Gọi H là trực tâm.. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác; I là trung điểm BC.. AI cắt OH tại G.. a, Chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC b, Tính: tan B.
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
*****
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 – Năm học 2015 – 2016
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 4 câu, 01 trang)
Bài 1: (3,0 điểm)
a, Cho A= 1 3 31 945 3 31 945
Tính: 2A3 + 2A2 - 1
b, Giải phương trình: x4 + x2 + 2016 2016 =
Bài 2: (3,0 điểm)
a, Giải hệ phương trình
b, Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Gọi H là trực tâm O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác; I là trung điểm BC AI cắt OH tại G
a, Chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC
b, Tính: tan B tan C khi OH // BC
Bài 4: (1,5 điểm)Cho (O) vẽ 2 dây AB và CD cắt nhau tại I Gọi M là trung điểm
BD, MI kéo dài cắt AC ở N
Chứng minh: AN AI22
NC = CI
HẾT
Trang 2-MÃ KÍ HIỆU
***** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015 – 2016
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
1
(3,0 điểm)
a, (1.5đ) Ta có 3 31 945 3 31 945
3 1
(31 945)(31 945)
31 945 31 945
A
0.25
0.5 0.25 0.25 0.25
b,(1.5đ)
2016 2016
2016 2015 2016 0(*)
Đặt x2 + 2016 = >y 0
2
2
y= +
Ta có:
2016
4 1
2 8061 2 2
x
+
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25 2
(3,0 điểm) a, (1.5đ)
2x 12 0(1)
+>Với y=0 hệ
3 2
0 12
x x
=
<=>
=
Trang 3+> Với y≠0 thay 12 8y= 2 +x2vào phương trình (1) ta có
2
( ) ( ) 2 8 0
2
x y
<=> = − (do ngoặc thứ 2 luôn dương)
2
<=> = − thay vào phương trình (2) ta được:
8y + 4y = 12 <=> 12y = 12 <=> = ±y 1
Có y 1 y 1 == − =>=> x 2 x 2= −= Vậy hệ có nghiệm 2; 2
0.25
0.25 0.25 0.25
b,(1.5đ) Có a,b,c nhỏ hơn nửa chu vi =>(a-1)(b-1)(c-1)<0
1 0
abc ab ac bc a b c
0(*)
abc ab ac bc a
<=> − − − + < (do a + b + c = 2)
Có a + b + c = 2 <=>a2 + + +b2 c2 2ab+ 2ac+ 2bc= 4
2
<=> − − − =
Thay vào (*) ta có:
4
2
2
abc
abc
+ + −
+ +
<=> + + + < (đpcm)
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 3
(2,5 điểm)
a,(1.5đ)
+> Vẽ đường kính AD Chứng minh: H ; I ; D thẳng hàng I là trung điểm HI
+>
2
AH
OI =
2
GA= AH = => G là trọng tâm ∆ ABC
Aaa a
B
H
D C O
G
Trang 4b, (1 điểm)
3
2
A 1
tan tan 3
∽
0.25 0.25 0.25
0.25 4:
(1,5 điểm)
2 2
D
IC IC IB IB IC
∽
+ >Có IAN
IBN
S IA
IB =S (chung đường cao hạ từ N->AB)
D
ICN
S I
=
= 2
D
IBN ICN
IA
+ > =
+ >Có M là trung điểm BD =>
D
D
NM NMB
IM IMB
=
−
=
S IND=S INB 2
2
IAN ICN
S
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
HẾT
-C
N
A
I
O
B
M
D