KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit 1... Tính giá trị của các biểu thức sau : a.. Tính giá trị của các biểu thức sau : a... Rút gọn các biểu thức
Trang 1I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LOGARIT
Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit
1 Định nghĩa: Với a > 0, a 1 và N > 0
log N M a dn a M N
Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi
0 1 0
N a
a
2 Các tính chất :
log 1 0 a
log a 1 a
a
log a M
a log N a N
log (N N ) log N a 1 2 a 1log N a 2
2
N log ( ) log N log N
log N a .log N a Đặc biệt : log N a 2 2.log N a
3 Công thức đổi cơ số :
log N log b.log N a a b
b
a
log N log N
log b
* Hệ quả:
b
1 log b
log a
và log N a k 1 log N a
k
4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0, a 1 )
Tập xác định : D R
Tập giá trị T R
Tính đơn điệu:
* a > 1 : y log x a đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R
Trang 2Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Đồ thị của hàm số lôgarít:
Đạo hàm của hàm số lôgarit:
1
lnx '
x
và 1
ln x '
x
'
lnu ' u
u
và '
lnu ' u
u
(với u là một hàm số)
1
log '
ln
a x
x a
và 1
log '
ln
a x
x a
'
log '
.ln
a
u u
u a
và '
log '
.ln
a
u u
u a
(với u là một hàm số)
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
Điều kiện : 12
1
0 0
1 1
x
x
x
x x
Vậy D=1;
b/
2
1 5
5
1 log log
3
x y
x
0<a<1
y=logax
y
O
a>1
y=logax
1
y
x O
Trang 3Điều kiện :
2
2
1 5
2 3
2
1
3
3
x
x
3; 2 2;7
x x
x
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a
9
125 7
1 1
log 4 log 8 log 2
4 2
5
1
2 3 log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
16 4
4
1
log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 5
16 4 4 2 16.25 3.2 592
3
1
log 9 log 6 log 4
2
72 49 5
1
log 9 log 6 log 4
log 9 2 log 6 2 log 4
d log 5 6 1 lg 2 log 36 9
36 10 3
log 5 1 lg 2 log 36 log 25 log5
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a A log 15 log 18 log 109 9 9
Trang 4Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
B
3
2 log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
6
1 log 2 log 3
2
C
6
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
C
4
log log 4.log 3
D
4
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
Bài 2 Hãy tính
a log2 2sin log2 os
A c
1
A c c
log 7 3 log 49 21 9
log 7 3 log 49 21 9 log 7 3 49 21 9 log 7 3 1
c C log tan 410 log cot 410
log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0
d D log4 1log 216 2 log 104 4 4 log 34
3
x
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
log 6 log 10 log 3 log
D x
x
Trang 5 Bài 3 Hãy tính :
loga
A a a a
1 1 3
2 5 10
A a a a a
loga
B a a a a
1
1 1
2
3
c
5 3 3 2
log
a
a a a
a a
3 2 1
5 3 3 2 5 3
2 4
34 3 91
15 4 60
a a
a a
a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0
tan 89 cot1 tan1 tan 89 tan1 cot1 1; Tương tự suy ra kết quả)
e A log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
1 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
A
log 2011!x
Nếu x=2011! Thì A=log 2011!2011! 1
Bài 4 Chứng minh rằng :
Trang 6Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
a Nếu : 2 2 2
a b c a b c c b , thì :
logc b a logc b a 2 logc b a.logc b a
2 loga loga
a c b c b c b c b c b
logc b a logc b a c b a c b a c b a c b a
b Nếu 0<N 1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
, , 1
a b c
Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2
b ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
2 log log log
b a c
( đpcm )
c Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2 log log
log log
b
x z
y x y z a b c
x z
Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng thì logx a logz c 2logy b
2 log log
log
b
x z y
d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : 2 2
7
a b ab Chứng minh : ln ln ln
ab a b
3
a b
a b ab a b ab ab
Lấy ln hai vế ta có :
ln ln
a b
e Chứng minh :
ax
log log log
1 log
a
b x bx
x
log
log ax 1 log
bx b x
x
f Chứng minh :
Trang 7 2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
log log log 1 2 3 log
2 log
k
a
k k
x
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1 Tính
a A log 166 Biết : log 27 12 x
6
log 16
6
log 2 4 log 2 log 16
log 6 1 log 2
A
Thay từ (*) vào ta có : A=
2 3 2 12 4
b C log 1353 Biết: log 52 a; log 32 b
2
log 3
a a b C
b b
c D log 356 Biết : log 527 a; log 78 b; log 32 c
Ta có : log 527 1log 53 log 53 3 ; log 78 1log 72 log 72 3
a a b b(*)
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
b a b D
b b
d Tính : log 3249 Biết : log 14 2 a
Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
Vậy :
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a Aloga b logb a 2 log a b logab blogb a 1
2
log
a
a
b
b
Trang 8Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
a
b
b
a
