Toán Nâng Cao Tự Luận và Trắc Nghiệm Lượng Giác 11 (NXB Đại Học Quốc Gia 2006) Lê Hồng Đức, 256 Trang

MỞ ĐẨUSự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm dã vù đung dược chứng minh từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới hời những nu điềm như tính khách quan, tính hao quát và tính kinh tể. Trong thời gian không xa, theo chù trươtìg của BGDĐT các trường dại học, cao dẳng và trung học chuyên nghiệp sè chuyển sang hình thức tuyển sinh hằng phương pháp trắc nghiệm. Và dể có dược thời gian chuẩn hi tốt nhất, cúc hủi kiềm tra kiên thức trong chương trình THCS và THPT cũng sẽ có phần trắc nghiệm dê các em học sinh làm quen. Tuy nhiên, việc hiên soạn cức câu hòi trắc nghiệm cần tuân thù một sô yêu cầu cơ hàn về mặt li luận sư phạm và ý nghĩa đích thực của các số liệu thống kê. Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết quà trắc nghiệm chắc chắn sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục cùa nước tư hời nhiều lí do, từ dó dẫn tới việc không đàm hào dược tính khái h quan trong việc dánh giá kết quả học tập cùa học sinh. Đê khắc phục nhược sỉ I A ||| ề • 1 líiti lì í 1 I f In ii I I) Itíii r11««Dựa trên tư tưởng này, Nhóm Cự Mồn (lưới sự phụ trách của Lê Hồng Đức xin trán trọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách:TOÁN NẰNG CAO Tự LUẬN. VÀ TRẮC NGHIỆM THPT Bộ sách này sè cung cấp cho hạn đọc một ngân hàng hài rập tự luận vù trắc nghiệm mồn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự cùa chương trình Toán PTTH hởi về hình thức hạn đọc sè nhận thấy rằng hộ sách này chính là những cuốn sách gidi hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (dược viết theo lớp 10,11,12) do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành. Cuốn LltyNC GI ẮC dược hiên soạn theo đúng thứ tự của chương trìnhLượng giác cấp PTTH và dược chia thành 2 chương:Chương ỉ: Hàm số lượng giác Chương II: Phương trình và hệ phương trình lượng giác Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót hài những hiểu hiết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận dưạ những ý kiến đóng góp quý háu cùa hạn dọc gần xa. Mọi ý kiến đỏng góp xih liên hệ tới: Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lẻ Hồng Đúc phụ trách SỐ nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Quận Tây H6 Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 hoác 0893046689 Email: cumonhn.vnn.vn hoặc lehongduc39vahoo.com.Hà Nội, ngày l tháng 5 năm 2006 NHÓM Cự MÔN LÊ HỔNG ĐỨC

Toán nâng cao

Tự LUẬN & TRẮC NGHIỆM

NHA XUÃT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC

TOÁN NÂNG CAO

T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

M Ở ĐẨU

Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm dã vù đung dược chứng minh

từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới hời những nu điềm như tính khách quan, tính hao quát và tính kinh tể.

Trong thời gian không xa, theo chù trươtìg của BGD&ĐT các trường dại học, cao dẳng và trung học chuyên nghiệp sè chuyển sang hình thức tuyển sinh hằng phương pháp trắc nghiệm Và d ể có dược thời gian chuẩn hi tốt nhất, cúc hủi kiềm tra kiên thức trong chương trình THCS và THPT cũng sẽ

có phần trắc nghiệm dê các em học sinh làm quen.

