÁ GIỎI LỚP 10, TI ' 12 |

e LUYỆN THỊ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHO THONG

NHÀ XUẤT BẢN DAI-HOC SU PHAM

, ‹ Nếu |m| <1 :Ta có: sinX=meo| X= x0 +k2m - _ X=a+k2n -

với sing = m - (cs me yo acim ae|-5: |

‹ Nếu |m| <1 ZTa có: cosX=m ©>| XE _ tên ;

với cosơ =m (có thể lấy a = arccosm, a < [0; 7] )

Ta cé: tanX =m & X=a+ka, keZ với tana = m( sẽ thể ấy ø~ scam, ac{-F: )

» Trong bài toán, đơn vị cung (góc) cần thống nhất

Vi dy: x = 60° +k 180” là cách viết đúng, còn x= =3tk 180° là cách viết sai

° Khi giải phương trình lượng giác có chứa hàm tang hoặc hàm côtang ta phải

đặt điểu kiện, -chẳng hạn cott xác định khi œ=z kx,kc Z; tanu xác định khi

cosu =0 cu =2 +km,k€Z | simu =0 > x =ka,k eZ

cosu =1 ©> u = k2m,keZ.- sinu =I1<>u =2 +k2m,k €Z:

cost = -1ou= n+k2a,k eZ: | sinn=-lou= -21 k2r,ke Z

cotu =0 ©œu =2 + km, k €Z tanh =0 cu = km, k€Z,

Nhóm 2 : Tuỳ theo phương trình lượng giác đã cho mà ta thực hiện

các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa phương trình cần giải

về dạng ‹ cơ bản ở nhóm 1 hoặc về dạng có cách giải dị dễ hơn

Ví dụ 4 Giải phương trình sin4x = sil + 3) (®)

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x =k eZ:

()© sin2x(1~eos)=0©| coxa A, keZ

„Trường hợp 1: Bm-Il>I< [2m11 [mo

Phương trình (*) vô nghiệm

Ví dụ 8 Tìm m để phương trình sil x + *| =m cónghiệm x € (s;}:

> cos2x cos2x = ~~ =cos= 2 cost 2x = 6 t= “+k2 © ROK= 12 ++ ka, ke k Zz

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = SH +kr, keZ

sin’ ~ + cost ~ =a? + b? =(a +b)* —2ab =1-1 sin’ 2 2 |

(*) <> 1—Ssin?x => €2 sin®x =14¢ cos =0c>x=7 +kn, keZ ,

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = x +kn, keZ

<> cos10x + 1+ cos8x = cosx + 2cosxcos9x

<> cosl10x + 1+ cos8x = cosx + cos10x + cos8x

Điều kiện : cosx # 3 «©x “+ + k2n,k cZ

CYS "“= 43 3)cosx — họ cox -*)| = 2cosx — 1

2 (2- 43 )Cosx — (Ì ~ sinx) = 2cosx —1 <> -3cosx +sinx = 0

Phương trình (*) viết lại

msinx + (2m —1)sinx + 5m —7 = 2sinx

Nhìn vào đường tròn lượng giác :

« Nếu te |-z: ;] hoặc t = 1 thì phương trình sinx = t có đúng một nghiệm

x -5T ,

xe] -—; —

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Nhóm † ˆ

Bài tập 1 Giải các phương trình:

a) sin2x = 2 b) cos{ x + H = _— c) tan(x —30°) 8

Bài tập 2 Giải các phương trình:

a) tan{x-2] + cotx =0 7 , b)sin?4x sin? 3x2 ]-0

Bài tập 3 Giải và biện luận các phương trình:

_ 8)(2m —1)cosx = mcosx — 5 b) 4tanx —m = (m +1)tanx

Bài tập 5 Giải các phương trình :

8) COSXCOS7X = c0s3xXcos5x cóc _b) |eosx|==

e) sin® x + cos® x = cos” 2x + f) 2cos3x + V3sinx + cosx = 0

g) cos? x cos3x + sin’ x sin3x = 2 hb) sin xcosx + cos’x = vn l

%Ì T xÌ k) cos| x + *) + co x4 = = co + *) :

Bai tap 6 X4c dinh m để phương trình sinŠx + cos”x = m có nghiệm

Bài tập 7 Giải các phương trình:

