CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
§1 NGUYÊN HÀM
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f x( ) x2–3x 1
x
b) f x( ) 2x42 3
x
x
d) f x( ) (x2 21)2
x
e) f x( ) x 3x 4x f) f x( ) 1 32
g) ( ) 2sin 2
2
x
f x h) f x( ) tan 2x i) f x( ) cos 2x
k) ( ) 2 1 2
sin cos
f x
sin cos
x
f x
m) f x( ) 2sin3 cos2 x x
n) f x( )e e x x – 1 o) ( ) 2 2
cos
x
x
p) f x( ) e3 1x
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f x( ) x3 4x 5; F(1) 3 b) f x( ) 3 5cos ; x F( ) 2
c) f x( ) 3 5x2; F e( ) 1
x
2
x
x
e) f x( )=x321; F( 2) 0
x
x
g) ( ) sin2 cos ; ' 0
3
f x x x F
h) f x( ) 3x4 22x3 5; (1) 2F
x
i) ( ) 3 3 3 32 7; (0) 8
( 1)
x
x
Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho
trước:
a) ( ) cos 2 ; ( ) sin ; 3
2
g x x x x f x x x F
b) g x( ) xsinx x f x 2 ; ( ) xcos ;x F( ) 0
c) g x( ) x x x f xln 2 ; ( ) ln ; x F(2) 2
Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a) ( ) (4 5)
( ) (4 1)
x x
( ) 4tan 4tan 3
Trang 2c)
2 2
4 ( ) ln
3 2 ( )
x
F x
x x
f x
2 2 2 4
2 1 ( ) ln
2 1
2 2( 1) ( )
1
F x
x
f x
x
Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a) ( ) 23 (3 2) 2 4 3 .
( ) 3 10 4
2 2
( )
Tìm m x
f x
2
( ) ( 3)
x x
F x ax bx c e Tìm a b c
e) ( ) ( 22 ) 22 , ,
( ) (2 8 7)
x x
( ) ( 3 2)
x x
g) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin3 , ,
( ) cos
h)
2 2
, ,
( )
2 3
Tìm a b c
f x
x
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
a) (5x 1)dx b) (3 2 )dx x 5 c) 5 2xdx
d) (2x2 1) 7xdx e) (x3 5)4 2x dx f) 2x 5dx
x
g) x2 1.xdx h) 3 2 3
5 2
x
k) sin 4xcosxdx l) cossin5x dx
x
n)
3
x x
e dx
e
x
q) ln xdx3
x
x
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a)
2 3
(1 )
dx x
d)
2
4
dx x
g) 2
2
1
x dx x
Trang 3VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Tính các nguyên hàm sau:
a) x.sinxdx b) xcosxdx c) (x2 5)sinxdx
d) (x2 2x 3)cosxdx e) xsin2xdx f) xcos2xdx
g) x e dx. x h) x e dx 3 x2 i) ln xdx
k) x xdxln l) ln xdx2 m) ln(x2 1)dx
n) xtan 2xdx o) x2cos2xdx p) x2cos2xdx
q) xln(1 x dx2 ) r) x.2x dx s) x xdxlg
Tính các nguyên hàm sau:
a) e dx x b) ln xdx x c) sin x dx
d) cos x dx e) x.sin x dx f) sin xdx3
g) ln(ln )x dx
x
Tính các nguyên hàm sau:
a) e x.cosxdx b) e x(1 tan x tan )2x dx c) e x.sin2xdx
d) ln(cos )2
cos
x dx x
x
x
2
1
x
1
x
2
ln x dx
x
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Tính các nguyên hàm sau:
a) sin
sin cos