Tuy nhiên, việc hiên soạn cức câu hòi trắc nghiệm cần tuân thù một sô yêu cầu cơ hàn về mặt li luận sư phạm và ý nghĩa đích thực của các số liệu thống kê Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết quà trắc nghiệm chắc chắn sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục cùa nước tư hời nhiều lí do, từ dó dẫn tới việc không đàm hào dược tính khái h quan trong việc dánh giá kết quả học tập cùa học sinh Đê khắc phục nhược

sỉ I A/ /||| ề • 1* líit/i //lì ///í /1 /I f In//' ii I I) Itíii/ r/ 11««

Dựa trên tư tưởng này, Nhóm Cự Mồn (lưới sự phụ trách của Lê Hồng Đức xin trán trọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách:

TOÁN NẰNG CAO T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM THPT

Bộ sách này sè cung cấp cho hạn đọc một ngân hàng hài rập tự luận vù trắc nghiệm mồn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự cùa chương trình Toán PTTH hởi về hình thức hạn đọc sè nhận thấy rằng hộ sách này chính là

những cuốn sách gidi hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (dược viết theo lớp 10,11,12) do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành.

Cuốn LltyNC GI ẮC dược hiên soạn theo đúng thứ tự của chương trình Lượng giác cấp PTTH và dược chia thành 2 chương:

Chương ỉ: Hàm số lượng giác

Chương II: Phương trình và hệ phương trình lượng giác

Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót hài những hiểu hiết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận dưạ những ý kiến đóng góp quý háu cùa hạn dọc gần xa Mọi ý kiến đỏng góp xih liên hệ tới:

Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lẻ Hồng Đúc phụ trách

SỐ nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây H6 - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 hoác 0893046689

E-mail: cumon@hn.vnn.vn hoặc lehongduc39@vahoo.com

Hà Nội, ngày l tháng 5 năm 2006

NHÓM Cự MÔN - LÊ HỔNG ĐỨC

CHƯƠNG I

H À M S Ố l U Ợ N « G I Á C

CHỦ ĐỀ 1GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIẤC

I TỎM TẮT LÝ THUYẾT

1 s ử DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Dườìig tròn Ìượtìg giác là đường tròn định hướng có bán kính bằng 1, trên

đó có diêm A gọi là diêm gốc

hoành

1 rục noann tương ưng VƠI trục gia tri cua c<

Trục tung tương ứng với trục giá trị cùa sin

m in m e I: Mam so lương lilac

b cos(- x) = cosx d cotg(- x) = - cotgx

6 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG BÙ NHAU

a sin( 180° - a ) = sina c tg( 180° - a ) = - tga

b cos( 180" - a) = - cosa d cotg( 180° - a ) = - cotga

7 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CƯNG PHỤ NHAU

Bái tập 4: Xác

p T ự LUẬN

:ủ

TRẮC NGHIỆM thức:

sin a - )/cot g 2 a - cos2 a

□ A = sina a A = cos2a □ A = tga □ A = cotg2a

b B = J Õ + tga).cos2 a + (l + cot ga).sin2 a , với a € (0, —).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng hệ thức cơ bản và các hộ quả để thực hiộn các phép biến đổi tương dương Khi dơ ta lựa chọn theo các hướng sau:

Hư(VHỊ 1: Biến dôi VT thành v p hoặc ngược lại, trong trường hợp này

thông thường ta lưa chon viêc biến đổi vế phúc tap về vế dơn giản

Dợnnỉ 2: Già sử biết sina, ta xét hai trường

' T ' « I t V T a ' / M I — - V - / \ ■ A ề

Trường hợp 2: Nếu 9Ơ’ < a £ 18Ơ\ thì cosa, tga, cotga <, 0 do đó:

sin2a + cos2a = 1 o cosa = - v l - s i n 2 a ,

tga = — -— , cotga = ——— hoặc cotga = ——

Trường hợp 2: Nếu tga < 0 <=> 9Ơ' < a < 18ơ\ thì cosa, tga

Dạng 4: Giả sử biết cotga, tương tự dạng 3

Dạng 5: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lượng giác, cẩn tính giá trị

của các hàm số lượng giác của một góc a , ta lựa chọn một trong các hướng sau:

Hướng 1 : Biến đổi biểu thức lượng giác vẻ dạng chi chứa một

rhươm: I: Hàm sQỊ Ịựợniíiiiác

b Tính giá trị cùa biểu thức G = sin4a + cos2a

4 □ O i l 16 □ G =Bài tập 31: Biết sina - cosa = V2 , với — < a < TC

a Tính cosa, sina, tga, cotga

□ sina = y¡2 , cosa = o và tga = y¡2 , cotga = —

a a.sina + b.cosa = o, với a2 + b2 * 0.

b ( 1 + —-— )sina + ( 1 + —-— )cosa = 2 + V2

c 5sina - 20cosa = 4(tga - 4)

% d 49 - 50sina.cosa = 12(tga + cotga), với o < a < 90°.

14

= (cosa + sina)cosa + (sina + cosa)sina

= (cosa + sina)(sina + cosa) = (1 + tga)cosa( 1 + cotga):;ina

1 - c o s a 2 co sa + 2 cos2 a _ 1 - c o s a 2(1 + cos a ) cos ox

2(1 - c o s 2 a ) c o s a 2 sin2a c o s a - ,

= - r~r~_ -= - ~~r~ - = 2cotga, dpcm.

18

Bài tập 18.

sin' a + cos' a _ (sin a + cosaX sin2 a + cos2 a - sin a cos a )

= 1 - sina.cosa, dpcm

Chưưni! I: Ham M> lư<>m; tute

Bài tập 20 Ta có:

sin2 atg2a _ eos2 a

a2 + b2 + c2 = sin2ot + cos2a.sin2p + cos2ot.cos2p

= sin2a + cos2a(sin2p + cos2p) = sin2a + cos2a = 1, đpcir

b Tổng quát hoá cho n sô at, a2 a„ như sau:

2 0

+ ( - sin4a - sin2a.cos2a)(sin4a + sin2a.cos2a + 2cos4a )

= cos2a(sin2a + cos2a)[2sin4a + (sin2a + cos2a)cos2a]

sin2a(sin2a + cos2a)[(sin2a + cos2a)sin2a + 2cos4a]

= - cos2a(2sin4a + cos’a) - sin2a(sin2a + 2cos4a ) cos4a - sin4a - 2cos2a.sin4a - 2sin2a.cos4a

b Ta lúa chon mót trong hai cách sau:

Cách /: Tán dune két ouá troné a), ta dude:

«rsin a = b cos a o a sin a = b (1 - sin et) <=> (a + b )sin a = b

I b Isina = ■7 ==• => cosa

O (5cosa - 4)(sina - 4cosa) = 0 <=>

* Với 5cosa - 4 = 0, suy ra:

5 co sa - 4 = 0 sin a - 4 cos a = 0

cosa = — => sina = — va tga = —, cotga = —

Chturni: |: Hàm sỏ lư«nt: lĩiác

/ Oü" lAd Sin 36

f ' /aaIi oro\ * ^)>II (cos30 "f COS JU ) I!

[sip(90 - 3 6 ) -h cos 36 ].tg36 cos 36 _ J

sin 36" + cos(90" - 36") ” sin 36" + sin 36"

Bài tập 40.

a Ta biến đổi:

A = sinfta + cosfia - 2sin4a - cos4ot + sin2a

= (cos20" - cos20") + (cos40" - cos40") +

+ (cos60° - COSÓO") + (cos80" - cos80") - 1

c Bạn CÍỌ( tự law - Bằng việc xét sáu trường hợp cho k, cụ thể:

k = 61, k = 61 + l, k = 61 + 2, k = 61 + 3, k = 61 + 4, k = 61 + 5, 1 £ z.Thí dụ:

■ Với k = 61.1 e z , ta được:

c = sin(—+ 21n).tg(—+ 31n) = sin—.tg~ = —

■ Với k = 61 + 1, 1e Z, ta dươc:

Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn

Q a c a t L m m iú Iu<»nc tiầi

2.2 Hàm s ố y = c o s x

Ta có:

■ Hàm số y = cosx là hàm số chẩn trên R

• Hàm sô' y = cosx tuẩn hoàn với chu kỳ 2iz.

Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị hàm số y = cosx trên R ta chi cẩn khảo sát và vẽ dồ thị hàm số trên doạn [0 ,7t], sau dó lấy dối xứng dớ thịqua trục Oy, ta dược đồ thị trên đoạn [ - 71,7C], cuối cùng tịnh tiến dỏ thị vừathu được sang trái và sang phải theo trục hoành những doạn có dó dài 2tc, 4x, Xét hàm sô' y = cosx trên [0, Tl]

Chiều biến thiên: Dựa vào dường tròn lượng giác ta dược:

[Bài toán 1: Tập xác định cùa hàm số lượng giác

Chuttnc I: Hàm sû ham* giác

Bước 1 : Già sử có sô' T sao cho 0 < T < T„ thoả mãn tính chất (2):

Vx€D, f(x + T) = f(x) o

=> mâu thuản với giả thiết 0 < T < T„

Bước 2: Mâu thuẫn này chứng tỏ T„ là số dương nhỏ nhất thoả mãn (2).

B ư ớ c Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kỳ cơ sờ T„.

3 Xét tính tuần hoàn của các hàm sổ' lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quá:

a Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kỳ 2n.

Mở rộng: Hàm sỏ' y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a * 0 tuần

hoàn với chu kỳ —

a

b Hàm sô' y = tgx và y = cotgx, tuần hoàn với chu kỳ n.

qmơm» I: Hàm aS lư»mc ttiáụ

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 10: Xét tính chán, lẻ của các hàm số sau:

2cos2x = 1 + cos2x, 4cos'x = cos3x + 3cosx,

16cos4x = 4(1 + cos2x)2 = 4 + 8cos2x + 4cos22x

= 4 + 8cos2x + 2(1+ cos4x) = 6 + 8cos2x + 2cos4x

Từ đó, hàm số được viếl lại dưới dạng:

f(x) = 1 + cos2x + cos3x + 3cosx + 6 + 8cos2x + 2cos4x

= 7 +'3cosx + 9cos2x + cos3x + 2cos4x

f(x + T) =f(x)

o AcosX(x + T) + RsinX(x + T) = AcosXx + BsinXx

A[cosXx cosXT - sinXx.sinXT] +

+ B[sinXx cosXT - cosXx.sinXT] = AcosXx + BsinXx

2k n

o cos XT = 1 o XT = 2kn <=> T = - 7—, k G z.

sin(-x) + tg(-x) sinx + tgx Vậy f(x) là hàm số chẩn.

b Hàm sổ xác định trên D = R là tập đối xứng

4 4

Ta có, hàm sô' y = cosx

Nghịch biến trên khoảng

khoảng

( 0 ,1C)

Bài lập 15 Bạn dọc tự 'ỳdi.

Bài tâp 16 Bạn dọt t ụ giai.

a cosl02° < sin 111° b C O S 4 7 " < sin46"

Bài tập 22 So sánh các cặp sô sau:

a tgl33° < tgl45" c tg46" > cotg47°

Phưtinn I: Hàm sỏ' lưitm! ttiik

b cotg41,) < cotg33°23\

b cos(x - y) = cosx.cosy + sinx.siny

c sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

f tg(x - y) = ,8X- tgy

d sin(x - y) = sinx.cosy - cosx.siny 1 + tgx.tgy

n PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VA BÀI TẬP Bai toán 1: Biến đổi biểu thức lươngVgiác thành tổng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng các công thức lượng giác

BÀI TẬP T ự LUẬN Bài tập I: Biến dổi các biểu thức sau thành tổng:

Bài tập 4: Biến đổi các biểu,thức sau thành tích:

a A = 2sin1a - cos2a + cosa

+ b B = 3(cotga - cosa) - 5(tga - sina) - 2

+ c c = 9sina + ócosa - 3sin2a + cos2a - 8

Bài tập 5: Biên dổi các biểu thức sau thành tích:

■V* a A = 2sin2a - cos2a - 7sina - 2cosa + 4

b B = 1 - cosax - cos2bx + cosỊa + 2b)xỊ

4 9

Bài toán 7: Chứng minh bất dẳng thức lượng giác.

