Gọi M là giao điểm thứ hai khác C của hai đường tròn BCE và CDF.. Chứng minh rằng trong 100 điểm vừa lấy, có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1cm... - Điểm
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
[*****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05câu, 01 trang)
Bài 1: (2,0 điểm)
10
P
x
−
1) Rút gọn P;
2) Tính giá trị của P khi 4 3 2 2 4 3 2 2
3 2 2 3 2 2
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 2 2 2 53;
2) Giải hệ phương trình:
2 2 11
3 4 2
x xy y
+ + = +
Bài 3: (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho biểu thức:
2 + 4 − +n 2 − 4 −n có giá trị nguyên
2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
Bài 4: (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có tia AB cắt tia DC tại E và tia
AD cắt tia BC tại F Gọi M là giao điểm thứ hai (khác C) của hai đường tròn (BCE) và (CDF) Chứng minh rằng:
1) Ba điểm E, M, F thẳng hàng;
2) M thuộc đường tròn (ADE);
3) OM vuông góc với EF
Bài 5: (1,0 điểm) Bên trong một hình vuông có cạnh bằng 8cm, lấy 100 điểm bất kì Chứng
minh rằng trong 100 điểm vừa lấy, có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1cm
-Hết
Trang 2-MÃ KÍ HIỆU
[*****]
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 – Năm học 2015-2016
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 01 trang)
Chú ý:
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm bài thi là tổng số điểm của toàn bài
1
(2,0 điểm)
1.1 (1,0 điểm)
Đặt x− =1 a a( ≥0) thì
2
2( 1 2)
P
x P
x
+
−
⇒ = −
1.2 (1,0 điểm)
4 (3 2 2) 4(3 2 2) 2 1 2 1 2
Thay x = 2(TMĐK) vào P ta được P = 1
2
2
(2,0 điểm) 2.1 (1,0 điểm)Ta thấy x2 + x + 1 và x2 – x + 1 luôn dương và x = 0 không phải là
nghiệm của PT đã cho Do đó, đặt t = x + 1
x
0,5 điểm
2
5t 3t 14 0(§ K : t 1)
t 1 t 1 3 2
5
t
t
=
= −
2.2 (1,0 điểm)
Đặt x + y = S, xy = P, HPT đã cho trở thành
2 2 11 2 2 17 8 2 0 (1)
PT(1) có ∆’= 2(2 2 1) + 2, PT có nghiệm S1= +3 2;S2 = − −5 2 0,5 điểm Thay vào (2) ta tìm được P =3 2;P =8+5 21 2
x,y là nghiệm của PT: t2 – S1t +P1 = 0 và t2 – S2t + P2 = 0
Trang 3Bài Đáp án Điểm
Vậy HPT có các nghiệm (x;y) là ( 2 ;3) và (3; 2)
0,5 điểm
3.1 (1,0 điểm)
ĐK: 0 625
4
n
≤ ≤
Đặt x= 25+ 625-n + 25- 625-n
Ta tính được: 2 25 2 25 2.25 50
2
Hiển nhiên x2 ≥ 25 và số chính phương nên x2 = 25 +2 n nhận được các
giá trị 25; 36; 49 Tương ứng, ta được các giá trị của n và xác định các giá
trị cần tìm là n = 0 và n = 144
0,5 điểm
3.2 (1,0 điểm)
Đặt b + c – a = 2x; c + a – b = 2y; a + b – c = 2z (ĐK: x, y, z > 0)
Ta có: 2a = (c + a – b)+(a + b – c) = 2y + 2z
⇒ a = y + z, tương tự: b = z + x, c = x + y
Do đó BĐT trên tương đương với
Với a, b là các số thực dương tùy ý, áp dụng BĐT Cosi cho hai số
dương, ta được
+) a + b ≥ 2 ab ⇒ 2(a + b) ≥( )2 a+b a + b
a + b Þ ³
+) a + b + =2+ + =2+ ³2+2=4
a b a + b
Trong cả 2 BĐT trên dấu “=” xảy ra khi a = b 0,5 điểm
Trang 4Bài Đáp án Điểm
Áp dụng ta được
Mà
= + ÷+ + ÷÷+ + ÷÷
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z ⇔ a = b= c 0,5 điểm
4
(3,0 điểm)
O M
F
E
D
C
B
A
4.1 (1,0 điểm)
ABCD; BCEM; CDFM là các tứ giác nội tiếp
Do đó, CME=ABF=CDF;CMF+CDF=180· · · · · 0 0,5 điểm
Trang 5Bài Đáp án Điểm
CME+CMF 180
4.2 (1,0 điểm)
Chứng minh tứ giác ADEM là tứ giác nội tiếp ⇒ đpcm 1,0 điểm
4.3 (1,0 điểm)
Có AMF=ADE=CMF(1)· · ·
Vì AOC=2ADC· · nên
AOC+AMC=ADC+ADC+AMC=AMF+CME+AMC=180
⇒ AOCM là tứ giác nội tiếp
Mà OA = OC nên AMO=OMC(2)· ·
5
(1,0 điểm)
Ai
D
C B
A
P N
Q M
Gọi ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8cm
Giả sử 100 điểm được vẽ bên trong hình vuông ABCD là A1, A2, … A100 Dựng 100 đường tròn có tâm Ai có cùng bán kính bằng 1cm, kí hiệu mỗi đường tròn là (Ai) (i = 1, 2, 100)
Tổng diện tích của 100 đường tròn vừa vẽ là 100πcm2
Vẽ hình vuông MNPQ có cùng tâm với hình vuông ABCD (như hình vẽ), có MN // AB và MN = 10cm
Khi đó tất cả các đường tròn đã vẽ ở trên đều nằm bên trong hình vuông MNPQ và hình vuông MNPQ có diện tích bằng S1 = 100cm2
Do π > 3 nên S > 3S1, suy ra tồn tại điểm O là điểm trong của ít nhất
4 đường tròn trong số các đường tròn (Ai) Giả sử 4 đường tròn này
là (A1), (A2), (A3), (A4)
Khi đó 4 điểm A1, A2, A3, A4 sẽ nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính bằng 1cm
1,0 điểm