NỘI DUNG 2 cực TRỊ của hàm số

Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba trùng phương có 2 cực trị có 3 cực trị.. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số c

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề: Hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '(x0) 0

2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng a b; chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x b0; Khi đó

a) Nếu f '( )x 0 với mọi x a x; 0 và f '( )x 0 với mọi x x ; b0

thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f '( )x 0 với mọi x a x; 0 và f '( )x 0 với mọi x x ; b0

thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b; chứa điểm x0, f '(x0) 0 và f có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 Khi đó

a) Nếu f ''(x0) 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f ''(x0) 0 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

4) Định lý 4:

a) Hàm số   3 2  

y  f x  ax  bx  cx  d a  0 có hai điểm cực trị

   2

f ' x  3ax  2bx   c 0 có hai nghiệm phân biệt

b) Hàm số   4 2  

   3

f ' x  4ax  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị)

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Tập xác định: D ?

B2 Tính y' ?

B3 Lập luận:

Lưu ý:

a) Hàm số   3 2  

y  f x  ax  bx  cx  d a  0 có hai điểm cực trị

   2

f ' x  3ax  2bx   c 0 có hai nghiệm phân biệt

b) Hàm số   4 2  

   3

f ' x  4ax  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số  1 ( 2  1) 3  (  1) 2  3  5

3

y m x m x x Tìm m để hàm số có hai điểm cực

trị

Bài giải

♦ Tập xác định: D

♦ Đạo hàm: 2 2

' ( 1) 2( 1) 3

y  m  x  m x

y' 0 (m2 1)x2 2(m 1)x  3 0

♣ Hàm số có hai điểm cực trị

' 0

y  có hai nghiệm phân biệt

2

1 0 ' ( 1) 3( 1) 0

m

m

1 1

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1

m

m 

Ví dụ 2 Cho hàm số y mx 4  (m2  9)x2  10 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Bài giải

♦ Tập xác định: D

y  mx  m  x x mx m 

y' 0 02 2

2 9 0 (1)

x

♣ Hàm số có ba điểm cực trị ' 0

y  có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2 2

0

9 0

m

m m m

0 3

3

m m m m

3

m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 3

m

m 

Bài tập tương tự

Cho hàm số y x 4  (m 1)x2  2m 1 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Đáp số: m 1

Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x 0

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Tập xác định: D ?

B2 Tính y' ?

B3 Lập luận:

a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 y x'( 0 ) 0 Giá trị của tham số m

b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y' thử lại Khi thử lại có thể

dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2

2 VÍ DỤ

Ví dụ Cho hàm số  1 3  2  2 2 (3 2 1)  5

3

y x m m x m x m Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Bài giải

♦ Tập xác định: D

♦ Đạo hàm: 2  2  2

y x  m  m x m 

a) Điều kiện cần:

Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 y'( 2) 0 2

4 3 0

3

m

b) Điều kiện đủ:

♣ Với m 1, ta có: 2

y x x , y' 0 x 2 Bảng biến thiên

x 2

'

y 0

y

Từ BBT ta suy ra m 1 không thỏa

♣ Với m 3, ta có: 2

2

x y

Bảng biến thiên

x 14 2 '

y 0 0

y CĐ

CT

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x 2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m 3.

Bài tập tương tự

Cho hàm số y x 3 mx2  3x 2 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2

Đáp số: 15

4

m

Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Tập xác định: D ?

B2 Tính y' ?

B3 Lập luận

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 3  (2m 1)x2   (2 m x)  2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành

độ dương

Bài giải

♦ Tập xác định: D

♦ Đạo hàm: 2

' 3 2(2 1) 2

y  x  m x m

y' 0 2

3x  2(2m 1)x   2 m 0

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

y' 0 có hai nghiệm dương phân biệt

2 ' (2 1) 3(2 ) 0 2

0 3 2(2 1)

0 3

m P

m S

2

m m

5 1

4 2

1 2

m m

5

2

4 m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 5 2

4 m 

Ví dụ 2 Cho hàm số  2 3  2 2(3 2 1)  2

y x mx m x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x1 2 2(x1 x2) 1

Bài giải

♦ Tập xác định: D

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

' 2 2 2(3 1)

y  x  mx m 

y' 0 2 2

2x  2mx 2(3m   1) 0 (1)

