Bài 1 : Tính các tích phân sau: 1)
1 1
3 ln
e
x
x
2)
4
0
sin
4 cos
x
x
Gi i:
1)
1
1
3 ln
e
x
x
Cách trình bày 1:
2 1
e
Cách trình bày 2:
2 1
(3 ln ) (3 ln )
e e
x
V y 1 7
2
I
2)
4
0
sin
4 cos
x
x
Cách trình bày 1:
Cách trình bày 2:
(tan 1) (tan 1)
2 4 0
x
2 2
I
Bài 2 : Tính các tích phân sau: 1)
1
0
x
x e
e
2)
2 2
dx I
Gi i:
1)
2
x
x e
TÍCH P HÂN VÀ S GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân và s đ gi i thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 21 2 1
1
x
x
x
2
1
1
Bài 3 : Tính các tích phân sau: 1)
1
5 1
0
I x x dx 2)
3 2 0
1
I x x dx
Gi i:
1)
1
5 1
0
I x x dx
1
1
2
1
0
2)
3
2
0
1
I x x dx
2
3
0
Bài 4 : Tính các tích phân sau: 1)
0
1
5 3
x
3 2
0
1)
0 0
x
V y 1 1 ln9
3 2
0
3
3 0;2
3
0;1
Trang 3Khi đó 2 1 2 1 2 1
2
I x x dxxdx xdxxdx x d x
2
2
3
x
x
4
I
Bài 5 : Tính các tích phân sau: 1)
1 1 0
x
2)
0
x
x
Gi i:
1)
.(2 5)
2
1 2
2
0
.V y 1
ln
I
2)
1 2014
0
x x
Bài 6 : Tính các tích phân sau: 1)
2 2
0
sin cos
x
2)
1
2 0
Gi i:
1)
2
0
2)
2
1
Bài 7 : Tính các tích phân sau: 1)
ln 2 1
dx I
e
2)
0
2
sin 2
x
Gi i:
1)
ln 2
1
x
Trang 42
4 cos
d x
x
0 0
2 2
2
cos
2
x d
2
Bài 8 Tính các tích phân sau:
1)
ln 3
x x
e
e
2) 2
1
ln(1 ln ) (1 ln )
e
x
2
2 3
0 sin cos 2
3
2
x
5)
2
dx I
x
6)
2
dx I
7)
4
0
(sin cos ) sin 4
8)
2 8
4
4 sin
9)
1
2015 9
0 ( 1)
10)
4
0
tan sin 2 2 cos
x
Gi i:
3)
ln 3
x
2
e
3
2
0
3
2
Trang 55)
6)
+) Khi đó
8)
V y
9)
V y
2
3
dx
2
2
3 1
1
1
d
I
x
x
x x
4
0
(sin cos ) sin 4
7
4
0
ln 2
8
4
8
ln
9
I x x dx x x dx x x d x
1
0
9
1 4066272
I
Trang 610)
V y
Bài 9 Tính các tích phân sau v i (có 40 câu tích phân trong bài này) :
*) V i k = 1 Ta có:
+)
+)
+)
0
x
10
ln
1;5
k 2
0
sink
0 cosk
0 tank
4
cotk
2
3
1
sink
x
0
1 cosk
x
6
1 tank
x
4
1 cotk
x
2
2
0
2
2
0
4
2
2 1
4
2
2
1
3
1 sin
x
1
3
2
Trang 7Cách 2:
Cách 3:
+)
+)
*) V i k = 2 Ta có:
+)
+)
+)
+)
+)
1
x
3 3
1
ln 3 2
1
2
tan
x d dx
x
3
ln tan 2 x
1ln 3 2
2
4 1
6
ln 2 2
3 1
4
ln 2 2
2 2
2 2
1
cos
x
4
1
sin
x
4
2
2
3 3
1
cot sin
x
3
Trang 8+)
+)
+)
*) V i k = 3 Ta có:
+)
+)
( các b n có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 1 )
+)
(các b n có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 1 )
+)
Khi đó
6
6
0
1
tan cos
x
6
12
4
12
3
3
cos
3
x
3 3
3
sin
3
x
3
tan
cos
x
x
2
2
x
ln 2
22 1
1
ln 2 2
cot
sin
x
x
2
2
4
x
22
1
1
ln 2 2
t x dt xdx :1 0
2
Trang 9
+)
Khi đó
+)
+)
*) V i k = 4 Ta có:
+)
4 (1 t) (1 t) (1 t).(1 t) dt 4 (1 t) (1 t) 1 t 1 t dt
1 2
0
ln
t
ln 3
6
2
4 (1 t) (1 t) (1 t).(1 t) dt 4 (1 t) (1 t) 1 t 1 t dt
1 2
0
ln
t
ln 3
1
tan
x
1
cot
x
4
tan
ln cos 2
x
x
1
2
2
4
16
