Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC.. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP cắt các tia CA,CB theo thứ tự tại M và N.Chứng minh: a/ Điểm M nằm giữa hai điểm C và A.. - Điểm bài thi là
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
[*****]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 - Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề thi gồm 05 bài, 01 trang)
Bài 1: (2.0 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức:
b/ Giải phương trình:
2
3 2
1
x
x x
− −
Bài 2: (2.0 điểm)
a/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+ + =bx c 0(a≠0)có một nghiệm gấp k lần nghiệm kia là kb2− +(k 1)2ac=0(k ≠0)
b/ Giải hệ phương trình:
2 2
4 8 2
xy x
= +
Bài 3: (2.0 điểm)
a/ Tìm số tự nhiên A, biết rằng trong ba mệnh đề sau đây có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai:
1) A + 9 là số chính phương
2) Chữ số tận cùng của A là chữ số 3
3) A – 80 là số chính phương b/ Chứng minh rằng:
a + + + b c d + ≥ e a b c d e + + + ∀ a b c d e , , , ,
Bài 4: (3.0 điểm) Cho ∆ABC Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Đường thẳng qua P
và vuông góc với CP cắt các tia CA,CB theo thứ tự tại M và N.Chứng minh:
a/ Điểm M nằm giữa hai điểm C và A
b/
2
AM AP
BN BP
= ÷ c/
2
1
AC + BC + AC BC =
Bài 5: (1.0 điểm) Từ 12 học sinh 7 nam và 5 nữ, giáo viên chọn 3 em đi tham quan,trong
đó có ít nhất 1 nam và 1 nữ Hỏi có mấy cách chọn?
Trang 2
-Hết -MÃ KÍ HIỆU
[*****]
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Chú ý :
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm bài thi là tổng điểm các phần học sinh đạt được
1
( 2 điểm)
a (1 điểm)
+Ta có
3 1 2
+
=
+
3 1 2
−
=
−
→ VT =
+
0,5 điểm
=
+ + −
b (1 điểm)
+ĐKXĐ : 0≤ ≤x 1 và
1 2
x≠ Khử mẫu ở vế trái ta có
2
3 2
(1 )
x x
− −
0,25 điểm
2
3 2
x x x
−
2
3( x 1 x) 3 2 x x
0,25 điểm
Đặt x+ 1−x = t với t > 0
→ 2 x x− 2 = −t2 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
2
t≤ vậy 0< ≤t 2 Khi đó pt (*) trở thành t2− + =3t 2 0 ↔ t = 1 (t/m) hoặc t = 2 (loại)
0,25 điểm
Với t = 1 ta có x+ 1−x = 1 ↔ 2 x x( − =1) 0
0,25 điểm
Trang 3↔x = 0 (t/m ) hoặc x = 1 (t/m)
Vậy pt có 2 nghiệm là x = 0 ; x = 1
2
(2 điểm)
a (1 điểm)
+ Ta có 1 2
b
x x
a
+ = −
và 1. 2
c
x x
a
=
0,25 điểm
x −kx x −kx =x x k+ −k x +x
=
2
( 1)
c b ac k kb kb ac k
k k
Nếu (x1−kx2) (x2−kx1)=0 hay x1=kx2 hoặc x2 =kx1
Nếu kb2− +(k 1)2ac=0
thì (x1−kx2) (x2−kx1)=0 hay x1=kx2 hoặc x2 =kx1 0,25 điểm
b (1 điểm)
(I)
2 2
4 8 (1)
2 (2)
xy x
= +
+ Từ (2) có xy= +2 x2 ≥ ⇒2 xy≠0 và
2
2 x y
x
+
=
+ Thay (*) vào (1) có
2 2
x
x
+
− = − ÷ ≥
+x= 2→ =y 2 2
+x= − 2→ = −y 2 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 2; 2 2 ;) (− 2; 2 2− ) 0,25 điểm
3
(2 điểm)
a (1 điểm)
+ Nếu mệnh đề 2) đúng thì từ 1) ta có A + 9 có chữ số tận cùng là 2
và từ 3) ta có A – 80 có chữ số tận cùng là 3
Mà một số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3
Như vậy nếu 2) đúng thì 1) và 3) đều sai, trái với giả thiết
Vậy mệnh đề 2) sai và mệnh đề 1) , mệnh đề 3) đúng
0,25 điểm
+Đặt A + 9 = m2 và A – 80 = n2 ( với m, n nguyên dương và m > n)
Trang 4Do m + n và m – n là hai số nguyên dương đồng thời m + n > m – n và
89 là số nguyên tố, nên ta có:
89 1
m n
m n
+ =
− =
Giải hệ phương trình ta có m = 45
b (1 điểm)
+BĐT↔ f a( )=a2− + + +(b c d e a) +(b2+ +c2 d2+e2) 0≥
, , , ,
a b c d e
∀ ∀
0,5 điểm
Theo BĐT Bunhiacopski ta có
b c d e+ + + ≤ + + + b + +c d +e
Vậy ∆ ≤0 → f a( ) 0≥ ∀ ∀a b c d e, , , , →đpcm 0,5 điểm
4
(3 điểm)
Vẽ hình 0,25 đ
a (0,75 điểm)
Ta có
· 1800 µ µ
2
A C
>
0
2
Mà CPM· =900 →CPM· <CPA· → M nằm giữa A và C 0,5 điểm
b (1 điểm)
Ta có
C A B PMC= − = +
0,25 điểm
Xét ∆APM có góc ngoài
PMC= +APM →APM = = ABP 0,25 điểm
→∆ AMP ∆APB (g.g)
2
AM AP
AM AB AP
AP AB
0,25 điểm
CM tưng tự có →∆ PNB ∆APB (g.g)
2
BN AB BP
Chia từng vế của (1) cho (2) ta có đpcm
0,25 điểm
c (1 điểm)
AM PN
AM BN PM PN
PM BN
0,25 điểm
Vì PM = PN ; CM =CN →AM BN. =PM2 =CM2−CP2 0,25 điểm
Trang 52 2
AM BC AC BN CP AC BC
5
(1 điểm)
Có 2 khả năng trong việc chọn 3 em
* Chọn 1 nam , 2 nữ :
+ Có C17 =7cách chọn 1 nam trong 7 học sinh nam
+ Có C52=10cách chọn 2 nữ trong 5 học sinh nữ
Vậy có 7.10 = 70 cách chọn 1 nam , 2 nữ
0,5 điểm
* Chọn 2 nam , 1 nữ :
Tương tự có C C51 72 =105 cách chọn 2 nam , 1 nữ.
Vậy số cách chọn học sinh theo yêu cầu là : 70 + 105 = 175 cách
0,5 điểm