Toa do diem vecto trong he truc toa do oxyz toan 12 bcpnp

TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm góc[.]

TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông

góc với nhau từng đôi một và chung một điểm góc O Gọi

; ;

i j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox; Oy;

Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc

trong không gian

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Các mặt phẳng Oxy ; Oyz ; Oxz đôi một vuông góc với

nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Chú ý: i j k; ; là các vectơ đơn vị đôi một vuông góc nên i2  j2 k2  1 và i j  j k k i  0

II Tọa độ, vectơ

1) Định nghĩa: Nếu ux y z; ;  u x i y j z k.

2) Các công thức về vectơ

Cho 2 vectơ: ux y z1 ; 1 ; 1 và vx y z2 ; 2 ; 2 ta có:

 Tổng và hiệu của hai vectơ: u v x1 x y2 ; 1 y z2 ; 1 z2

 Tích của một vectơ với một số: kuk x1 ;ky kz1 ; 1 k 

 Hai vectơ bằng nhau:

1 2

1 2

1 2

x x

z z







  

 



Chú ý: 0 0; 0; 0 ; i1; 0; 0 ; j0;1; 0 ; k0; 0;1

III Tọa độ của điểm

1) Định nghĩa:

Điểm M x y z ; ; OM x i y j z k. (trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ)

2) Tính chất:

Cho 2 điểm A x y z 1 ; ; 1 1 ;B x y z2 ; 2 ; 2 ta có:

Trung điểm của đoạn AB là M có tọa độ là:

1 2

1 2

1 2

2

2

2

x M

M

M

x x

y y y

z z z

















Khi đó: 1 2 ; 1 2 ; 1 2

x x y y z z

Nếu C x 3; y ;3 z3 và ABC tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì:

3 3 3

x G

G

G

x x x

y y y y

z z z z









 



B BÀI TẬP

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ a1; 2;3 ; b0; 1;1 ;   c1;5; 2 

a) Tìm tọa độ các vectơ u  a b c và v 2a 3b c

b) Tính a b b c ; và a c.

c) Tính cos a b; và cos b c;

Lời giải:

a) Ta có: u1; 2;3  0; 1;1    1;5; 2  0; 4; 2  

2 1; 2;3 3 0; 1;1 1;5; 2 2; 4; 6 0; 3;3 1;5; 2 3; 6;11

b) Ta có: a b     0 2 3 1; b c  3; a c 17.

Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A0;1; 2 ;   B 2;1;0 ; C 1; 4;5 

a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

c) Tính cosin góc ABC

d) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho MBMC

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:  

1 3

2 1; 2;1 3

1 3

G

A B C G

A B C G

z z z z











b) Để ABCD là hình bình hành thì ABDC2; 0; 2   1 x D; 4 y D;5 z DD 1; 4;3

c) Ta có: BA  2; 0; 2 ;   BC  1;3;5

4 4 1 9 25 70

BA BC

BA BC

d) Do điểm MOx nên ta gọi M x ; 0; 0 ta có 2 2

MBMCMB MC

2

Vậy 37; 0; 0

2

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho a2; 5;3 ;   b0; 2; 1 ;   c1; 7; 2 ; d 0; 17; 2   

a) Tìm u a 4b 2c

b) Tìm m; n; p biết rằng dm a n b  p c.

Lời giải:

a) Ta có: u2; 5;3    4 0; 2; 1   2 1; 7; 2  2; 5;3    0;8; 4   2;14; 4  0; 27;3  

b) Ta có: d m a n b p c 0; 17; 2    m2; 5;3   n 0; 2; 1   p1; 7; 2

       

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 vectơ ux; 2x 3; 2 và vy;  4; 8 Tìm x

và y để u và v cùng phương

Để u và v cùng phương thì uk v x; 2x 3; 2k y ;  4; 8

4

x ky

k







x

Vậy x 1; y 4.

Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A2;5;3 ; B 3;7; 4 ; C x y; ;6, tìm x, y để

A, B, C thẳng hàng

Lời giải:

Ta có: AB1; 2;1 ; ACx 2;y 5;3

Để A, B, C thẳng hàng thì

Vậy x 5; y 11.

Ví dụ 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 vectơ a1; log 5; 3 m và b3; log 3; 4 5  Tìm m

để ab.

Lời giải:

Để a b a b    0 3 log 5.log 3 43 5  m    0 3 1 4m    0 m 1.