d) cos
sin cos
g) 2sin sin2 2x xdx h) 2 cos sin22x xdx i) x e x x dx
e e
k) x e x x dx
e e
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Tính các nguyên hàm sau:
a)
( 1)
dx
x x
x
Trang 4d) 2
7 10
dx
x x
g)
( 1)(2 1)
x x
x x
k) 2
( 1)
dx
x x
x
Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
1 x 1dx
x x
x
d) 14 dx
x x
x x
x x
2
dx
x x x
1
x dx
x x
k)
2
dx
dx
x x
dx
x x
Tính các nguyên hàm sau:
a) sin2 sin5x xdx b) cos sin3x xdx c) (tan2x tan )4x dx
d) cos2
1 sin cos
g) 1 sin
cos
x dx x
x
cos cos
4
dx
x x
k) cos cos2 cos3x x xdx l) cos xdx3 m) sin xdx4
Trang 5§2 TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Tính các tích phân sau:
a)
2
1
3
) 1 2
2
1
1 3 2
)
3
x
1 2
1
dx x x
d) 2 2
x dx x
1
2 2
2 4
4
dx x
2 1
e
x x
g) 2
1
( x 1)(x x 1)dx
1
(x x x x dx)
4
1
4 3 4
2 x x dx x
k) 2 2 3
1
2
x
2
1
x
1
1 4
3
x
Tính các tích phân sau:
a) 2
1
1
x dx
2
dx
x 2 2
1
(x x x x dx)
d) 03
2
4
3 1
x
Tính các tích phân sau:
a)
0
) 6 2 sin( x dx b) 2
3
(2sinx 3cosx x dx )
0
sin3x cos2x dx
d) 4 2
0
tan cos
x dx x
e) 3 2 4
3tan x dx
f) 4 2 6
(2 cot x 5)dx
g) 2
0 1 sin
dx x
0
1 cos
1 cos
x dx x
i) 2 2 2 0
sin cosx xdx
6
(tanx cot )x dx
l) 2
2
sin( ) 4 sin( ) 4
x dx x
m) 4 4
0
cos x dx
Tính các tích phân sau:
a) 1
0
dx
1
( 1).
ln
4 2
x x
e
d) 0ln2
1
x x
e
x
Trang 6g) 2 cos
h) 14e x dx
x
1 ln
x
k) 1elnx dx
x
0
1
1 e x dx
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a)
1
0
19
) 1 ( x dx
0
3 2 3
) 1 ( x
0 2 5
1dx
x x
d) 1
0
1
x x dx
0
1
g) 23
5
2
4
x x
3 5
1
2
dx x
x
0 1
x x
e
k)
ln3
3
x x
e dx
e
ln
x
x x
1
ln ln 3 1
n) 2
0 cos2 4 sin2
2 sin
dx x x
0
2 3
sin 1
sin cos
dx x
x
0
2 2
cos sin
2
2 sin
dx x x
x
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a) 2
1
0
2
1 x
0
2 2
4 x
dx
1
2 2
4 x dx
d) 3
0
2
3
x
0
2 2
) 2 )(
1 (x x
0
2 4
1
x x xdx
g) 0
2
dx
1 3
2
1
dx x
1
0
5 2
1 x
k)
2
3
2
dx
x x
2 2 2
2
x
0
2
x x x dx
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Tính các tích phân sau:
a) 4
0
2 sin
xdx
0
2
cos ) sin (
xdx x
0
2
cos xdx
x
2
4
0
cos
4
tan
f) 1
0
2
) 2 (x e x dx
Trang 7g) ln2xe x dx
0
e
1
3
2
2 ) ln(x x dx
k) 2
0
3
5 sin
xdx
0
cos
2 sin
xdx
1
3 ln
o) x x dx
e
1
2 3
e
dx x
x
1 2
ln q) x(e x x 1 )dx
0
1
3 2
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Tính các tích phân sau:
a)
2
0
2 dx
2
0
2
dx x
2
0
2
3 2
d) 3 2
3
1
2
(x 2 x 2 )dx
0
2x 4dx
g) 4 2
1
x x dx
3
0
2 3
