Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168III.. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A.. Tóm tắt lí thuyết I... Nguyên hàm – Tích phân FB: http://
Trang 1Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
A Tóm tắt lí thuyết
I CÔNG THỨC
1 Công thức tính diện tích hình phẳng
( ) ( )
b
a
S f x g x dx ( ) ( )
b
a
2 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay
V f x dx
b a
2
) (
V f y dy
b a
2
) (
b x
a x
x g y
C
x f y
C
H
:
:
) ( :
)
(
) ( :
)
(
:
)
(
2
1
2
1
b y
a y
y g x C
y f x C
H
: :
) ( : ) (
) ( : ) ( : ) (
2 1 2 1
x
y
)
(H
) ( :
) (C1 y f x
) ( : ) (C2 yg x
a
O
x
y
)
(H
a
b
) ( : ) (C1 x f y
) ( : ) (C2 xg y
a
y
b
y
O
) ( :
) (C y f x
b
a
x y
O
b
a
x
y
0
x
O
) ( : ) (C x f y
b
y
a
y
Trang 2Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
3
y x x và đường thẳng y 2x 1
Bài giải
♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường
2 2 1
2
x
x
♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là
2 2 1
2
2
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi
x
và x1 xung quanh trục hoành
Bài giải
♥ Thể tích khối tròn xoay là
1
2 0
d
.
x V
x
♥ Đặt t 4 3 , x ta có khi x 0 thì t 2, khi x 1 thì t 1 và
2 4 3
t
x
nên d 2 d
3
t
x t Khi đó ta có
t
2 1
Trang 3Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e x 1 ,trục hoành, x = ln3
và x = ln8
Diện tích
ln 8
ln 3
1
x
t e t e e t
1
t
t
2
t
2
t t t
Câu 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
2
x y x
1
1 2
x
x
Ta có
0
1
1 2
x
x
0 1
3
2 dx
x
1 (x 3ln x 2 )|
Câu 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y (x 1) lnx và đường thẳng
1.
y x
+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 -8 2
-5
x = 1 hoặc x = e
+ Diện tích cần tìm là:
2
2
x
S x x dx x x dx x d x
2
2
1
e
2
4
e e
Câu 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 2
đường thẳng x=0, x=2
2
x x
Diện tích của hình phẳng đã cho:
Trang 4Câu 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 2
yx , y 2x 3 và hai đường thẳng x =0, x=2
f x x f x x
3 [0;2]
x
x
Diện tích hình phẳng đã cho
2
2 0
Câu 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 2
2
x
x
Diện tích hình phẳng
2
2
Câu 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
2
x
x
hay
2
Câu 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C :yx33x2 4 và đường thẳng
Trang 5Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
x3 3x2 4x1x3 3x2 x30
1 x
3 x
1 x
Diện tích hình phẳng phải tìm:
1
2 3 3
1
2 3
dx 3 x x 3 x dx
1 x 4
x 3 x
S
3 1
2 3 1
1
2 3
dx 3 x x 3 x dx
3 x x 3 x
3 1
2 3 1
1
2 3
dx 3 x x x dx
3 x x 3
x
3
1
2 3 4 1
1
2 3 4
x 3 2
x x 4
x x
3 2
x x
4
x
8
4
4
Câu 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y (x 1).(x22 )x với trục hoành
Ta có
0 1 2
2 ( 1).( 2 ) 0
x x x
Do đó diện tích cần tìm là
2
0
2 ( 1).( 2 )
dx
1
4
1
1 (0 1)
4
1
.
2
Câu 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D)
giới hạn bởi y 1 x2, y0
Trang 6Ta có: 2
1x 0 x 1
( )
b
a
Ta có:
1
2 2 1
(1 )
2x
1 2x
x
Câu 11 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y xsinx, các trục Ox, Oy và đường thẳng
4
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
V=
4
2 0
( xsin )x dx
1 cos 2
x
+
4
0
xdx
2 4 2 0
x
0 xcos 2xdx
2 sin 2x
0 xcos 2xdx
8 4
64
Câu 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x =
4
quanh trục Ox
Gọi V là thể tích của vật thể cần tìm:
0
2
0 cos
dx x
x
Câu 13 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
1
1
x x
Gọi V là thể tích của vật thể cần tìm:
1 7
4 0
x
