NỘI DUNG ôn tọa độ KHÔNG GIAN OXYZ

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian  Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A

Trang 1

I KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong khơng gian

(hay i; j;k: véc tơ đơn vị )

Quy ước : Khơng gian mà trong đĩ cĩ chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuơng gĩc Oxyz

được gọi là khơng gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho M kg Oxyz ( ) Khi đĩ véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo i j k, , bởi hệ thức cĩ dạng : OM xi y j  + y với x,y,zk 

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y;z)

( x: hồnh độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

O

Trang 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

II Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

 Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng

hoặc nằm trên hai đường thẳng song song

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

 Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và với b b0

a cùng phương b    !k sao cho a k b

Nếu a 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi a cùng hướng b

k < 0 khi a ngược hướng b

a

k b

Trang 3

 Định lý 6: Cho hai véc tơ a ( ; ; ) và a a a1 2 2 b ( ; ; )b b b1 2 3 ta cĩ :

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :

MA k MB

  

Định lý 11 : Nếu A x y z( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B y z B B và MA k MB ( k 1 ) thì

1 1 1

A B M

x k x x

k

y k y y

k

z k z z

A B M

Trang 4

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )A A A B y z B B C y z C C

G là trọng tâm tam giác ABC 

3 3 3

A B C G

VI Tích cĩ hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích cĩ hướng của hai véc tơ a ( ; ; ) và a a a1 2 3 b ( ; ; )b b b1 2 3 là một véc

A

B C

B C D

Trang 5

II MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một đường thẳng () hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó

và một VTCP của nó

2 Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b Gọi a là

VTCP của đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b Khi đó :

Cặp ( , )a b được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 

a

b

a b

n

Trang 6

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là : 1 2 3

1 2 3

( ; ; ) ( ; ; )

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và

n 

)

;

; ( 0 0 0

0 x y z M

Trang 7

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ;0;0) (0; ;0) (a,b,c 0) (0;0; )

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A1;2;3 , 2; 3;1 B   Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB

Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P x:  2y 3z  4 0 và

 R : 3x 2y z   1 0 Viết phương trình mặt phẳng  R đi qua A 1;1;1 đồng thời vuông góc với cả  P và  Q

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , ) ( , , , )

n n

a

a a

b  b  b

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng   , xác định bởi phương trình :

a

b

c O

1

n n2

Trang 8

( ) // ( )

A A ( ) ( )

Trang 9

II ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( )  đi qua điểm

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )  đi qua

A B và trọng tâm G 0; 2; 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

C và vuông góc với mặt phẳng ABC

Ví dụ 3:

Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng

x 1 2t (d) : y 1 t

qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d)

Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) :x z z

1  1 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M và đường thẳng (d)

O

z

y x

) ( 

0

M M(x,y,z)

a

Trang 10

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho: đường thẳng 0 0 0

x,y,z Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0     Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Trang 11

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

( ) và ( ) chéo nhau , 0

pt pt





x,y,z Suy ra: M(x,y,z)

III Gĩc trong khơng gian:

n 

) ( 

)

;

; (a b c

a 

0 0

90

0  

Trang 12

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ;

D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng () đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có

VTCP u ( ; ; )a b c Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến ( )  được tính bởi công thức:

)

;

; (

; '

; ' (

2 a b c

a 

0 0

0 x y z M

Trang 13

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

Trang 14

III MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán

kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( )  và mặt cầu (S) cĩ phương trình :     

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

I

H

R M

H M

R I

)

(S

I

Trang 15

Chú ý:

Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C) Đường tròn (C) nầy có:

 Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 

 Bán kính r R2 d I2( , ) 

Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  4x 2y 2z 3 0     Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại

điểm M(0;1;-2)

Trang 16

IV BÀI TẬP VÍ DỤ Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x     y z 8 0 và đường thẳng

Trang 17

 Lấy điểm N  (d), tọa độ N có dạng N 1 3t; 1 2t;5 3t     , ta có:

Trang 18

thẳng   nằm trong (P) saocho   vuông góc với (d) và khoảng cách từ M đến  

có VTCP là

a1 n ; n P d '   6;9; 3   3 2; 3;1   Phương trình đường thẳng cần tìm là:  1

x 5 y 2 z 5 :



Trang 19

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 0;1 , B 1; 2;1 ; C 4;1; 2       và mặt

phẳng (P): x    y z 0 Tìm trên (P) điểm M sao cho 2 2 2

MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất

 Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương

B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Bài giải

Trang 20

2 2 2 2

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1; 2 , B 1;1;1 , C 2; 2;3       và mặt

phẳng (P): x     y z 3 0 Tìm điểm M trên (P) sao cho MA  MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 21

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt

phẳng 5x  4y 3z   20  0;3x  4y    z 8 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm

Trang 22

3 1

2 :

Xét hình bình hành ABCD có A( 1 ; 0 ; 0 ),C( 2 ; 2 ; 2 ), Dd. Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2