b 2 log log2 1 2 4
1
2
B x x x x
B x x x x x x x x
1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x 1
c C loga p logp a 2 log a p logap p loga p
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b3; loga c 2:
a 3 2
xa b c
log log 3 2 log log 3 2.3 1 8 2
2
a x a a b c a b a c
b
4 3
3
a b
x
c
a b
c
c
2 4 2
4
3
a bc
x
ab c
Ta có :
2 4 2
4 3
a bc
ab c
Bài 4 Chứng minh
Trang 9a 1
log 3 log 2 log log
2
a b a b ab
a b a b aba ab b ab a b ab
2 log 3 2 log 2 log log log 3 log 2 log log
2
a b a b a b a b
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
loga b loga c
c b ; loga b.logb c.logc a 1
loga ; logb ; logc
c a b
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
loga b loga c
c b
* Thật vậy :
loga b loga c loga c loga b loga c loga c
* loga b.logb c.logc a 1 loga b.logb a loga a 1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
loga logb logc loga .logb logc 1
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1) và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số : log 43 log41
3
Ta có :
log 4 log 3 1; log log 4 1 log 4 log
Ví dụ 2 So sánh : log 1,1 6 log 0,99 6
3 7 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
a/ log0,4 2 log0,20,34
Trang 10Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
0,2 0,4 0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0, 3 log 2
0, 3 1 log 0, 3 log 1 0
log log
4 5
Ta có :
1 0 1 log log 1 0
log log
0 1, 0 1 log log 1 0
5
1 log
log 3 2
2 3
Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
log 3 log 1 2 2 2 1
1 log 3 log
log log 1 3 3 3 1
2
d/ log 23 log 32
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2 log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
e/ log 32 log 113
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
f/ 2 12
2log 5 log 9
2
25 2log 5 log 9 log
9
2
2
2
g/ 2 4
5
log 3 log
11
4 18
9 11 5
log 9 log log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
5 log 3 log 11 81.11 891 90
Trang 11h/ 3 19
8
log 2 log
9
9
log 2 log log 2 log log
2log 2 log
8
k/
1
log 2 log 5
2
3 1
18 6
Ta có :
6
1
2 log 2 log 5 log 10 log
3
Bài 2 Hãy so sánh :
a/ log 102 log 305
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 53 log 47
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
2 lne 8 ln
e
Ta có :
3
3
2 ln 2.3 6
1
8 ln 2 ln 1
8 ln 8 1 9
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
2
1 log 3 log 2
2
2
Trang 12Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
b/ log 7 5 log 4 5
4 7
log 7 log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7 Vậy 2 số này bằng nhau
c/ log 73 log 37 2
3
1 log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/ log 5 2 log 3 2
3 5
log 5 log 3 log 5.log 3
e/ 1 log 3 log19 log 2
Ta có :
1
log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
log19 log 2 log log
361 1 log 900 log log 3 log19 log 2
f/ log5 7 log 5 log 7
Ta có : 5 7 5 7 log5 7 log 5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
a log36 log35
5 6
Ta có :
log log
6 5
log log
5 6
3 1
log 9 log 17
Trang 13Ta có : 1 1
1
log 9 log 17 3
9 17
log e log
1
log log
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM :
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
2 2 x
y x x e
y x x e y x e x x e x e
s inx-cosx x
s inx-cosx x ' cosx+sinx x 2 s inx-cosx x 3sin osx x
c
e e
y
e e
4 '
e e e e e e e e
e e
ln 1
y x
2
2
1
x
x
e y ln x
x
Trang 14Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
f y 1 lnxlnx
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau:
yx x
2
log x x 1
2 1
1 ln 2
x
x x
c 3 2
ln
y x
3
x x x
d log2 4
4
x
y
x
e
2 3
9 log
5
x
y
x
2
x x x
f log 1
2
x y
x
ln10
Trang 15II GIỚI HẠN
Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x
ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1
0
ln 3 1
lim
sin 2
x
x
x
ln 3 1 3
sin 2
2 2
x x
x x
x x
0
ln 4 1
lim
x
x
x
ln 4 1 ln 4 1
4
d
5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
5
3
x x
e
e
e
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
1 1
x x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
Trang 16Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
ln 2 1 2
tan tan
x x
x x
x x
b
2 3
0
lim
5
x
e e
x
5
2
c
3
0
1
lim
x
x
e
x
3
d
1
lim x
1
1
1
x
e
xe x x e
x
e
0
sin 3
lim
x
x
x
sin 3 sin 3
3
0
1 os5
lim
x
c x
x
2
2 2
5
2 sin
2
4 5
25 2
x
c x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
Trang 17
2
2 sin 2 sin
x x
b
2
1
os
x c x
2
1
os
x c x
cos 2
c
t
2
2 sin
2 tan
2 sin os
2 2
t
t t
c
0 2
tan
; 0 lim t anx lim
2
t x
t
x t
t
lim 2 sin
x
lim 2 sin
x
Đặt :
; 0
lim 2 sin lim 6 3 3
d
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
2 2 cos
2 1 ost+sint
4
sin
4
x t x t
c x
t x
2sin 2sin os sin os
t
Vậy :
4
2 2 cos
2 sin
4
t o x
x