Ví dụ 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a2 2; 1; 4  

a) Tìm vectơ b cùng phương với a, biết rằng b  10.

b) Tìm vectơ c cùng phương với a, biết rằng a c  100

Lời giải:

a) Vì b cùng phương với a nên bk a 2 2 ;k k; 4k

Do đó b 2a4 2 ; 2;8   hoặc b  2.a  4 2 ; 2; 8  

b) Vì c cùng phương với a nên ck a 2 2 ;k k; 4k

Khi đó a c  8k k 16k  25k 100    k 4 c 8 2 ; 4;16  

Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a và b sao cho

 a b;  120 , biết a  2; b  3 Tính ab và a 2b

Lời giải:

2 4 2 cos120 9 13 12 cos120 7

Do đó a b 7

2 4 4 4 4 cos120 4.9 40 24 cos120 52.

a b  a b  a  a b b   a b      

Do đó: a 2b  52

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u i m 1 j 2k Tìm giá trị m

để u  6 Khi đó giá trị m bằng:

A 0 .

2

m

m





  

Lời giải:

Ta có: u1;m 1; 2 suy ra 2  2 2  2 0

2

m

m





Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G Biết

1; 1; 2 , 2;1; 3 , 1; 2; 3 

A   B  G   Khi đó tọa độ điểm C là :

A 4; 2; 8

3 3 3

  B 0; 6; 4    C 4; 2; 8    D    1; 4; 1

Lời giải:

Giả sử C x C;y C;z C Khi đó:  

 

3.1 1 2 0

C

C

C

x

z





      



Chọn B

Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a2; 1;10   , biết b cùng chiều với a

và có a b  10 Chọn phương án đúng

A b  6;3; 0  B b  4; 2; 0  C b6; 3; 0   D b4; 2; 0  

Lời giải:

2

k





Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm

1; 2; 1 ; 2; 1;3 ;  3;5;1

A  B  C  Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D 4;8; 3   B D 2; 2;5  C D 2;8; 3   D D 4;8; 5  

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên ABDC1; 3; 4      3 x D;5 y D;1 z D

 4;8; 3

D

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ

2; 1; 0 ; 1; 2;3 ; 4; 2; 1

(3) a cùng phương với c (4) b  14.

Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Lời giải:

Ta có a b       2 2 0 0 a b  1 đúng

+) b c      4 4 3 5  2 đúng

+) 2 1

4    2 a không cùng phương với c  3 sai

1 2 3 14 4

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;1 , B  1; 2;3 Tìm tọa

độ điểm M sao cho AM  2BM

A 1 3; ; 2

2 2

  B M1;3; 4  C M 4;3;5  D M5;0; 1  

Lời giải:

Giả sử M a b c ; ;  Ta có: AM  2BM a 2;b 1;c  1 2a 1;b 2;c 3

 

 

 

5

c

     



Chọn C

Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M 1;1; 2 ; N 1; 4;3 ; P 5;10;5

Khẳng định nào sau đây sai?

A MN 14.

B Các điểm O, M, N, P cùng thuộc một mặt phẳng

C Trung điểm của NP là I3;7; 4

D M, N, P là ba đỉnh của một tam giác

Lời giải:

Ta có: MN2;3;1 ; MP6;9;3 suy ra MP 3MN nên M, N, P thẳng hàng suy ra khẳng định D

sai Các khẳng định còn lại đều đúng Chọn D

Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A1; 2; 1 ,   B 3;0;3  Tìm

tọa độ điểm C sao cho G2; 2; 2 là trọng tâm tam giác ABC

A C2; 4; 4 B C0; 2; 2 C C8;10;10 D C   2; 4; 4

Lời giải:

Giả sử C a b c ; ;  Vì G là trọng tâm ABC nên

3.2 1 3 2 3.2 2 0 4 2; 4; 4 3.2 1 3 4

a

c



     



Chọn A

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có

0;0;0 , 3;0;0 ,

A B D0;3; 0 và D0;3; 3   Tọa độ trọng tâm của tam giác A’B’C’ là:

A 1;1; 2   B 2;1; 1   C 1; 2; 1   D 2;1; 2  

Lời giải:

Từ giả thiết ta có:

0; 0; 3 0; 0; 3







Chọn D

Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy tính góc giữa hai vectơ a1; 2; 2   và

 1; 1; 0 

b  

A  a b,  120  B  a b,  45  C  a b,  60  D  a b,  135 

Lời giải:

Gọi  là góc giữa hai vectơ Ta có:

     

     2 2 2

2

Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

1; 1;3 , 2; 3;5 ,  1; 2;6 

A  B  C   Biết điểm M a b c ; ;  thỏa mãn MA 2MB 2MC 0, tính

.