Muồ'n chứng minh một bất đảng thức lượng giác, ta sử dụng các công cụ:

1 Các công thức lượng giác để biến dổi bất đảng thức lượng giác

2 Tính chất của các hàm số lượng giác

ì ( ’ á r h â ì H ẳno thilrr Hai «(S’ v à tín h rhaít tam ihtìrr h í r h a i

a cos(sinx) > sin(cosx), với X G

cos(sinx) > sin(cosx), với mọi X.

^nucmi! i: nam NO Iưanii mai

Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thúc (hàm số) lượng giác

PHƯƠNG PHÁP CHƯNG

Sử dụng:

1 Tính bị chận của các hàm số lượng giác cơ bản:

sinx I <, 1 và 0 ^ sin2"x <, 1, với n nguyên dương,

cosx I < 1 và 0 ^ cos2nx £ 1, với n nguyên dương

2 Tính chất của tam thức bậc hai:

ax2 + bx + c < - — , với a < 0

4a 'ax2 + bx + c £ - — , với a > 0

A = 2sin1a - 1 + 2sin2a + cosa = 2(sina + 1 )sin2a + cosa - 1 3= c

= 2(sina + 1)(1 - cos2a) + cosa - 1

= (1 - cosa)[2(sina + 1)(1 + cosa) - 1]

= (1 - cosa)[l + 2sina.cosa + 2(sina + cosa)]

= (1 - cosa)[(sina + cosa)2 + 2(sina + cosa)]

= ( 1 - cosa)(sina + cosa)(sina + cosa + 2)

b Biến dổi biểu thức vẻ dạng:

B = 3(cotga - cosa + 1) - 5(tga - sina + 1)

c Biến dổi biểu thức vẻ dạng:

c = 9sina - 9 + ócosa - ósina.cosa + cos2a + 1

= 9(sina - 1) - 6cosa(sina - 1) + 2cos2a

= 9(sina - 1) - 6cosa(sina - 1) - 2(sin2a - 1)

= (sina - l)(9 - ócosa - 2sina - 2) = (sina - 1)(7 - ócosa - ¿sina)

6 2

Hai tập 5.

a Biến đổi biểu thức vể dạng:

A = 2sin2a - cos2a - 7sina + 2cosa + 4

A = 4sina.cosa - 2cosa - 1 + 2sin2a - 7sina + 4

= 4sina.cosa - 2cosa + 2sin2a - 7sina + 3 •

= 2cosa(2sina - 1) + (2sina - 1 )(sina - 3)

= (2sina - l)(2cosa + sina - 3)

b • Biến đổi biểu thức về dạng:

B = (1 - cosax) + [cos(a + 2b)x - cos2bx]

= 2sĩn - 2 s in ( — +2b)x.sin— =2[sin— -sin (— +2b)x].sin —

Biến đổi biểu thức dạng:

B = cos*a + sin a + (cos a + sin a)sina.cosa

.cosa Ba(cosa + sina) - (cosa

-= cos*a + sin7a + cos4a.sina

(cosa + sina) cosa + sina)

C.cosa = 2(1 - 4sin2a)sin3a.cosa - cosa

= 2sin3a.(4cos2a - 3).cosa - cosa ,= 2sin3a.(4cos1a - 3cosa) - oosa

l + c o s 2 x _ _ 2cos2 X sinx 2cosx.sinx

A = - ———*gx= — —— ■ - = -

b Ta biến đổi:

sin2xcos2x =lị2x.

B = cos8x.cotg4x - -— -= co s8 x - - ——

= (cos8x- 1) ——— = -2sin4x.——— cos4x _ cos4x

sin4x ■ sin4x = -2 sin4x.cos4x = - án8x.

