Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm O.. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.. Gọi M là
Trang 1MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015- 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 5 câu, 1 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức P = x x 3 2( x 3) x 3
−
1 Rút gọn P
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x
Câu 2 (2,0 điểm)
1 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
2 Giải hệ phương trình
3
3
8
2 3x
y 6
y
+ =
− =
Câu 3 (2,0 điểm)
1 Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên
2 Cho m, n là các số tự nhiên thoả mãn 6 m 0
n
Chứng minh rằng 6 m 1
n 2mn
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm
(O) Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm của cạnh BC, (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Đường tròn (C) cắt (O) tại hai điểm A, N (A≠N), Đường thẳng AM cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, K (K≠A)
1 Chứng minh rằng ba điểm N, H, M thẳng hàng
2 Chứng minh góc NDE = góc FDK
3 Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp
Câu 5 (1,0 điểm) Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn
vị) Đặt 22 đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau
Trang 2MÃ KÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015- 2016
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Chú ý:
- Thí sinh làm bài theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.
- Điểm bài thi: 10,0 điểm
1
(2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
P =x x 3x 8 x 24( x 1)( x 3)
x 8
x 1
+ +
0,75
2) (1,0 điểm) Với x 0, x 9≥ ≠ thì P= x 8
x 1
+
9
x 1
+
0,25
9
x 1
+
0,5 Vậy minP = 4⇔x = 4 (thỏa mãn đkxđ) 0,25
2
(2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
Ta có: x4 – 4x3 + 8x + m = 0 (1) ( )4 ( )2
x 1 6 x 1 m 5 0
0,25 Đặt y =( )2
x 1 ,(y 0)− ≥ Pt trở thành y2 −6y m 5 0+ + = (2) 0,25 Phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi
và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
0,25 0
s 0
p 0
∆ >
>
-5 < m < 3
0,25
2) (1,0 điểm)
3
3
8
2 3x
y 6
y
+ =
− =
(I) ĐKXĐ: y 0≠ , đặt t =2
y ≠0
hệ pt trở thành
3
3
t 3x 2 0
x 3t 2 0
0,25
Trừ vế với vế hai pt, đưa về pt tích, ta được (x t x− ) ( 2 + + + =xt t2 3) 0⇔ − =x t 0hoặc x 2 + + + = xt t 2 3 0
x t
⇔ = (do x2 + + + >xt t2 3 0)
0,25
Tìm được (x ; y) = (-1 ; -2) ; (2 ; 1) 0,5
Trang 3(2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
Vì n là số tự nhiên dương:
+ để 2n – 15 là số chính phương, dễ dàng chứng minh được n 4
≥ và nếu n lẻ thì 2n – 15 không là số chính phương
0,25
+ n chẵn đặt n = 2k (k N,k 2∈ ≥ ) khi đó 2n – 15 = a2(a N∈ *) ⇔(2k −a 2) ( k + =a) 15
0,25
⇒n = 4; 6 thỏa mãn đk
Vậy n = 4; 6 là các giá trị cần tìm
0,25 2) (1,0 điểm)
do(m,n N∈ *)
n 2mn
0,25
nếu 6n2 = m2 + 1 mà 6n2 chia hết cho 3 nên
m2 + 1 0(mod3)≡ , vô lý, vìm2 ≡0,1(mod3) vậy 6n2 ≥m2 +2 (1)
0,25
2
từ (1) và (2) suy ra
2 2 1
2m
6
n 2mn
(đpcm)
0,25
4
(3,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Các điểm A, E, H, F, N thuộc (C) ⇒HN ⊥NA, NH cắt đường tròn (O) tại Q suy ra => AQ là đường kính của (O)
0,25
+ Chứng minh tương tự ta suy ra: QB//HC (2) kết hợp với (1)
⇒BHCQ là hình bình hành
0,25
=> NH đi qua trung điểm M của BC, hay N, H, M thẳng hàng 0,25
Trang 4b) (1,0 điểm) + do ANDM và ABDE là các tứ giác nội tiếp nên
mà NDE∠ = ∠NDA+ ∠ADE⇒ ∠NDE= ∠NMA+ ∠ABE(3) + Chứng minh: FDK∠ = ∠ACF+ ∠NMA(4)
0,25
+ mà ABE∠ = ∠ACF(cùng phụ BAC∠ ) (5) 0,25
Từ (3) , (4) , (5)⇒góc NDE = góc FDK 0,25 c) (1,0 điểm)
c/m: ∆PHA đồng dạng ∆PNK (g-g)⇒PN PA = PH PK 0,25 + Chứng minh tương tự PN PA = PB PC
nên suy ra: PH PK= PB PC
0,25
+ Chứng minh: ∆PHC đồng dạng∆PBK (c-g-c)
⇒ ∠PKB =∠PCH
0,25
5
(1,0 điểm)
0,5
Bảng ô vuông có 7 7 = 49 ô vuông Ta điền các số 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7 vào mỗi ô vuông như bảng: (theo đường chéo)
0,25
Xem các ô điền số giống nhau là 1 chuồng thỏ⇒có 7 chuồng thỏ, mà 22 = 3 7 +1, theo nguyên tắc đirrichle mỗi cách đặt bất kỳ thỏa mãn yêu cầu bài toán, mỗi chuồng thỏ luôn có ít nhất 4 đấu thủ không tấn công nhau (Hai đấu thủ tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột còn trên đường chéo thì không tấn công nhau)⇒đpcm
0,25