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

' 0

y có hai nghiệm phân biệt

2 2

' m 4(3m 1) 0

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có: 1 2

2

1 2 1 3

Do đó: x x1 2 2(x1 x2) 1 2 2

0

3

m

m (**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là 2

3

m 

Ví dụ 3 Cho hàm số  1 3 ( 1) 2 3( 2)  1

y mx m x m x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 2x2 1

Bài giải

♦ Tập xác định: D

♦ Đạo hàm: 2

' 2( 1) 3( 2)

y mx  m x m

y' 0 2

2( 1) 3( 2) 0

mx  m x m  (1)

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 y' 0 có hai nghiệm phân biệt

0 2

m

0

m

m (*)

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

2( 1)

(2) 3( 2)

(3)

m

m m

x x

m

Theo đề bài : x1 2x2 1 (4)

Từ (2) và (4) suy ra

1

2

2

m x

m m x

m

(5) Thay (5) và (3) ta được:

2

2

2

m

m

(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là 2

3

m và m 2 

Ví dụ 4 Cho hàm số 3

y x mx (1), với m là tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm

m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

Bài giải

♦ Tập xác định: D

♦ Đạo hàm: 2

' 3 3

y  x  m

y' 0 2

3x  3m 0 (1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C y' 0 có hai nghiệm phân biệt

m 0 (*)

Khi đó y' 0 có hai nghiệm phân biệt là x m

♣ Với x m y 2 m3 1

♣ Với x m y 2 m3 1 Tọa độ các điểm cực trị B và C là 3 3

♦ Tam giác ABC cân tại A AB AC AB2 AC2

0

2

m

m (**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là 1

2

m 

Ví dụ 5 Cho hàm số 4 2 4

yx  mx  mm (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , đồng thời các điểm A B C, , tạo thành một tam giác vuông

Bài giải

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

♦ Tập xác định: D

y  x  mx x x m

y' 0 x2 0





 

 (1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , y' 0 có ba nghiệm phân biệt

m 0 (*)

Khi đó y' 0 có ba nghiệm phân biệt là x 0, x m

♣ Với x 0 y 2m m4

♣ Với x m y m4 m2 2m Tọa độ các điểm cực trị A B C, , là

4 4 2 4 2

A m m B m m m m C m m m m

AB m m AC m m

♦ Tam giác ABC vuông Tam giác ABC vuông tại A

AB AC 0 4 0

0

1

m

m (**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m 1.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Tìm cực trị của của hàm số 1 3 1 2

2 2

y x  x  x

Cách 1

* Tập xác định:R

2

x

x

 



* Bảng biến thiên:

x  – 1 2



y’ + 0 – 0 +

y

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ   19

1 6

y

   Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT   4

2 3

Cách 2

* Tập xác định:

2

x

x

 



* y''  2x 1, ''y      1 3 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

yCĐ   19

1

6

y

  

*y'' 2   3 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu

Câu 2 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

3 6

yx  x 

Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

3 6

yx  x 

* Tập xác định:

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

' 3 6 , ' 0

2

x

x







Bảng xét dấu đạo hàm

Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có

Hàm số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x 0và giá tri ̣ cực đa ̣i y 6; đạt cực tiểu ta ̣i x 2và giá tri ̣ cực tiểu y 2

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là M 0; 6 , điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

N 2; 2

Câu 3 Tìm các điểm cực trị của hàm số 4 2

y x  x 

TXĐ: D

' 8 -8 8 ( -1)

y  x x x x  x D

0 ' 0

1

x

y

x





    

Bảng xét dấu của y’:

x - -1 0 1 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y cd  y(0)   1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1 và y ct  y( 1)    3.

Câu 4 Cho hàm số 3 2  2 

yx  mx  m  x m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 2

' 3 6 1; '' 6 6

y  x  mxm  y  x m

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 2 '(2) 0

''(2) 0

y x

y







2

12 11 0

12 6 0

m

 

Vậy với m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

x  0 2 

y + 0 - 0 +

Câu 5 Cho hàm số 3 2 2 3

yx  mx  m  xm m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

y x  mx m 

Hàm số (1) có cực trị thì PT y 0 có 2 nghiệm phân biệt

     có 2 nhiệm phân biệt      1 0, m

Khi đó, điểm cực đại A m(  1;2 2 )  m và điểm cực tiểu B m(    1; 2 2 )m

3 2 2

m

m

   

  

Câu 6 Tìm m để hàm số 14 2

4

m

y x m x đạt cực tiểu tại điểm x = 1

 3

y m x  m

Điều kiện cần y' 1    0 m 2

Thử lại m = 2 :  3

' 2 1

y  x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 Vậy nhận m = 2

Câu 7 Cho hàm số yx3  3 (m 1 )x2  9xm, với m là tham số thực

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1x2  2

Ta có: y'3x2 6(m1)x9.