4
4x x dx
1
4 x dx
Tính các tích phân sau:
a) 2
0
2 cos
0
1 sin2 x dx
2
sin x dx
d) 1 sin xdx
0
1 cos xdx
0
1 cos2xdx
g) 3 2 2
6
tan x cot x 2dx
2
cosx cosx cos xdx
i) 2
0
1 sin xdx
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Tính các tích phân sau:
a) 3
1
3
x x
0 2
6
5x
x
0 2 3
1
2x
x
dx x
d)
1
0
3
2
1 x dx
3
2
9 2
1 x
dx
1 2 ) 1 ( x x dx
g) 4
2 x (x 1 )
1 0
2
6 5
11 4
x x
dx
0
1 1
x
k) 0 3 2 2
1
2
x
Tính các tích phân sau:
Trang 8a) 2
0
2
2
2x
x
3
0 2 2 1
2 3
dx x
0
2
2 3
4
9 4 2
dx x
x x x
0
1 (x 2) (x 3) dx
0
1 1
x
0 1
x
g) 2 4
1
1 (1 )dx
x x
1
1
x
k) 2 2
0
1
4 x dx
1
1 1
x dx x
0
2 1
x dx x
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
2
1dx
x
0
2 3
1
dx x
x
dx
d) 2
dx
4
1
dx x
x
g) 10
dx
x x
1
0
2 3
1dx
x
3 4
dx x x
k) 3
7
0
3
1 3
1
dx x
2
dx
x x
x
n)
2
2
0
1 1
x dx x
2 3 2
dx
dx
Tính các tích phân sau:
a) 1 2 2
0
1
1
1 1
dx x
d) 2 2
1
2008
0
10
0
1 x dx
g) 1
2
dx
dx
x
x dx
x x
k)
2
2
2 3
dx x
2 2 2
2
x dx x
5
1
12x 4x 8dx
Tính các tích phân sau:
a) 2
0
cos
7 cos2
xdx x
0
sinx cosx cos xdx
c) 2
2 0
cos
2 cos
xdx x
0
1 cos xsin cosx xdx
e) 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x
f) 3
0
cos
2 cos2
xdx x
Trang 9g) 2
2 0
cos
1 cos
xdx x
h) 3
2 4
tan cos 1 cos
0
sin2 sin
1 3cos
x
Tính các tích phân sau:
a) ln3
dx
e
x x
e dx
e
1
1 3ln ln
x
d) ln3 2
ln2
ln
ln 1
1
x x
e dx
e
g) ln3
x
0
x
e e
0
1
x
e dx
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Tính các tích phân sau:
a) 4
0
cos 2 sin
xdx
0
tan
0 1 3 cos sin
dx x x
d) 2
0
3
sin
0
2
sin f)
0
2
3 cos x
g) 2 2 4
0
sin xcos xdx
h) 2
0
3 2
cos sin
xdx
0
sin xcos xdx
k) 2 3 3
0
(sin x cos )x dx
l) 2 3
0
cos cos 1
x dx x
cos 2 sin
dx x
x
n) 4 3
0
tan xdx
4
tan xdx
4
sin cos
dx
q) 2 32
0
sin
1 cos
x dx x
r) 2 3
0
cos
1 cos
x dx x
s) /3 4
/6 sin cos
dx
Tính các tích phân sau:
a) 2
0
5 3
cos sin cos 1
xdx x
6
cos sin
2 cos 2 sin 1
dx x x
x
x x
x
3
4
2 cos 1 cos tan
0
cos2 (sinx x cos )x dx
e) 4
0
sin
) cos (tan
dx x e
x x f) 2 x x dx
0
3 2
2 sin sin
1
g) 3
0
sin ln(cos )x x dx
0
sin (tan 1) cos
3
1 sin x 9cos x dx
Trang 10Tính các tích phân sau:
a) 2
3
1 sinx dx
0 2 cos
dx x
0
1
2 sin x dx
d) 2
0
cos
1 cos
x dx x
e) 2
0
cos
2 cos
x dx x
f) 2
0
sin
2 sin
x dx x
g) 2
0
1 sinx cosx 1dx
h) 2
2
sin cos 1 sin 2cos 3
i) 4
0 cos cos( )
4
dx
0
(1 sin )cos (1 sin )(2 cos )
l) 3
4 sin cos( )
4
dx
6 sin sin( )
6
dx