:4 4

sin x+cos x 1 : 3(sinx + tanx

—————=~(tanx + cotX) b) 3¢sinx + tanx) _ 2cosx = 2

sin2x 2 tanx — sinX W

c) 2tanx + cotx =x/3 + - = 2( : )

sin2x ` tanX +CcOfX cotx —l sinx — sin2x 1+cos”x ¬ I+sin |

COSX — COS2X 2(1 — sinx)

11

Bai tập 8 Giải biện luận phương trình (3m — 2) cos 2x +4msin’ x+m =0 ĐẦU

v3

Ta có: tanQx ~ 30”) = ` =tan30” œ x =60 +k 1809, k€Z,

Bài tập 2 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*), |

| a) Điều kiệnx # + ke : x # k#t ,keZ

(Œ*)© tan x -2)~ —cotx = tan 2 | Xx 5 =1 x+kn

keZ

Lúc đó: (1) © x= <> + n2 hoặc x= — 17 + HZH (neZ)

| Lý luận giống (1) => (2) có nghiệm © k= 0ˆ

Lúc đó Q)eox= A+ ndn hoặc x=—15 + n2x (neZ.) |

Vậy (*)có nghiệm | x = i, kn;x= Un, kn,k eZ 2° 2

Tóm lại :

‹ =4<m<6thì (*)vônghệm -

« m< -4 hoặc m >6 thì (*) có nghiệm x=+@+ k2r, keZ

b) Ta có: 4tanx —m =(m + ])tanx ©6- m)tanx =m (*)

em = 3:(*) vô nghiệm

, đặt — — =tano

—m 3—m_ :

Ta có: (*) ©x=@+kx,keZ

_ Bai tập 4 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a) Tac6:xe[ 2,28) 2 2xe( 2:28) =>-1<cos2x<0 © 4194) "\2"2 -

em #3:(*) © tanx=

(*)66 nghigm xe [ 5: ]khi~I <m~I<0©10<m <1

b)Tacó:xe|0 Blox + lễ: 2) 2% csin{x+4 :)* 1

Bài tập 5 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a)(®) © 2 (eosBx +co§6x) = 5 (0088 + COS2X) ©

€> cos6x = cos2x © 6x = +2x + k2 © xe keZ,

cosx =+ =cos™ x=+—+k2n

DH! Z - Pa 5 keé#Z

‘ cosx = = cos x=+““+k2nm

2 3 _L 3 c)(Œ*) © =" ` gi PkeZ

e) Cách giải tương tự câu c Dap s6 x= 7 < keZ

g) Thế cos”x = mm sin x = Tn vào phương trình

đã cho và rút gọn lại ta được 3cos2x + cos6x = V2 (1) >

« Phương trình đã cho có nghiệm @-Is

Bài tập 7 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

_a) Điều kiện: sin2x#0x =

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

COSX sinx sin2x sin2x

15

b) Diéu kién : sin2x +0Ðxz ke

<> sinx = 0 hodc cosx = v2 (loại)

Vậy phương trình (*) vônghiệm

e) Điều kiện:cos2x # cosx

(9) X2 sosax— Lsin2x =ÝŠ cosx — Lginx <2 cos 2x+= = Cos xi

<> 1+cos?x =1—sin?x +2- -(1-sin’x)

<> cos’x —sin*x = 0 < cos2x = Ủ © x =T+ ke Z

16

Bài tập 8 Quy ước gọi phương trình đã chơ là (*)

- *)©(3m-2)cos2x + 4ñ =¬ +m=Щ (2—m)cos2x = 3m

„ Giải tương tự Bài tập 3a -

- Dap số:

ˆ #m< —1 hoặc m >> thi (*) vô nghiệm `

+ -l<m <7 thì () có nghiệm x = +@ + km, k€Z (vi cosa =F e m

Bài tập 9 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

Nhìn đường tròn lượng giác ta thấy : _

(*) có đúng 3 nghiệm x <|-5:ax| khi

Chi dé 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI

_ VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

asin?X + bsinX +c =0(a #0) | »Tacó:at? + bt+c=0(1), gidi (1) tim

nghiệm t ( nếu có), suy ra nghiệm X

- Datt =cosX, |t|<1

- Ta có: at? + bt+c=0 (2), giải (2) tìm nghiệm t (nếu có), suy ra nghiệm X “`

acos2X + bcosX +c =0(a # 0)