6 4

c Ta biến đôi biểu thức về dạng:

c = —(1 +cos2a) + —(1 + cos4a) + + —(1 + cos2na)

Qstaạg Hùm tủ Imqittiáýv

Trường hợp 2: Nếu a * krr, k € z thì ta đi tính t Sng T = cos2a + cos4a + 4co2na bằng cách nhân cả hai vế của biểu thức với 2sina, ta dược:

2T.sina = 2cos2a.sina + 2cos4a.sina + + 2cos2na.sina

= sin3a - sina + sin5a - sin3a + + sin(2n + 1 )a - sin(2i - 1 )a

= sin(2n + l)a - sina = 2cos(n + Da.sinna cos(n + l)a.sin na

d Ta lựa chọn mốt trong hai cách sau:

Cách ỉ: Ta biến dổi biểu thức vẻ dạng:

biốu thức với 2cosa + 1, ta được:

B(2cosa + 1) = (2cosa + 1 )(2cosa - 1 )(2cos2a - 1) (2cos2n “ 'a - 1)

Bli tậ p 16 Ta biến đổi:

A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a)

= 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa

= 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a)

• D ê biểu thức không phụ thuộc vào X điều kiện là:

%cos3a + cosa = 0 <=> cos3a = cos(7t - a) = 0

(1) o cos7x = 0 o cos(6x + x) = 0 <=> cosóx.cosx - sinóx.sinx = 0

<=> (4cos’2x - 3cos2x)cosx - 2sin3x.cos3x.sinx = 0

[ 4 ( 2 c o s 2 x - l)1 3(2cos2x l)]cosx

2(3sinx 4siníx).(4cos'x 3cosx)sinx

<=> (64cos6x - 112cos4x + 56cos2x - 7)cosx = 0

571

1 4

= 0

l)(8cos

h 4cos*x

T i r Act i h p n «tinh l í Vi<>l fQ Atrrtc

- 1 = 0

1 1 ,

VP SS — ( i + cos2x) + — (1 + cos2y) - sin (x + y)

= — (cos2x + cos2y) + 1 - sin^x + y) = cos(x + y).cos(x - y) + cos2(x + y)

2

= (cos(x + y) + cos(x - y)]cos(x + y) = 2cosx.cosy.cos(x +*y), dpcrn

a Ta có:

VT = sin2x.(sinx + cosx) + cos2x.(cosx + sinx)

= (sin2x + cos2x)(cosx + sinx) = sinx + cosx, đpcm

Ta có:

sin(x + y + z) = sin(x + y).cosz + cos(x + y).sinz

= sinx.cosy.cosz + siny.cosx.cosz + cosx.cosy.sinz - sinx.siny.sinz sin(x + y + z)

c=> - í - = tgX + tgy + tgz - tgx.tgy.tgz

eos x eos y.eos z

sin(x + y + z)

<=> tgx + tgy + tgz = tgx.tgy.tgz + - -, apem

eos x eos y eos zTacó:

3 J L + cot- 8 x_ = (i + cotg2x)tg x + (1 + tg2x)cotg'x

Chu.mu I: Hàm M? linmn tiiác

Trong đoạn [0, — ] , 1 im số cosx nghịch biến, do đó từ (1) ta đưọc:

cos(sinx) > cos( -cosx) o cos(sinx) > sin(cosx), đpcm

Mạt khác vì X e [0, rc] nôn y > 0, do dó diéu kiện thu được là 0 < y <

• y m i l , = 0 đạt dược khi:

v r

Chmnui L Hăm sỏ Iwnit giác

l - t 2

o ysinx + (y - 2k)cosx = k + 1 - 2y Phương trình (1) có nghiệm

1 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN

■ a2 = b2 + c2 - 2bccosA

■ b2 = a2 + c2 - 2accosB

■ c2 = a2 + b2 - 2abcosC

sin A sin B sin c

trong đó R là bán kính dường tròn ngoại tiếp AABC

« n i x i u I V IM TDITMr1 TITvếkl