Tính các tích phân sau:
a) 2
0
cos ) 1 2
(
xdx
0 1 cos 2
x
0 2
cos
dx x x
d) 2 3
0
sin xdx
0
cos
f) 2 2 1 0
sin2 x e x dx
g) 2
1
cos(ln )x dx
6
ln(sin ) cos
x dx x
0
(2x 1)cos xdx
k) 2 2
0
sin
x
l) 4 2 0
tan
0
sin cos
n) 2 2
0
sin cos
x
o) 4
0
ln(1 tan ) x dx
p) 4
0 4
cos
x dx
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Tính các tích phân sau:
a) 1
0 1 x
x
e
dx
0 e x 5
0
1 4
x dx
e
d) ln8
3
dx e
e
x
x
e) ln8
3 ln
2
1e dx
e x x f) ln2
0 1
1
dx e
e
x x
g) 2
1
1
1 ex dx
x x
e
x x
e
k) 2
1
ln (ln 1)
x x
e
0
1 1
x dx
e
Trang 11Tính các tích phân sau:
a) 2
0
sin
xdx
0
2
dx
0
dx
xe x
d) 2
0
cos ) cos (
xdx x
1
0
1
ln x dx
1
1 ln
x
g)
2
ln ln(ln )
e
e
x
e
dx x x
x
x
1
2 ln 1 ln
3
2
ln(ln )
e e
x dx x
k) 2 2
1
ln xdx
x
6
ln(sin ) cos
x dx x
m) 1
0
ln( 1) 1
x
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Tính các tích phân sau (dạng 1):
a) 4 7 5 43
4
1 cos
x
2
cos ln(x x 1 x dx)
c)
1 2 1 2
1 cos ln
1
x
x
2 1
ln x 1 x dx
x dx
1
sin 1
x
g) 2 5
2
sin
1 cos
x dx x
2
4 sin
xdx x
2
cos
4 sin
x
Tính các tích phân sau (dạng 2):
a) 1 4
1 2x 1
1
1
1 2x
x dx
dx
d) sin2
3x 1
x dx
e)
3
3
2
2 1
1
dx
x
dx x
g) 2
2
sin sin3 cos5
1 x
e
4
sin cos
6x 1
i) 2 2 2
2
sin
1 2x
Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)2
0
cos cos sin
n
(n N * ) b) 2 7 7 7
0
sin sin cos
c) 2
0
sin sin cos
d) 2 2009 2009 2009
0
sin
e) 2 4 4 4
0
cos cos sin
0
sin cos sin
Tính các tích phân sau (dạng 4):
Trang 12a) 2
0
.sin
4 cos
x
0
cos
4 sin
x
c) 2
0
1 sin ln
1 cos
x dx x
d) 4
0
ln(1 tan ) x dx
0
.cos
0
.sin
g)
0 1 sin
x
h)
0
sin
2 cos
x
0
sin
1 cos
x
k) 4
0
sin 4 ln(1 tan )x x dx
0
sin
9 4 cos
x
0
sin cos
Tính các tích phân sau (dạng 5):
a) 2
0
sin sin cos
0
cos sin cos
0
sin sin cos
d) 2
0
cos sin cos
0
sin sin cos
f) 2 4 4 4
0
cos sin cos
g) 2 6 6 6
0
sin sin cos
h) 2 6 6 6
0
cos sin cos
i) 2 2 0
2sin sin 2x xdx
k) 2 2
0
2 cos sin 2x xdx
l) 1
1
x
e e
1
x
n) 1
1
x
e e
1
x
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
a) 2
0
sinn
n
Đặt sin 1
sin
n
b) 2
0
cosn
n
Đặt cos 1
cos
n
c) 4
0
tann
n
Phân tích: tann x tann 2xtan 2x 1 tan n 2x
d) 2
0
cos
n n
Đặt
cos
n
u x
Trang 132
0
sin
n n
Đặt
sin
n
u x
e) 1
0
n x n
dv e dx
f)
1
ln
e n n
I x dx Đặt u dv dxlnn x
0
(1 )n
n
I x dx Đặt x cost Đặt sin2
sin
n
h) 1 2
I
x
Phân tích (1 1x2)n (11x x22)n (1 x x22)n
Tính 1 22
x
Đặt
2
(1 )n
u x
x
x
i) 1
0
1
n n
I x x dx Đặt u x dv n1 x dx.