_.} eĐặtt=tanX,teR ˆ

atan2X + btanX +c =0(a #0) | « Ta có:at + bí +c = 0 (3), giải (3) tìm

_ nghiệm t( nếu có), Suy ra nghiệm X

— | «Đặtt=cotX,teR

acot2X + bcotX +c=0(a #0) | « Ta có:at + bt +c = 0(4), giải (4) m

` nghiệm t( nếu có), suy ra nghiệm X

Nhóm 2 : Tuỳ theo phương trình lượng giác đã cho mà ta thực

hiện các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa phương trình

cần giải về dạng ở nhóm 1 hoặc về dạng t có cách giải dễ hơn (chú ý

đặt điều kiện nếu có )

Với xe E | =>2x€ È H =>te[0; 1}

Phương trình (*) có thể viết lại ~2t? + 3t+1=m(1)

(*) có đúng hai nghiệm thuộc Ề *| khi và chỉ khi phương trình (1) có

« Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 2 < m < § thỏa mãn để bài

_ Chú ý: Bài giải Ví dụ 7 được sử dụng phương,pháp xét chiều biến thiên, để

sử dụng được phương pháp này thành thạo ta cần Học nhớ :

+ Cách xét tính đơn điệu của hàm số, cách tìm cực trị của hàm số

+ Cách tìm giá trị lớn nhất của ham f(x) wén tập xác định D(max f(x) xeD

tim gid tri nhỏ nhất của hàm f(x) trên tập xác định Ð (min f(x))

xeD

- 20

Định lí: Cho f(x) xác định và liên tục trên D, giả sử tổn tại max đen f(x)

Ta có:

Phương trình f{x)= œ có nghiệm + min f(x) < <œ< max f(x)

(Độc giả tim đọc quyển sách MỘT 6 PHUONG PHAP CHUNG MINH BAT ĐẰNG : THỨC &

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ tác giả PHAM TRỌNG THƯ ) _

Ví dụ 9 Tìm nghiệm của phương trình

sin{ 2x + 5) soos 2-7) “1 25im G9.xe[ 2z)

Vay nghiém của phương trình (*) là x=; x= *

Ví dụ 10 Giải phương trình (sin2x + ^l3cos2x)? -5 = coo 2-2 (*)

_ Giả _ SI2X+ V3cos2x = a ier + Poa) = 2 sin 25In2x + coSC cos2x]

ot 2 + (cos8x +cos4x)—Í =0 © 2cos” 4xT—l+cos4x —- 2 =0

c© 2cos”4x + cos4x— 3 = 0 © cos4x = 1 hoặc cos4x = -Š (loai)

coax akin x=, keZ

- Vậy nghiệm của phương trình (*) là x == keZ

Ho a(t si 2x]-4[I Sin’ = aa =m

> 4~2sin? 2x —4 + 3sin?2x — (2sin2xcos2x)* =

<> sin? 2x — 4sin? 2x(1 — sin? 2x) =m

sinx'=-2<-I(loati) |x==+k2m |

1 a = 6 ,keZ

SIPX =— =SIn— - 2- 6 x= 7t + ken

Vaoy nghieom cuỷa phửụng trỡnh (*) laứ x = at k2n; x= = + k2n , ke Z

2 sin2x Œ).-

* oH - + 4sin2x =— ; 2(cos x = sin’ x) + 4sin2x = — 2(cos*x—sin’x) , :2

Ví dụ 16 Cho phương trình sin“x + (sinx — 1)” =m

ˆ a) Giải phương trình (*) khi m =;

b) Xác định m để (*) có nghiệm xe lễ: |

2 Giải

2 * 1 4 1 4c

Phương trình (*) trở thành ( + 2] +( -2] =m

Khai triển và rút gọn ta được: 229 +3 tọ =m (1)

a) Khi m =—: 2 +3 =0€>t =0 sinx =7 =sin=©| z„

ni | | Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = at k21;x = = +k2a,k eZ

24

Phương trình (*) có nghiệm xe E | c> phương trình (1) có nghiệm t se |

‹ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với SỀ <m <i thỏa mãn để bài

Chú ý: Gặp đọng phường tình Ö{+a + (X+b)* =c ta datt= x+3?Ð, 2

Ví dụ 17 Giải phương trình (men — } sim+1-}-1- 00, : sin X sinXx / -

Giai Diéu kién: sinx #0 <> x # ka, ke Z

Đặt t = cosx, với xe l-š an] =[ «|: ;|

Nhìn đường tròn lượng giác ta thấy:

(® có đúng hai nghiệm x e l-š: an]

Bài tập 1 Giải các phương trình:

a) 2cos”x — 3cosx + =0 b) cot?x — 2cotx + I= =0

Cc) V3tan?x -(l+ V3)tanx +1=0 đ)4sin?x— 243- V2)sinx = V6 0

e) 4cos2x —2(x/3 — 1)cosx = V3 =0

Bài tập 2 Giải và biện luận (m - 1)tanˆx ~ (m — 3)tanx —m —3 = 0

Bài tập 3 Cho phương trình cos°x +(1— m)cosx + 2m —6 =0 (*) Xác định m để (*)

-Bài tập 6 Giải các phương trình: |

a) cos’x + sinx +1 =0 ` b) cosx —cos2x =+

€) cos2x =1+ cos4x 7 ` # co = cos? =

e) cos2x — 3cosx = 4cos? 2 f) cos5xcosx = cos4xcos2x + 4 - 3sinˆx

26

g) 2cosxcos2x = 1+ cos2x + cos3x h) sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx — 1)

_k) 2(cos!2x — sin* 2x) + cos8x — cos4x = 0

Bài tập 7 Giải các Phương h trình:

' Bài tập 8 Giải các phương trình: |

a) 3sin? 2x + 8sin?x — I1 — 3cos2x =0 b) coax(2sinx +32)+2sin?x -3 =|

(ĐỀ thi Đại học khối A năm 2006)

Bài tập 10 Tìm a để phương trình I + 3cos”2x = 4asin2x (*) có nghiệm ˆ

Bài tập 11 Cho phương trình 3 +2cos2x — 8cos? 5 =3k (*) Tìm tất cả các giá trị

nguyên dương k để (*) có nghiệm

Bài tập 12 Cho phương trình cos2x + mcosx + 2m + Ì =0 (*) Xác định m để (*)

Bài tập 14 Cho phương trình 4(3m + 2)sin= — (m— 1)cosx +m—-7=0(*) | ai tgp 2

cos’ x cosx

¢) cos2x + 5 = 2(2 — cosx)(sinx ~ cosx)

D HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ta có: Ủ ~2L+1= 0 1= 1= cotx = coL 2 có XS + km, keZ,

©) Điều kiện :x # + kak eZ

Phương trình đã cho có dạng : atanˆx + btanx + c = 0

Ta thấy: a + b+c =A/3~(1+A3)+1=0

28

d) Dat t = sinx, It] <1

+ Phương trình (*) v6 nghiém khi -1<m< ý

Bài tập 3 Phương trình có nghiệm khi 2 < m < 4

Phương trình (*) có thể viết lại 4t -4t— 3= 3m (1)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t‹ te[-l 1]

- Xét ham s6 g(t) = 4t? -4t —3 én doan [-1; 1]

“,29

- g(t) = 8t—4, g()=0œt=7

- Lap bang biến thiên và dựa vào bắng ta được kết quả -5 <m<

Nhom 2

Bài tập 6 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a)(*) © I—sinÊx + sinx + ï = 0 © sinˆx — sinx —2 = 0

© sinx = —I hoge sinx =2 > 1(loai) <> x=- 4 + k2n, k eZ, "

b) (*) © 2cosx ~2(2cos?x —1) = © 4cos”x -2cosx ~ ] = 0

1-45

COSX = —

+5

1 cosx = ——— = cos

(C9) © 2 (cos6x + cos4x) = 2 (cos6x +cos2x)+4—3 ——

<> cos4x = 4cos2x +5 ©> 2cos?2x — l = 4cos2x + 5

<> 2cos” 2x — 4cos2x ~6 =0 <> cos2x = -1 hoặc cos2x =3>1

ox= Stk kez

`

30

g) (*) © cos3x + cosx = 1+ cos2x + cos3x <> cosx = 2cos2x

h)(*) © sin3x +! —2sinˆx = sin3x +sinx-2 = 2sinˆx +sinx —3 = 0

© sinx =1 hoặc sinx = ~> < -1 logi) ¢9 x=" +k2n,k &Z

k) (*) <> 2(cos? 2x — sin? 2) 1+ 2cos? 4x ~ — cos4x = 0

©2cos4x +2cos” 4x —1— cos4x = 0 = 2cos* 4x +cos4x — =0

<> cos4x = -1 hoặc cos4x == = cost

4x = + k2m xe ;

1 4x ot 4 kon? 3 x= +đ—+— x kn °K EZ

- 12 2 Bài tập 7 Quy ước gọi phương trình da cho 1a (*)

a) (*) <> 2cos2x + 1+ cosx —10co “(§-x}- a 7205 -x]