Bài giải

2

1 2

3 1

1 ,

Trang 23

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A

và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho tam giác ABM vuông tại M

Trang 24

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3), C(0;2;1)

Lập phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ

A của tam giác ABC

Tìm được tọa độ tâm I của mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu:R 3

Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2

( 1) ( 2) 3

x  y  z  Giả sử H(x;y;z),AH   (x 1; y 2; z 1),   BC (1; 2; 2),  BH  (x 1; ;y z 3)

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;5;1 và mặt phẳng

( ) : 6P x 3y 2z 24  0 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784  và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) Suy ra:

Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 2

4 R  784   R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH  ( )P  I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ;5 3 ;1 2  t  t  t, với t  1

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Trang 25

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ

điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với

(ABC) nên OH //n( 2 ; 1 ;  1 ) ;HABC

Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=

1

; 3

2

; 3

4 (

d Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d; tìm tọa độ điểm

A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 2 3

Ta có phương trình tham số của d là

7 18

Trang 26

Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD BC

Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng  P

Gọi B x y z' ; ;  là điểm đối xứng với B5; 1; 2   

Suy ra B'  1; 3; 4 Lại có MA MB  MA MB '  AB'  const

Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M A B, , ' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng  P

'

AB có phương trình

1 3 2

x t y

AB song song với (P)

+ Đường thẳng AB đi qua A, VTCP AB  12; 6; 4    có PTTS là

B

M

P

Trang 27

Câu 11 Trong khoâng gian Oxyz cho đđường thẳng (d1) : 2 3

Tọa độ giao điểm I(1;2;-1)

Trên (d1) lấy M1(2;0;-3).tọa độ hình chiếu của M1lên (d2) là H(13 17; ; 16)

7 7 7



Điểm đối xứng của M1 qua (d2) là M’1(22 34; ; 11

7 7 7



) đường thẳng (d) đi qua I có VTCP (15 20; ; 4)

7 4 1 7

Câu 12 Trong không gian oxyz cho điểm A(0;2;2) Viết phương trình đường thẳng 

qua A và vuông góc đường thẳng 1: 1 2

Trang 28

Câu 14 Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d)

 Phương trình vô nghiệm  d // (P)

Lấy điểm A(0; 1;1) d

Gọi  là đường thẳng qua A và vuông góc với mp(P)

x t: y 1 t

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P)    H (P)

Thay x, y, z của phương trình  vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

d ' : y t

32

Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2  (P) suy ra B(2; 3; 1)

Đường thẳng  thỏa mãn bài toán đi qua A và B

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u (1; 3; 1) 

Phương trình chính tắc của đường thẳng  là: 1 2

Trang 29

Đường thẳng () có phương trình tham số:

Trang 30

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P)

a/  d1 đi qua điểm M1(1; 2; 3), có vtcp u1 (1;1; 1)

 d2 đi qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u2 (1;2; 3)

a Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α)

b Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

a (S) có tâm I(2;-1;-2) và bán kính R=4

Trang 31



  



Vậy (β) có pt là x-2y+2z+12=0 hoặc x-2y+2z-12=0

Câu 21 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;3; 1  , B 1;1;3 và đường thẳng d có phương trình 1 2

x y z

 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn

AB và tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho CAB là tam giác cân tại C

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB: M0; 2; 1, AB   2; 2; 4

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua M, nhận n1; 1;  2 làm VTPT nên có phương trình:

   



  



Vậy pt của (P) là x+2y-z-2+4 6=0 hoặc x+2y-z-2-4 6=0

Pt của d được viết dưới dạng tham số 1 2

Trang 32

Gọi d’ là đt cần tìm,và H(t ;1+2t ;2-t) là giao điểm của d và d’

BC  AB  Vectơ pháp tuyến của (ABC) là: nABC BC AB, 1; 2;1

Suy ra VTPT của   là :nBC n, ABC  5; 2;1

Pt   :   5x 2y  z 8 0

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 1; 2 ,   B 3; 0; 4   và mặt phẳng (P) : x 2 y 2 z 5     0 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P)

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (Q) chứa Ox  (Q): ay + bz = 0

Trang 33

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0)  (Q): y – 2z = 0

Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;2), (0; 0;2)B và đường thẳng : 3 6 1

Gọi (S) là mặt cầu tâm B, có bán kính là R

Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có Rd(B; (P))  2

Trang 34

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

Viết lại 1 và  2 dưới dạng tham số

Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)

Theo đề bài mặt phẳng (P) có VTPT  

1;3;1

; 3; 2; 3 2;3; 0

Trang 35

a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mp (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mp (P) biết rằng mp (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON

a) Vì (S) có tâm A và tiếp xúc (P) nên bán kính của (S) là R = d(a, (P)) = 8

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi AI

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1 ( t t t H

d

H    vì H là hình chiếu của A trên d nên

) 3

; 1

; 2 ( ( 0  

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,67 MB