Chứng minh: AK.. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E.. Chứng minh P là trung điểm của ME.. Gọi M là giao điểm của đường thẳng BC với
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
[*****]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 - Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề thi gồm 05 câu, 01trang)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = +
−
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
3
2 2
3 6
9 : 9
3 1
x
x x
x x
x
x x
x x
1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1)
Câu 2: (2,0 điểm).
1) Cho biết phương trình x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b, phương trình
x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c
Chứng minh hê.thức: (b – c)(b – a) = pq – 6
2) Giải hệ phương trình:
+
= +
= +
) (
11
5 5 5
2 2
y x y
x
y x
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a2 +b2 + b2 +c2 + c2 +a2 = 2016
Chứng minh rằng:
6 7
2 2
2
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
2) Tìm các số có 4 chữ số abcd thỏa mãn:
−
=
= 10 3
252
cd cd
abcd
Câu 4: ( 3,0 điềm)
1)Từ một điểm A bên ngoài đường tròn tâm O kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn tại M và N, cát tuyến ABC (B nằm giữa A và C) Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K
a) Chứng minh: AK AI = AB AC
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng
MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME
2) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) ; A1, B1, C1 là các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh BC, AB, AC Gọi M là giao điểm của đường thẳng BC với B1C1 Chứng minh MO ⊥ AA1
Câu 5 : (1,0 điểm)
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10 x 10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kì hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai
ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có số được ghi
ít nhất 17 lần
Trang 2
-Hết -MÃ KÍ HIỆU
[*****]
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
1
1) Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9
−
−
−
− +
− +
−
−
−
−
3
2 2
3 2
3
9 :
9
3 1
x
x x
x x
x
x x
x x
= … =
x
−
2 3
1,0
2) .P ( x + 1 ) = − =− − + − +
+
2
5 2 3
2
) 1 ( 3
x
x x
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si chỉ ra Max[P.(x+1)] =−6 5−12
Chỉ ra dấu bằng x = ( )2
2
5+
0,5
0,5
2
1) Theo định lí Viet ta có :
=
−
=
+ 1
ab
p b a
;
=
−
=
+ 2
bc
q c b
=> (a + b)(b + c) = pq ⇔ ab + ac b2 + bc = pq
⇔b2 – bc – ab - + ac = pq – 2ab – 2bc
⇔(b – c)(b – a) = pq – 6
0,25 0,25 0,25 0,25
2) Ta có x5 + y5 = (x2 + y2(x3 + y3) – x2y2(x + y)
=> 5(x3 + y3) x2y2(x + y) = 11(x + y)
⇔(x + y) [5(x2 + y2) – 5xy – x2y2 – 11] = 0
+) với : x + y = 0 Tìm được : (x ; y) = − 2
10
; 2
10
; − 2
10
; 2 10
+) Với : 5(x2 + y2) – 5xy – x2y2 – 11 = 0, đặt xy = t
Ta đươc pt t2 + 5t – 14 = 0 ⇔t = 2 hoăc t = -7
-) t = 2 =>x x++ y y ==−33
Tìm được : (x ; y) = (1 ;2) ; (2 ; 1) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)
-) t = -7 thì x2 + y2 = 5 =>( x + y)2 = - 9 (loại)
Kl : Hệ dã cho có 6 nghiệm
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 31)Ta có : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2.
Suy ra
b a
c a c
b c
b
a
+
+ +
+ +
2 2
2
≥
) (
2 ) (
2 ) (
2 2
1 2
2
2
b a
c a
c
b c
b
a
+
+ +
+ + Đặt x = b2 + c2 y = bc2 +a2 z = a2 +b2 suy ra
VT ≥
2 2 2
2 2
2
2
−
+ +
−
+ +
−
+
z
y x y
y
x z x
x
z y
2 2
2 2
2
=
− +
+ +
− +
+ +
− +
z
y x y
y y
x z x
x x
z y
3 2 2
3 2 2
3 2 2
2
2
[ 2 ( y z ) 3 x 2 ( z x ) 3 y 2 ( x y ) 3 z ]
2
2
1
− + +
− + +
− +
≥
2 2
2016 )
( 2 2
1
=
= + +
0,25
0,25
0,25
0,25 2) Ta có : 3cd – 10 = cd = 10c + d ⇔ (3c – 1)(3d – 10) = 40
Vì abcd =252 nên a, b, c, d ≠ 0, do đó 3c – 1 > 2, 3d– 10 > 0
Ta có 3c – 1 + 1 = 3c, 3d – 10 + 1 = 3d – 9 là các số chia hết cho 3,
nên chỉ phân tích số 40 = 5.8 = 20.2
+)Nếu 3c – 1 = 5, 3d – 10 = 8 thì c =3, d = 6, khi đó a = 3,b = 7 hoặc a = 7,
b = 3
+) Nếu 3c – 1 = 8, 3d – 10 = 5 thi c = 3 , d = 5,khi đó ta có 3.5ab ≠252
+) Nếu 3c – 1 = 20, 3d – 10 = 2, ta có c = 7, d = 1 khi đó a = 1,b =9 ;
a=3 , b = 3 ; a = 9, b = 1’
+) nếu 3c – 1 = 2, 3d – 10 = 20 thì c = 1, d = 10 (L)
Vậy : Các số cần tìm là 3726, 7326, 1974, 3374, 9174
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 41)
B
a) Hai tam giác AHK và AIO đồng dạng => AK AI = AH AO
Tam giác AMO vuông tại M có MH⊥AO => AH AO = AM2
có AM2 = AB AC
=> AK AI = AB AC
b) Hai tam giác MEH và QMD đồng dạng (g- g)
=>ME DQ = MQ MH (1)
Hai tam giác MHQ và PHM đồng dạng (g – g)
=> MP HQ = MQ MH (2)
Từ (1) , (2) => ME DQ = MP HQ = MP 2DQ
=> ME = 2MP => P là trung điểm của ME
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 2)
C
O
A1
B1
C1
B
M
A
H
Gọi H là giao của AO và MC1 , có AO ⊥ B1C1 tại H
Ta có OH OA = B1O2 = A1O2 =>
OA
OA OA
1
= , A O ˆA1 chung
0,25
Trang 5=> Hai tam giác AOA1 và A1OH đồng dạng => O A ˆ1H = O A ˆ A1
Tứ giác MHOA1 nội tiếp => O A ˆ1H = O M ˆ H
=> O A ˆ A1 = O M ˆ H => OM ⊥ AA1
0,25 0,25 0,25
5 Trên mỗi hình vuông con kích thước 2 x 2 chỉ có không quá một số chia hết
cho 2, chỉ có không quá một số chia hết cho 3 lát kín bảng bởi 25 hình vuông
kích thước 2 x 2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất 25 số chia
hết cho 3 Do đó có ít nhất 50 số còn lai.không chia hết cho 2, cũng không
chia hết cho 3 vì vậy chúng phải là một trong các số 1, 5, 7 Theo nguyên lý
Dirichlet có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
1,0