T   a b c

A T 3 B T  5 C T  11 D T  10

Lời giải:

Ta có: MA 2MB 2MC  0 MA 2CB  0 MA 2BC  2 3;1;1M7; 3;1  

Suy ra T    a b c 11. Chọn C

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M2;3; 1 ,   N  1;1;1 và

1; 1; 2 

P m Tìm m để tam giác MNP vuông tại N

A m  6 B m 0 C m  4 D m 2

Lời giải:

Ta có: NM3; 2; 2 ,   NP2;m 2;1 Để tam giác MNP vuông tại N thì

    0 3.2 2 2 2 1 0 0.

NM NP   m     m Chọn B

Ví dụ 21: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A và B thỏa mãn OA  3i 2j 4k và

2

AB i j Trung điểm I của AB có tọa độ là

A I2; 2; 2    B I 2; 2; 2 C 7; 3; 4

2

I   

  D I7; 3; 4   

Lời giải:

Ta có: A3; 2; 4 ,    OBOAAB  4i 4j 4k suy ra B4; 4; 4   

Do đó trung điểm của AB là: 7; 3; 4

2

I   

  Chọn C

Ví dụ 22: Vectơ ua b c; ;  có độ dài bằng 2, tạo với vectơ a1;1;1 góc 30 , tạo với vectơ

1;1; 0

b góc 45  Tìm tất cả các giá trị của a

A a 1. B a  2 2. C 2 2.

2

a 

D a  2 3.

Lời giải:

2 3

a b c

2

2 2

c

a b

a b







2

Chọn C

Ví dụ 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho a và b tạo với nhau một góc 120  Biết rằng

A A 50. B A 50. C A 2 6. D A 37  13.

Lời giải:

2 16 2 cos120 9 37

2 16 2 cos120 9 13

Do đó A    a b a b 37  13. Chọn D

Ví dụ 24: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ các

đỉnh A 3; 2;1 , C 4; 2;0 , B 2;1;1 , D3;5; 4 Tọa độ điểm A là:

A A  3;3;1  B A   3; 3;3  C A    3; 3; 3  D A  3;3;3 

Lời giải:

Trung điểm của AC là 1; 2;1 .

2 2

Trung điểm của B’D’ là 1;3;5 .

2 2

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên AA OO

x A 3;y A 2;z A 1 0;1; 2

 3;3;3 

A

Ví dụ 25: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ u vuông góc với 2 vectơ a1;1;1 và

1; 1;3

b  , u tạo với tia Oz một góc tù và u  2 6 Tọa độ vectơ u là:

A 2; 1; 1    B  4; 2; 2  C 4; 2; 2    D 2; 2; 4  

Lời giải:

Gọi ux y z; ;  ta có

 

 

 2  

0 1

3 0 2

2 6 24 3

x

z

y z

x y

x y z



  



   







Do u tạo với tia Oz một góc tù nên u k    0 z 0

Từ (1) và (2) ta có: 2

3

z

y z



4z z z  24

Với điều kiện z      0 z 2 u 4; 2; 2    Chọn C

Ví dụ 26: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A1; 2; 1 ;   B 2; 1;3 ;   C  4;7;5  Gọi điểm D a b c ; ;  là chân đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Tính a b c 

Lời giải:

Ta có: AB 26; BC 2 26.

2

BC  DC  DC 

Do D nằm giữa 2 điểm A và C nên

 

 

D

a a

c c

  





    



2

3

11

4.

3

1

a

c

  







     









Chọn A

Ví dụ 27: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A1; 2;3 ; B 5; 2; 1    Tìm tọa độ điểm

 ; ; 

M a b c thỏa mãn MA MA  4MB MB. Giá trị của biểu thức a b c  là

3

3

Lời giải:

MA MA MB MBMA MA  MB MB MA  MB MA MB

Theo đề thì ta dễ thấy hai vectơ MA MB; cùng chiều nhau

Do đó





Ví dụ 28: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1; 2; 1 ,   B 2;3; 4 và C3;5; 2   Tìm tọa

độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A 5; 4;1

2

I 

37

; 7; 0 2

I  

27

;15; 2 2

I 

7 3 2; ;

2 2

I  

Lời giải:

Nhận thấy AB1;1;5 ; AC2;3; 1   AB AC  0 nên tam giác ABC vuông tại A khi đó trung điểm

5

; 4;1

2

I 

  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC Chọn A