Trang 10
+)
(các em có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 2 )
+)
(các em có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 2 )
+)
+)
+)
2
4
tan
cos
x
x
2
x
12
2
4 4
cot
sin
x
x
2
4
x
12
2
4 4
2
3
x
27
2
x
27
1
tan
x
6
cot
cot 3
x
8 12
Trang 11+)
*) V i k = 5 Ta có:
+)
+)
(có th đ t )
+)
( các b n có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 3)
+)
( các b n có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 3 )
1
cot
x
4
tan
tan 3
x
8 12
5
2
0
8 15 cos
5
2
0
8 15 sin
tan
cos
x
x
2
x
ln 2
3
ln 2
cot
sin
x
x
2
4
x
ln 2
3
ln 2
Trang 12+)
t và thì
Khi đó Ta có:
Suy ra
+) t và
Khi đó (các b n xem cách tính ý trên) +)
t x dt xdx :
2
1 2
dt E
t
8 (1 t) (1 t) 2 (1 t) (1 t) (1 t).(1 t)
1 2
0
1 2
0
ln
t
ln 3
3616
2
1 2
dt F
t
1
cot
x
3
3
Trang 13
( các b n có th xem l i cách tính đã tính tr c đó v i k = 3 )
Bài 10 Tính các tích phân sau:
1) 2) 3)
4)
7)
Gi i:
1)
Khi đó
CHÚ Ý: Khi đ t
3)
3 4
x H
1
2
3
1
2
2
1
01 cos
dx I
x
0 2 cos
dx I
x
01 sin
dx I
x
4
4
0
sin 2 cos 3 cos 5
5 0
6 0
6 2
4
cos sin
x
x
1
x d
I
x
2
2
0 2 cos
dx I
x
2
2 1 tan
cos
1
dt dx
t
t x t
: 0 2
2
2
2
2 1
2 1
dt
dt t
I
t
3
: 0 6
2
u du
u
2
2
2 1 tan
dt dx
t
2
cot
2sin
I
x
2
1 sin
x x
Trang 14
5)
Ta có:
Khi đó
6)
7)
Bài 11. Tính các tích phân sau:
1)
Gi i:
1)
4
4
5
0
2
3
4
5
6
0
1
4
2
2 2
x
x
4
sin 2 2 cot
x
4
1
0
1 sin 2
x
3 2 0
sin
x
3
4
3
4
dx I
4 0 cos cos 3
5 0 cos 2 (sin sin 3 cos cos 3 )
0
2
Trang 15
V y
Cách trình bày 1:
Ta có:
+) V i
+) V i
(1)
*) Ta có:
1
2 1 2
I
3
2
0
sin
k
x
2
2
k k
x
1
1
cos
2
k
dx
1
sin
dx
3
k
3
2
0
sin
cot
dx
32
2
k
2
2
sin
dx I
dx
3
0
cos
6
3
0
cos
Trang 16
(2)
*) Ta có:
(3)
Thay (3); (2) vào (1)ta đ c:
+) V i
Ta có:
Khi đó
+) V i
+) V i
3
0
1 cos
2
1 cos
6
x x
3 3
2 0
0
sin
1 6
1
B
2
8
1
k
3
2
sin
ln sin
sin
6
x
3 2 0
sin
k
x
2
2
k k
6
: 0 3
:
t
1
2
6
ln 2
2
3
2
6
ln
t
8
Trang 17+) V i
3)
4) Ta có:
= Chú ý: Bài toán trên ta có th có cách bi n đ i : Xu t phát t công th c nhân 3 c a cos: ( sau đó nhân c 2 v v i ) 5) Ta có: = =
=
Khi đó:
3
3
2 6
3 cot
3 32
3
2
I
x
2
4 4
cot
sin
x d
x x
3 4
0
cos cos 3
1
cos 4 cos 2
8
4
3
cos cos 3
8
4
5
0
cos 2 (sin sin 3 cos cos 3 )
sin (1 cosx x)sin 3xcos (1 sinx x) cos 3x
sin sin 3x xcos cos 3x xsin cosx xcos sin 3x xsin cos 3x x
cos 2xsin cos sin 4x x x
2 cos 2x 2sin cos sin 2 cos 2x x x x cos 2x sin 2 cos 2x x
cos 2x sin 2 cos 2x x cos 2 (1 sin 2 )x x cos 2x
2
5
x
Trang 18
Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Ngu n : Hocmai.vn
Trang 195 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng