TỌA ĐỘ ĐIỂM – VÉCTƠ Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.. + Tính đối xứng + Khoảng cách + Góc + Quan hệ song song, vuôn
Trang 1II TỌA ĐỘ ĐIỂM – VÉCTƠ Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán tổng quát: Tìm điểm M :ax by c 0 thỏa điều kiện cho trước
Phương pháp 1
B1 Đặt tọa độ cho điểm M
M m; am c ,b 0
b hoặc M bm c;m a, 0
B2 Khai thác tính chất hình học của điểm M
+ Tính đối xứng
+ Khoảng cách
+ Góc
+ Quan hệ song song, vuông góc
+ Tính chất của điểm và đường đặc biệt trong tam giác
+ Tam giác đồng dạng
+ Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương
Chuyển tính chất hình học sang phương trình với ẩn m Giải phương trình tìm
m M
Phương pháp 2
B1 Xem điểm M là giao điểm của hai đường (đường thẳng, đường tròn)
B2 Lập phương trình các đường Giải hệ tìm M
Trang 2Ví dụ 1 Cho điểm A 1;3 và đường thẳng có phương trình x 2y 2 0 Dựng
hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên và các tọa độ đỉnh C đều
dương Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D
Bài giải
Đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với có phương trình: 2x y m 0
A 1;3 2 3 m 0 m 1
Suy ra: d : 2x y 1 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: x 2y 2 x 0
B 0;1 2x y 1 y 1
Suy ra: BC AB 1 4 5
Đặt C x ; y 0 0 với x , y0 0 0, ta có: 02 0 2 02 0 2
C
Giải hệ này ta được: 0
0
x 2
y 2
hoặc 0
0
y 0
(loại) Suy ra: C 2; 2
Do ABCD là hình vuông nên: D D
Vậy B 0;1 , C 2; 2 , D 1; 4
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Biết
A 1; 4 , B 1; 4 và đường thẳng BC đi qua điểm I 2;1
2
Tìm tọa độ đỉnh C
Bài giải
Phương trình đường thẳng BC: 9x 2y 17 0
Do C BC nên ta có thể đặt C c;9c 17
2
, ta có
AB 2; 8
9c 25
AC c 1;
2
Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A
nên:AB.AC 0 c 1 4.9c 25 0 c 3
2
Vậy C 3;5 .
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,
9 3
2 2
và tâm của hình chữ nhật là M 3; 0 là trung điểm của cạnh AD Tìm tọa độ
các đỉnh của hình chữ nhật
Bài giải
Do MI là đường trung bình của tam giác ABD nên AB 2MI 2 9 9 3 2
4 4
Trang 3 Vì SABCD AB.AD 12 nên AD 12 2 2 MA MD 2
AB
Đường thẳng AD qua M 3; 0 và nhận IM 3 3;
2 2
làm VTPT có phương trình là: 3 3
x 3 y 0 0 x y 3 0
2 2
Phương trình đường tròn tâm M bán kính R 2 là: 2 2
x 3 y 2
Tọa độ A và D là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2 2
Suy ra: ta chọn A 2;1 , D 4; 1
Vì I là trung điểm của AC nên: C I A
x 2x x 9 2 7
C 7; 2
y 2y y 3 1 2
Vì I là trung điểm của BD nên: B I D
x 2x x 5
B 5; 4
y 2y y 4
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A 2;1 , B 5; 4 , C 7; 2 , D 4; 1 .
Ví dụ 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2 và trọng tâm
G thuộc đường thẳng 3x y 1 0 Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác ABC có
diện tích bằng 3
Bài giải
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
S GAB 1S ABC 1.3 1
Phương trình đường thẳng AB là: x 2 y 4 x y 2 0
Đặt G a; b , do G d : 3x y 1 0 nên 3a b 1 0, ta có:
GAB
1
d G, AB
2
a b 2 1
Tọa độ G là nghiệm của hệ: a 1
b 2
Trang 4Suy ra: G 1; 1
hoặc G 1; 2
thì
7
2
Với G 1; 2 thì
Vậy có hai điểm C thỏa đề bài là : C 5; 0 và C 7 9;
2 2
.
Ví dụ 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y 1 0 và đường tròn
2 2
C : x y 2x 4y 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) mà qua đó có thể
kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB với (C) (A,B là hai tiếp điểm) sao cho 0
AMB 60 Bài giải
(C) có tâm I 1; 2 và bán kính R 5
AMB 60 AMI AMB 30
2
Tam giác AMI vuông tại A nên: 0 AI
s in30 IM 2AI 2R 2 5
IM
Đặt M t; t 1 (d), ta có:
2 2 2 2
IM 20 t 1 t 1 20 t 9 t 3
Vậy có hai điểm cần tìm là M 1 3; 2 và M 2 3; 4
Ví dụ 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 0; 2 và đường thẳng d : x 2y 2 0 Tìm trên đường thẳng (d) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và
AB 2BC
Bài giải
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0
A 0; 2 2 m 0 m 2
Suy ra: : 2x y 2 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: x 2 2 6
B ;
y
Trang 5 Đặt C 2t 2; t (d), theo giả thiết ta có:
2
AB 2BC AB 4BC
0 2 4 2t t
2t 12t 7 0
t 1 7
t 5
Với t 1 C 0;1
Với t 7 C 5 7;
Vậy các điểm cần tìm là: 2 6
5 5
hoặc
.
Ví dụ 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C
thuộc đường thẳng d: 2x y 5 0 và A 4;8 Gọi M là điểm đối xứng của B qua
C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B và
C, biết rằng N 5; 4
Bài giải
Do C d nên C t; 2t 5 Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, suy ra I là trung điểm của AC
Do đó: 4; 2 3
Tam giác BDN vuông tại N nên IN IB Suy ra: IN IA
Do đó ta có phương trình:
t
Suy ra: C 1; 7
Trang 6Do M đối xứng với B qua C nên CM CB Mà CB AD và CM||AD nên tứ giác
ACMD là hình bình
hành Suy ra AC DM|| Theo giả thiết, BN DM , suy ra BN AC và CB CN Vậy
B là điểm đối xứng
của N qua AC
Đường thẳng AC có phương trình: 3x y 4 0
Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình: x 3y 17 0
Do đó: B 3a 17;a
Trung điểm của BN thuộc AC nên:
3 3 17 5 4 4 0 7
Vậy B 4; 7
Ví dụ 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cânABCD có hai
đường chéo vuông góc với nhau và AD 3BC Đường thẳng BD có phương trình
2 6 0
x y và tam giác ABD có trực tâm là H 3; 2 Tìm tọa độ các đỉnh C và D Bài giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD IB IC Mà IB IC nên IBC vuông cân tại
0
45
I ICB
BH AD BH BC HBC vuông cân tại B I là trung điểm của đoạn thẳng
HC
Do CH BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ
Trang 7
Do đó C 1; 6
Do D 6 2 ;t t và CD 5 2 suy ra: 2 2 1
7
t
t Vậy D 4;1 hoặc D 8; 7
Ví dụ 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao
hạ từ đỉnh A là 17; 1
H , chân đường phân giác trong của góc A là D 5;3 và trung điểm của cạnh AB là M 0;1 Tìm tọa độ đỉnh C
Bài giải
Ta có H AH và AH HD nên AH có phương trình: x 2y 3 0 Do đó
3 2 ;
A a a
Do M là trung điểm của AB nên MA MH
Suy ra 2 2
3
5
a
a
Do A khác H nên A 3;3
Phương trình đường thẳng AD là y 3 0 Gọi N là điểm đối xứng của M qua
AD Suy ra N AC và tọa
độ điểm N thỏa mãn hệ
1
3 0
1 0 1 0
y
N
Đường thẳng AC có phương trình 2x 3y 15 0
Đường thẳng BC có phương trình 2x y 7 0
Suy ra tọa độ điểm C thỏa mãn hệ 2 7 0
x y
Trang 8Do đó C 9;11
Ví dụ 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm 9 3;
2 2
M
là trung điểm của cạnh AB, điểm H 2; 4 và điểm I 1;1 lần lượt là chân đường cao
kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C
Bài giải
7 1;
2 2
IM Ta có M AB và AB IM nên đường thẳng AB có phương trình
7x y 33 0
; 7 33
A AB A a a Do M là trung điểm của AB nên B a 9; 7a 30
5
a
Với a 4 A 4;5 ,B 5; 2 Ta có BH AC nên đường thẳng AC có phương trình x 2y 6 0
Do đó C 6 2 ;c c Từ 2 2 1
5
c
c
Do C khác A, suy ra C 4;1
Với a 5 A 5; 2 ,B 4;5 Ta có BH AC nên đường thẳng AC có phương trình 2x y 8 0
Do đó C t; 2 t 8 Từ 2 2 1
5
t
Do C khác A, suy ra C 1; 6
Ví dụ 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