©>4(1— 2sin?x) + l+ cosx —20sinx — 17 = cosx °

© 8sinˆx + 20sinx + 12 =0 >sinx =—l © x= =5 +k2x,keZ

-đ)Œ®)© 1— 2 sẺ2x = ~ su2x ©3sin?2x +sin2x—~4=0

<>sin2x =1 hoặc sìn2x = _ <~1(loại) ©x = 7+ ke, keZ

VT =a" + bt =(@? + b?)? - 20°b? =[(a +b)? - 2b]

=(I—2ab)? —2a”b” =2a”b” ~ 4ab + I

=glsinxeosx} f- (2sinxcosx)’ 4+1= sin" 2x —sin?2x +1

eo oust = “Leo x= 4 keZ,

Bài tập 8 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a) Điều kiện:sin2x z O0 © cos2x z +1

(*) <> (1 —cos? 2x) + 4(1 — cos2x) — l 1— 3cos2x =0

<> 3c0s’ 2x + 7cos2x +4=00 cosax =~ (loai) _ 4

_ Vậy phương trình (*) v6 nghiém.: |

b) Didu kiện:sin2x # —1cox#—-4+ka, keZ

(*)<©sin2x +32cosx + 2(1T— cos?x) ~3 =l+ sin2x

co 2oos'x —Weosx +2= 02 cost ="? hoặc cosx = V2 >I (loai)

x= tk _

x= 4 + k2z (loại)

) Dida kiga: #7 +kx, k eZ

(#) <> sinx +2 = 2008’x = 2(1—sin?x) <> 2sin?x + sinx = 0

sion = —> = inf -©) le koma 2 6 5 | + kon |

- _d) Điều kiện :sin2x # 0 <> cos2x ¥ +1

32

cosx sinx cos4x 2 2

Œ#)©——- =— >> C0SˆX~§in“x = cos4x

sinX COSX SỈnXCOSX

© cos2x = 2cos” 2x-l© 2cos?2x ~ cos2x — l = 0

| © cos2x = | (loai) hoặc cos2x = TP cos 1.2 Ox= + +ka,k € Z |

e) Điều kiện: sin4x z 0 c> JSIn2x #0 cos2x #0

(*) => 1 + 1 1

S 2sinxcos2x R cost = ;

COSX sin2x ~ sindx cos2x

<> 2sinxcos2x = 2sin?x <> 1 —2sin?x = sinx (do sinx + 0 ¬

sinx = —l (loại do cosx # 0)

g) Điều kiện : cot2x # cos2x và sin2x z 0 <> x # ` keZ

(*) ©> cò$2x + 3cot2x + sin4x = 2cot2x —2cos2x

h) Điều kiện: sin2x z 0: |

Do đó: (*) © cosx = 1 hoặc cosx = 0 (loại) <> x = k2n,k €Z

- j) Điều kiện -x] n= + x)* 0 cos = -s| cos| = + x| #0 NG) ay 4 4)

2: & 6 ẹ 714 :

xX#—*+kR J12 -

me Ta có: VT = 5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x +sin3x)

1+2sin2x _ 5(sinx + COSX — Cos3x + cos3x + sin3x)

= 5cosx _ i+ 2sin2x

(YS 5cosx = 2cos7x “14 3© 2eos? x ~Seosx +2 =0> COSX =;

x=+ kom ke Vixe(O; 2m) x= Fix ae,

34

T

Bai tap 9 in " -

Thế sin“x + cos*x = 1 =< sin? 2x, cosax = =]-2sin? 2x vào œ® ta được

phương trình: 3sin?2x — 2sin2x =m + 3 ()

Đặt t =sin2x, xe|b ;| = te[0; 1}; a

Phương trình (1) có thể viết lại 3t? —2t =m +3 (2)

(*) ít nhất một có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) ít nhất một nghiệm

(*) có nghiệm khi và chỉ khi phương tinh 2=”!

t=0 không là nghiệm của (1), nên (1) e9 =a

Bai tap 13 (1) <> sinx(2cosx — 4) =0.< sinx =0

: sinx =0

(2)©3sin?x+(1—a)sinx=0 ©| “ a-l sinx = ——

| (1) và (2) tương đương = [fis a-l vì nx=0 ¬ =0

Ja~-l 1 a— 1 i? a>4

3 viv 3 ~ a<~2 Bài tập 14

axe ain =>te[0; 1] ® 0 i

«Dua vao bang bién thién thấy <m < = thi (*) cénghiém x € E an

(*) <> sin(2x — 2m) —sin(3x ~ 5a) = of’ -2m- x}

<> sin2x + sin3x = asinx © sinx(2cosx +3 —4sin?x — -a) =0

sinx =0

ˆ ©sinx[2cosx + 3— 4(1— cos2x)— a]= 0S, 2x +2cosx—= a

(*) có nghiệm x # kx, keZ khi va chi khi ar? +2t - 1= a (đặt t= COSX) CÓ

nghiệm te ( - =1; 1)

38

.- Xét hàm số g()= At? 42t ~1 trên khoảng ( ~1;1 ` sẽ

«Dựa vào bang bién thiên ta thấy -1<® <a<5 thì ®) có nghiệm x # + km, ke eZ

-_ Bài tập 17 Quy ước gọi phương trình đã cho là @

a) Diéu kiện: x #2 tkn, keZ,

c)(*) <> 2(2- cosx)(sinx — cosx) + sinˆx — cosˆx — 5 =0

<> (sinx —cosx)(4 —2C0§X + SinX + COSX) — 5 = Ô

<> (sinx — cosx)(sinx — cosx + 4) — 5 = 0

Đặtt = sinx — COSX = Pix _ =) It < 42

Chủ đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

sinX VA cosX

A KIEN THUC CAN NHG

Nhóm T1: Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinXvàcosX |

1 Dạng : asinX + bcosX =c (*) (a? + bŸ z0

.Kiểm tra: > = 2 +kn, ke Z hay X =x+ k2w, k €Z có phải là nghiệm

của (*) không, nếu phải thì ghỉ nhận

Nhóm 2: Sử dụng công thức biến đổi lượng giác thích hợp để đưa „

phương trình lượng giác cần giải về đạng nhóm 1

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

a) sinx — 43 3cosx =1 (1) _ b) Scosx + 3sinx =4/2 (2)

_ Giai 8) (1) có dang asinX + beosX = c vớia=l,b=-v3,c= 1,X= x

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x= 2 +k2n; x -2 +k2z2z,k eZ

b) (2) có dang asinX + beosX =c với a =3, b =5, c=4V2, X =x

Ta có:a” + bŸ =34, c° =32 Ta thấy:a” + bŸ > c” > (2) có nghiệm

Chia hái vế của @ cho Va? +b? = J34, ta dude:

Ví dụ 4 Tìm nghiệm của phương trình cos7?x — - /3sin7x =—J2° 2 (*)

Vậy nghiệm của phươn trình *)lä x==——;X=——;X= y nghiệ phương (*) ga 84 84

Ví dụ 5 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

-_ 8) SÏnX + mCOSX = 1—m (1)

_Giãi

a) Cách I Thay <= + ke, keZhay x= n+k2m, keZ vao (1).Ta có:

VT(1) = 0-— m =—m,nên (1) không có nghiệm x = x+ k2m, ke Z Sóc

_„ Nếu m <0 thì A' <0=(*) vô nghiệm — (1), vô nghiệm ˆ

‹ Nếu m =0 thì A'= 0= C9 có nghiệm kép t =t =—” =1

a

=0) cổ nghiệm =2 +kn hay x= 2 +kÐm,k€Z, ¿

‹ Nếu m >0 thì A' >0 =.(*) có nghiệm t =1— 2m hoặc t = 1+ 2m

=0) có nghiệm là x = 2arctan(1 + 22m )+k2a,keZ

42

Tóm lại:

‹ Nếu m <0 thì (1) vô nghiệm

„ Nếu m= =0 thì () có nghiệm x =a† k2x,kcZ

- Nếu m > 0 thi (1) có nghiệm là

X = 2arctan(1—J2m )+ kon, x= 2arctan(1 +^/2m )+ k2n, keZ

‹ Nếu m<0 thì A<0=>3Ÿ + bỶ <c? >(1) vô nghiệm

5ò Nếu m=0: Œ) SmElexr2 thêm k€ếc,

m = COSO, = sing, —==== = cosa

Ter Tes Tea

(*) © cos(x —@0) = cosơ © x= @ + + k2 hoặc x = =0-u+k2n,keZ

Voi m=>: Q)<o sink =1e9 x= 7 +k2m, keZ

Voim=—3: 2) cose =—1eox=a+k2a, k€Z,