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 Phương trình y'  0 có hai nghiệm pb là x1, x2

 Pt x2  2 (m 1 )x 3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

2 ' ( 1) 3 0

1 3 (1)

1 3

m m m

     

   

 

  



Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1x2  2 (m 1 ); x1x2  3

 

2

2

4 1 12 4

m

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

2 ( 1) 4 3 (2) 1

m m m

 





Từ (1) và (2) ta được:

3 1

m m

 



 

 TMYCBT

Câu 8 Cho hàm số: 3 2

3( 1) 9

yx  m x  xm, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1x2  2

 Ta có 2

' 3 6( 1) 9.

y  x  m x

 Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2  2

2( 1) 3 0

x  m x  có hai nghiệm phân biệt là x x1, 2

              (1)

Theo đề ta có:  2

x x   x x  x x  Theo định lý Viet ta có: x1x2  2(m 1); x x1 2  3.

 2

(*)  4 m 1  12  4 2

      

Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là:      3 m 1 3 hoặc   1 3  m 1.

Câu 9 Cho hàm số: yx4  2(m2  1)x2  1 (1)

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất

y’ = 4x3 – 4(m2+1)x

y’ = 0 

2

0

1

x







  hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m

2

1

CT

x   m   giá trị cực tiểu 2 2

( 1) 1

CT

y   m  

ì ( 1) 1 CT 0

max(y CT)   0 m     1 1 m 0

Câu 10 Cho hàm số 3

y  x mx (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa độ )

Khi đó 2 điểm cực trị A m;1 2  m m , B m;1 2  m m

Tam giác OAB vuông tại O OA OB  0 3 1

2

      ( TM (**) ) Vậy 1

2

m

Câu 11 Cho hàm số 4 2 2

( )   2(  2)   5  5

Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 Toạ độ các điểm cực trị là:

2

(0;  5  5), ( 2  ;1  ), (  2  ;1  )

Tam giác ABC luôn cân tại A ABC vuông tại A khi m = 1

Câu 12 Cho hàm số y 2x3 3x2 1 1

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d y: 2x 1 với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm

M thuộc d và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông tại

M

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d y:  2x 1 và đồ thị (C) là:

2x  3x   1 2x  1 2x  3x  2x 0 (*)

Giải phương trình (*) ta được ba nghiệm phân biệt 1 0, 2 2, 3 1

2

x  x  x  

Vậy d cắt (C) tại ba điểm phân biệt (0;1), (2;5), 1;0

2



: 2 1 ( ;2 1)

M d y  x  M t t  , tọa độ các điểm cực trị của (C) là D(0;1), (1; 0)T

M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông tại M

0(**)

DM TM

  , mặt khác ta có DM  ( ;2 ),t t TM   (t 1;2t  1)

2 (**) 5t t 0 t 0

5

t  

t   0 M(0;1) D (loại); 1 1 3

;

Câu 13 Cho hàm số 4 2 2  

yx  m x  C (1) Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Ta có: 3 2  2 2

0





Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là:

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

A B m m C m m Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì đỉnh sẽ là A

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên

để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC

Tam giác ABC vuông khi: 2 2 2 2 2 8  2 8

4

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 14 Cho hàm số 4 2 2

yx  m x  (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1)

có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích)

+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0 

0

x





 

 ; ĐK có 3 điểm cực trị: m  0 +) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ;

+) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4)

2

ABC

Câu 15 Cho hàm số 4 2

y x  mx  m (1), với m là tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

2

0





 Hàm số đã cho có ba điểm cực trị pt '

0

y  có ba nghiệm phân biệt và '

y đổi dấu khi

x đi qua các nghiệm đó  m 0

 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

2

3 2

1 2

.

2

ABC

m

AB AC BC





 



Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;1) và có hệ số góc bằng 3 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

+ d: y=3x-2

+ Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm (0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm (2;-2)=>P=6>0 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d Từ đây, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng

+ Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

4

5

x

y

 





Câu 17 Cho hàm số yx3 6x2 9x 2 (1)

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1 ; 1 và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C)

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1 ; 1 và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C)

Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4

Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½

Vậy PT đ ư ờng thẳng cần tìm là

2

3 2

1



 x y

Câu 18 Cho hàm số 3 2 2

yx  mx  m  (1), m là tham số

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB

Ta có 2

' 3 6

y  x  mx

2

x







Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi y'  0có hai nghiệm phân biệt m 0 Tọa độ các điểm cực trị là 2 3 2

(0; 4 2), (2 ; 4 4 2)

A m  B m  m  m  Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 13 2

m









Giải hệ, ta được m 1 Vậy m 1 là giá trị cần tìm