C x y và đường thẳng :y 3 0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của C , các đỉnh N và P thuộc , đỉnh M và trung điểm cạnh MN thuộc
C Tìm tọa độ điểm P
Trang 9Bài giải
Ta có tâm của C là I 1;1 Đường thẳng IM vuông góc với nên có phương trình 1
x Do đó M 1;a
Do M C nên a 12 4 Suy ra a 1 hoặc a 3 Mà M nên ta được
1; 1
;3
N N b Trung điểm MN thuộc C
2
1
3 2
b b
b
Do đó N 5;3 hoặc N 3;3
P P c;3
+ Khi N 5;3 , từ MP IN suy ra c 1 Do đó P 1;3
+ Khi N 3;3 , từ MP IN suy ra c 3 Do đó P 3;3
Ví dụ 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử
11 1
;
2 2
M và đường thẳng AN có phương trình 2x y 3 0 Tìm tọa độ điểm A
Bài giải
Gọi H là giao điểm của AN và BD Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB, cắt AD và BC lần lượt
tại P và Q Đặt HP x Suy ra PD x AP, 3x và HQ 3x Ta có QC x, nên
MQ x
Do đó AHP HMQ, suy ra AH HM
Hơn nữa, ta cũng có AH HM Do đó 2 2 , ( ) 3 10
2
A AN, suy ra A t; 2t 3 Khi đó:
4
t
t Vậy A 1; 1 hoặc A 4;5
Trang 10Ví dụ 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các
đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x 3y 0 và x y 4 0; đường thẳng BD đi qua điểm 1;1
3
M Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD
Bài giải
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 3 0 3;1
x y
A
Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN||AD
Suy ra MN có phương trình là 4 0
3
Vì N thuộc AC, nên tọa độ điểm N thỏa mãn hệ
4
1;
3
3
x y
N
x y
Đường trung trực của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD, nên
có phương trình là
x y 0
Gọi I và K lần lượt là giao điểm của với AC và AD
Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ 0 0; 0
x y
I
x y
và tọa độ điểm K thỏa mãn hệ 0 2; 2
x y
K
BC AD B 1; 3
Ví dụ 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x y 2 0 và
C x y x y Gọi I là tâm của C , M là điểm thuộc Qua
M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến C (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm
M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10
Bài giải
Đường tròn C có tâm I 2;1 , bán kính IA 5
Tứ giác MAIB có 0
90
MAI MBI và MA MB
MAIB
M , có tọa độ dạng M t; t 2
3
t
t Vậy M 2; 4 hoặc M 3;1
Trang 11Ví dụ 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 1) là trung
điểm cạnh AC, điểm H(0; 3) là chân đường cao kẻ từ A, điểm E(23; 2) thuộc đường
thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C Tìm tọa độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng
: 2 3 5 0
d x y và điểm C có hoành độ dương
Bài giải
1 3
1 2
Vì M(2; 1) là trung điểm AC nên suy ra C(3 3 ; 1 2 ) a a
( 3 1; 2 4)
(3 3 ; 4 2 ).
90
AHC nên
1
13
a
HA HC
a
+ Với a 1 A( 2; 3), C(6; 1) thỏa mãn
+ Với 19 18 51;
13 13 13
a C
không thỏa mãn
Với A( 2; 3), C(6; 1) ta có phương trình CE x: 17y 11 0, phương trình
: 3 9 0
BC x y
Suy ra B b(3 9; )b BC trung điểm AB là 3 7; 3 .
N
MàNCE b 4 B( 3; 4).
Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 1), phương trình đường phân giác trong góc BAC là x y 0.
Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng 8 5
5
BC và góc BAC nhọn
Bài giải
Vì AD là phân giác trong góc A nên AD cắt đường tròn (ABC) tại E là điểm chính giữa cung BC IEBC.
Vì E thuộc đường thẳng x y 0 và IEIA R E(0; 0).
Chọn n BC EI (2; 1) pt BC có dạng 2x y m 0.
Từ giả thiết 4 5 2 2 3
( , ) 3
5
d I BC
8
m m
m
: 2: 2 82 0.0
BC x y
BC x y
Trang 12Vì BAC nhọn nên A và I phải cùng phía đối với BC, kiểm tra thấy BC: 2x y 2 0 thỏa mãn
Từ hệ 2 2 2 0 2 (0; 2), 8; 6
5 5 ( 2) ( 1) 5
x y
8 6
; , (0; 2)
5 5
B C
Ví dụ 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình
đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là x 3y 18 0, phương trình đường thẳng trung
trực của đoạn thẳng BC là 3x 19y 279 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x y 5 0.
Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng 0
135
BAC
Bài giải
BBH x: 3y 18 B( 3 b 18; ),b
Cd y: 2x 5 C c( ; 2c 5).
Từ giả thiết suy ra B đối xứng C qua đường trung trực
: 3 19 279 0
là
60 13 357 4 (6; 4)
10 41 409 9 (9; 23).
u BC
x y
BC M
trung ñieåm
ACBH chọn n AC u BH ( 3; 1) pt AC: 3 x y 4 0 A a( ; 3a 4)
AB (6 a; 8 3 ), a AC (9 a; 27 3 ) a
Ta có 0
1 (6 )(9 ) (8 3 )(27 3 ) 1
135 cos( , )
2 (6 ) (8 3 ) (9 ) (27 3 ) 2
2
2
| 9 | 6 10
a
a 4. Suy ra A(4; 8).
Ví dụ 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có
phương trình đường chéoAC x: y 1 0, điểm G(1; 4) là trọng tâm của tam giác ABC,
điểm E(0; 3) thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho biết rằng diện tích của tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có
tung độ dương
Bài giải
Vì DEAC nên DE x: y 3 0 D t ; t 3
Trang 13Ta có 1 1
d G AC d B AC d D AC
1; 4 1
2 4 1
5
D t
t
Vì D và G nằm khác phía đối với AC nên D1; 4
1 1 2 1
B B
x
y
Vì AAC x: y 1 0 A a a ; 1
S S S S S S
Suy ra 1
2
ABD
5; 6 tm 5
1 12 48
3 3; 2 ktm
A a
a
Từ ADBCC 3; 2
Vậy A 5; 6 , B 1; 8 ,C 3; 2 , D 1; 4
Ví dụ 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD // BC,
2 ,
AD BC đỉnh B(4; 0), phương trình đường chéo AC là 2x y 3 0, trung điểm E của
AD thuộc đường thẳng :x 2y 10 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng cotADC 2.
Bài giải
Gọi I ACBE. Vì IACI t ; 2t 3 Ta thấy I là trung điểm của BE nên
2 4; 4 6
E t t
Theo giả thiết E t 3 I 3; 3 , E 2; 6
Vì AD/ /BC, AD 2BC nên BCDE là hình bình hành Suy ra ADCIBC.
Từ cot cot 2 cos 2 .
5
IBC ADC IBC
Vì CACC c ; 2c 3 BI 1; 3 , BC c 4; 2c 3 Ta có
2
5 1
3 22 35 0
5 10 5 20 25 5
3
c c
c IBC
c
Suy ra C 5; 7 hoặc 7 5; `
3 3
C
Trang 14Với C 5; 7 , ta thấy I là trung điểm của AC nên A1; 1 , vì E là trung điểm của AD
nên D3; 13
Với 7 5; ,
3 7
C
tương tự ta có
11 13 1 23
A D
Ví dụ 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm ; 1 ,
3
4
G trung điểm BC là M( 1 ; 1 ), phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là xy 7 0 Tìm tọa độ A,B,C.
Bài giải
Từ tính chất trọng tâm ta có MA 3MGA( 2 ; 1 ).
BBH:y x 7 B(b, b 7 ).
Vì M( 1 ; 1 ) là trung điểm BC nên C( 2 b;b 5 ). Suy ra AC ( b;b 6 ).
BH AC nên u BH.AC 0 b (b 6 ) 0 b 3
Suy ra B( 3 ; 4 ),C( 1 ; 2 ).
Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Đường cao kẻ từ A,trung tuyến kẻ từ B, trung tuyến kẻ từ C lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình xy 6 0 , x 2y 1 0 , x 1 0 Tìm tọa độ A,B,C.
Bài giải
Từ hệ
0 1
0 1 2
x
y x
suy ra trọng tâm G( 1 ; 1 ).
A AH B, BM C, CN A a( ; 6 a), B b(2 1; ),b C(1; ).c
Do G( 1 ; 1 ) là trọng tâm nên
3
3 2 3
) 6 (
3 1 ) 1 2 (
c b a
b a c
b a
b a
Ta có u AH ( 1 ; 1 ),BC ( 2 2b;cb). Vì AH BC nên u AH.BC 0
2 0
2
2
Từ (1) và (2) suy ra a 5 ,b 1 ,c 3 Suy ra A( 5 ; 1 ),B( 3 ; 1 ),C( 1 ; 3 ).
Ví dụ 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương
trình BC: 2x y 7 0 , đường thẳng AC đi qua điểm M( 1 ; 1 ), điểm A nằm trên
đường thẳng :x 4y 6 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh
A có hoành độ dương