k) 4
0 cos
n dx n
x
Phân tích 1 cos1
cosn cosn
x
x x Đặt 11
cosn
t
x
Trang 14§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x 2 4x 6,y 0,x 2,x 4 b) y lnx,y 0,x 1,x e
c) y 1 lnx,y 0,x 1,x e
x
2
x
x
e) y ln ,x y 0,x 1, x e
e
g)
4
1
2 1
x
x
10
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) 3 1, 0, 0
1
x
x
c) y e y x, 2,x 1 d) y x x y, 2 0,y 0
e) y 2 ,x y x2 2 2x 1, y 2 f) y x 2 4x 5, y 2x 4,y 4x 11
g) 2, 2, 27
27
x
x
h) y 2 ,x y x2 2 4x 4,y 8
i) y2 2 , 2x x 2y 1 0, y 0 k) y x2 6x 5, y x2 4x 3, y 3x 15
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x y, 1,y 0,x e
x
b) y sinx 2 cos ,x y 3, x 0, x
c) y 5x2 ,y 0,y 3 x x, 0 d) y 2x2 2 ,x y x 2 3x 6,x 0, x 4
e) y x y , 0,y 4 x f) y x 2 2x 2,y x 2 4x 5,y 1
g) y x y, 2 x y, 0 h) y 1 ,2x y e x, x 1
e
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y 4 x y x2 , 2 2x b) y x 2 4x 3 ,y x 3
c) 1 2, 1 2 3
2 1
x
x
e) y x y , 2 x2 f) y x 2 2 ,x y x2 4x
g) 2, 1 2
x
x
x
i) y x 2 2 ,x y x 2 k) y x 2 2,y 4 x
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x x 2 , y2 b) y2 x 5 0,x y 3 0
Trang 15c) y2 2y x 0, x y 0 d) y2 2x 1, y x 1
e) y2 2 ,x y x y , 0,y 3 f) y (x 1) , 2 x sin y
g) y2 6 ,x x2 y2 16 h) y2 (4 x) , 3 y2 4x
i) x y 3 1 0,x y 1 0 k) x2 y2 8, y2 2x
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x e y ;x 0; x 1; x 2. b) y x ln ; 2x y 0; x 1; x e
c) y e y e x; x; x 1. d) y 5 ;x 2 y 0; x 0;y 3 x.
e) y (x 1) ; 5 y e x x; 1. f) y ln ,x y 0, x 1, x e
e
g) y sinx cos , 2x y 0, x 0, x h) y x sin ;x y x x ; 0; x 2
i) y x sin ; 2x y ;x 0;x k) sin 2 sin 1, 0, 0,
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) ( ) : 12
2
C y x
x
, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3
b) ( ) : 2 2 1, 0
2
x
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 c) ( ):C y x 3 2x2 4x 3, y 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2
d) ( ):C y x 3 3x 2, x 1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2
e) ( ):C y x 2 2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) sin , 0, 0,
4
3
c) sin 6 cos , 6 0, 0,
2
e) y x 3 1, y 0, x 1, x 1 f) y x y 2 , x
g) 2, 3
y y h) y x2 4 ,x y x 2
i) sin , cos , ,
y x y x x x k) (x 2) 2 y2 9,y 0
l) y x 2 4x 6,y x2 2x 6 m) y ln ,x y 0,x 2
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy:
a) x 2 , 1, 4y y
y
c) y e x x, 0,y e d) y x y 2 , 1, y 2
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy