Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung - Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể qu

Trang 1

Trường THPT Lộc Bắc Giải tích 12

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức:

- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b

- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung

- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox

2 Về kỹ năng:

- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt

- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng

3 Về tư duy, thái độ:

- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích

- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK

2 Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới

III Tiến trình bài dạy:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ: Tính     

2

1

2 3x 2 dx x

I

3 Bài mới:

Tiết 1:

H 1: Ti p c n công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng cong và tr c hoànhện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ới hạn bởi đường cong và trục hoành ạn bởi đường cong và trục hoành ởi đường cong và trục hoành ường cong và trục hoành ục hoành

HĐTP 1: Xây dựng công thức

- Cho học sinh tiến hành hoạt

động 1 SGK

- GV treo bảng phụ hình vẽ 51,

52 SGK

- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách

tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục

Ox và các đường thẳng x = a, x =

b

- GV giới thiệu 3 trường hợp:

+ Nếu hàm y = f(x) liên tục và

không âm trên a; b Diện tích

S của hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị của f(x), trục Ox và các đường

thẳng x = a, x = b là:





b

a

dx

x

f

+ Nếu hàm y = f(x)  0 trên





b

a

dx x

f

S ( ( ))

+ Tổng quát: 

b

a

dx x f

HĐTP2: Củng cố công thức

- Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, hướng

dẫn học sinh thực hiện

- Gv phát phiếu học tập số 1

+ Phân nhóm, yêu cầu Hs thực

- Tiến hành giải hoạt động 1

- Hs suy nghĩ

- Giải ví dụ 1 SGK

- Tiến hành hoạt động nhóm

I Tính diện tích hình phẳng

1 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: 

b

a

dx x f

Ví dụ 1: SGK

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới







hoành Ox

Bài giải

Hoành độ giao điểm của Parabol

2 3

2







y và trục hoành Ox là nghiệm của phương trình



















2

1 0

2 3

2

1 2

x

x x

2 2

3 3

2 3

2

1

2 3

2

1 2































x x x

dx x x S

Trang 2

H 2: Ti p c n công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i 2 đ ng cong ện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ới hạn bởi đường cong và trục hoành ạn bởi đường cong và trục hoành ởi đường cong và trục hoành ường cong và trục hoành

HĐTP 1: Xây dựng công thức

- GV treo bảng phụ hình vẽ 54

SGK

- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách

tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = f1(x), và y =

f2(x) và hai đường thẳng x = a, x

= b

- Từ công thức tính diện tích của

hình thang cong suy ra được diện

tích của hình phẳng trên được

tính bởi công thức



b

a

dx x f x

f

S 1( ) 2( )

HĐTP2: Củng cố công thức

- Gv hướng dẫn học sinh giải

vd2, vd3 SGK

- Gv phát phiếu học tập số 2

+ Phân nhóm, yêu cầu Hs thực

hiện

+ Treo bảng phụ, trình bày cách

giải bài tập trong phiếu học tập số

2

- Theo dõi hình vẽ

- Hs lĩnh hội và ghi nhớ

- Theo dõi, thực hiện

- Hs tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên

- Hs thảo luận theo nhóm và tiến hành giải

Hoành độ giao điểm của 2 đường

đã cho là nghiệm của ptrình

x2 + 1 = 3 – x

x2 + x – 2 = 0













2

1

x x

2 9

) 2 (

) 3 ( 1

1

2 2

1

2 2



















dx x

x

x x

S

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên a; b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức



b

a

dx x f x f

S 1( ) 2( )

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các cách

Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức

f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình

f1(x) – f2(x) = 0 Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc a; b thì:



























b

d

c

a

b

d

c

a

dx x f x f

dx x f x f S

) ( ) (

2 1

4 Củng cố:Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học

5 Bài tập về nhà:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau







c) y x2 2 ,y 3x









 x x y

e) y lnx,y 0 ,xe



y y x

6 Rút kinh nghiệm

Trang 3

Tuần : 23

PPCT : 55 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Nd : 06/02/2009 Ns : 02/02/2009

Ld : 12

I Mục tiêu:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P)y  x2 và y  x

3 Bài mới:

H 1: H ng d n h c sinh chi m l nh công th c tính th tích v t thưới hạn bởi đường cong và trục hoành ẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể ọc sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể ĩnh công thức tính thể tích vật thể ể tích vật thể ể tích vật thể

- Giáo viên đặt vấn đề như SGK và

thông báo công thức tính thể tich

vật thể (treo hình vẽ đã chuẩn bị lên

bảng)

- Hướng dẫn Hs giải vd4 SGK

- Hs giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

- Thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên

II Tính thể tích

1 Thể tích của vật thể

Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và (Q) Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q) Gọi a, b (a < b) là giao điểm của (P) và (Q) với Ox Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (

a b

x ; ) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên

a; b Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức





b

a

dx x S

H 2: H ng d n Hs hình thành công th c th tích kh i chóp và kh i chóp c tưới hạn bởi đường cong và trục hoành ẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể ể tích vật thể ối chóp và khối chóp cụt ối chóp và khối chóp cụt ục hoành

- Xét khối nón (khối chóp) đỉnh A

và diện tích đáy là S, đường cao AI

= h Tính diện tích S(x) của thiết

diện của khối chóp (khối nón) cắt

bởi mp song song với đáy? Tính

tích phân trên

- Đối với khối chóp cụt, nón cụt

giới hạn bởi mp đáy có hoành độ

AI0 = h0 và AI1 = h1 (h0 < h1) Gọi S0

và S1 lần lượt là diện tích 2 mặt đáy

tương ứng Viết công thức tính thể

tích của khối chóp cụt này

- Củng cố công thức:

+ Giáo viên phát phiếu học tập số 3:

Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2

mp x = 3 và x = 5, biết rằng thiết

2

) (

h

x S x

S 

Do đó, thể tích của khối chóp (khối nón) là:

3

.

0 2

2dx S h h

x S V

h





- Hs tiến hành giải quyết vấn

đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

Thể tích của khối chóp cụt (nón cụt) là:

 0 0 1 1

3 S S S S

h

2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

* Thể tích khối chóp:

3

.

0 2

2 S h dx h

x S V

h





* Thể tích khối chóp cụt:

 0 0 1 1

3 S S S S

h

Trang 4

góc với Ox tại điểm có hoành độ x (

3 ; 5



x ) là một hình chữ nhật có

độ dài các cạnh là 2x, 2 9



x

Yêu cầu Hs làm việc theo nhóm

- Gv yêu cầu Hs trình bày

- Đánh giá bài làm và chính xác hoá

kết quả

- Hs giải bài tập dưới sự định hướng của giáo viên theo nhóm

- Hs tính được diện tích của thiết diện là:

9

2 )



 x x x

S

- Do đó thể tích của vật thể là:

3

128

9

2

) (

5

3

2

5

3









dx x

x

dx x S V

- Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên

- Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng

4 Củng cố:

Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của thể tích khối chóp, khối nón

5 Bài tập về nhà:

- Giải các bài tập SGK

Trang 5

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

I Mục tiêu:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ:

3 Bài mới:

H 1: H ng d n h c sinh chi m l nh công th c tính th tích kh i tròn xoayưới hạn bởi đường cong và trục hoành ẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể ọc sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể ĩnh công thức tính thể tích vật thể ể tích vật thể ối chóp và khối chóp cụt

- Giáo viên nhắc lại khái niệm khối

tròn xoay: Một mp quay quanh một

trục nào đó tạo nên khối tròn xoay

+ Gv định hướng Hs tính thể tích

khối tròn xoay (treo bảng phụ trình

bày hình vẽ 60SGK) Xét bài toán

cho hàm số y = f(x) liên tục và

không âm trên a; b Hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục

hoành và đường thẳng x = a, x = b

quay quanh trục Ox tạo nên khối

tròn xoay

Tính diện tích S(x) của thiết diện

khối tròn xoay cắt bởi mp vuông

góc với trục Ox? Viết công thức

tính thể tích của khối tròn xoay này

- Thiết diện khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính y = f(x) nên diện tích của thiết diện là:

) ( )

x f x

S  

Suy ra thể tích của khối tròn xoay là:





b

a

dx x f

V 2 ( )



III Thể tích khối tròn xoay

1 Thể tích khối tròn xoay





b

a

dx x f

V 2 ( )



2 Thể tích khối cầu bán kính R

3

4

R

V  

H 2: C ng c công th củng cố công thức ối chóp và khối chóp cụt

- Gv hướng dẫn Hs giải vd5, vd6

SGK

- Chia nhóm học sinh, yêu cầu Hs

làm việc theo nhóm để giải vdụ

+ Đối với câu a) Gv hướng dẫn Hs

vẽ hình cho dễ hình dung

- Dưới sự định hướng của giáo viên Hs hình thành công thức tính thể tích khối cầu và giải vd5 SGK

- Tiến hành làm việc theo nhóm

- Đại diện các nhóm lên trình

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay tạo

thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau quanh trục Ox

3

1

x x

y  , y = 0, x = 0 và x = 3 b) y e x cosx, y = 0, x =

2



, x = 

Giải:

35

81 3

2 9

3 1

3

0

4 5 6

3

0

2 2 3









































dx x x x

dx x x V

Trang 6

+ Đánh giá bài làm và chính xác

hoá kết quả

nhóm khác

b)

)

3 ( 8

2 cos 2

2

cos

2

2 2

2

2 2



e e

xdx e

dx e

dx x e

V

x x











4 Củng cố:

Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay

5 Bài tập về nhà:

1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2 2 2





x x

y tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5) và trục tung

2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox

a)

4 , 0 , 0 , cos   

 x y x x

b) y sin 2 x,y 0 ,x 0 ,x 

c) yxe2,y0,x0,x1

x

Trang 7

I/ MỤC TIÊU:

1.Về kiến thức:

Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân

Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân

2.Về kỹ năng:

Biết tính được diện tích một số hình phẳng,thể tích một số khối nhờ tích phân

3.Về thái độ:

Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm ta lại bài của học sinh

Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn

Có tinh thần hợp tác trong học tập

II/CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

+Giáo viên:Giáo án,bảng phụ,phiếu học tập

+Học sinh :Sách giáo khoa,kiến thức về công thức tính tích phân,vở bài tập đã chuẩn bị ở nhà

III/PHƯƠNG PHÁP:

Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,hoạt động nhóm

IV/TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC BÀI DẠY:

1 Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs

2 Kiểm tra bài cũ:kiểm tra đan xen vào bài tập

3 Bài mới:

H 1:Baì toán tìm di n tích gi i h n b i m t đ ng cong và tr c hoànhện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ới hạn bởi đường cong và trục hoành ạn bởi đường cong và trục hoành ởi đường cong và trục hoành ột đường cong và trục hoành ường cong và trục hoành ục hoành

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

+Nêu công thức tính diện tích giới

hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x),liên

tục ,trục hoành và 2 đường

x=a,x=b

+Tính S giới hạn bởi

y =x 3 -x,trục ox,đthẳng

x=-1,x=1

+ +Gv cho hs lên bảng giải,hs dưới

lớp tự giải đđể nhận xét

+Hs trả lời

+Hs vận dụng công thức tính

HS mở dấu giá trị tuyệt đối để tính tích phân

S= ( )

b

a

f x dx

ò

1 3 1

x x dx

(x x dx) (x x dx)

=1/2

H 2:Bài toán tìm di n tích gi i h n b i hai đ ng cong ện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ới hạn bởi đường cong và trục hoành ạn bởi đường cong và trục hoành ởi đường cong và trục hoành ường cong và trục hoành

+Nêu công thức tính diện tích giới

hạn bởi đồ thi hàm số

y=f(x),y=g(x) và 2 đường thẳng

x=a,x=b

+Gv cho hs tính câu 1a ở sgk

+GVvẽ hình minh hoạ trên bảng

phụ để hs thây rõ

+Gv cho hs nhận xét và cho điểm

+Gv gợi ý hs giải bài tập 1b,c

tương tự

Hs trả lời

Hs tìm pt hoành độ giao điểm Sau đó áp dụng công thức tính diện tích

S= ( ) ( )

b

a

f x - g x dx

ò

PTHĐGĐ

x 2 =x+2 2 2

1

x

é = ê

ê =-ë

S=

2 2 1

2

ò 9/2(đvdt)

H 3:Bài toán liên quan đ n tìm di n tích hai đ ng congện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành ường cong và trục hoành

+GV gợi ý hs giải câu 2 ở sgk

+GVvẽ hình minh hoạ trên bảng

phụ để hs thấy rõ

+Gv cho hs nhận xét

+Hs viết pttt taị điểm M(2;5) +Hs áp dụng cong thức tính diện tích hình phẳng cần tìm

Hs lên bảng tính

Pttt:y-5=4(x-2)Û y=4x-3 S=

2 2 0

(x + -1 (4x- 3))dx

ò =8/3 (đvdt)

H 4:Giáo viên t ng k t l i m t s bài toán v di n tíchổng kết lại một số bài toán về diện tích ạn bởi đường cong và trục hoành ột đường cong và trục hoành ối chóp và khối chóp cụt ề diện tích ện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành

Trang 8

theo nhóm bày

a 9/8 b 17/12 c 4/3 d 4

+Nêu công thức tính thể tích khối

tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng

giới hạn bởi các đường

y =f(x); y=0;x=a;x=b

quay quanh trục ox

+Gv cho hs giải bài tập 4a

+Gv gợi ý hs giải bài4c tương tự

+Hs trả lời +Hs vận dụng lên bảng trình bày

a PTHĐGĐ 1-x 2 =Û x=1hoăc x=-1 V=

1

2 2 1

(1 x ) dx p

15p

b V= 2

0

os

c x dx

p

pò =

2

p

V= 2( )

b

a

f x dx

pò

* Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi

a y =1-x 2 ;y=0

b y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p

H 6: Bài toán liên quan đ n tính th tích kh i tròn xoayể tích vật thể ối chóp và khối chóp cụt

+Gv gợi ý hs xem hình vẽ dẫn dắt

hs tính được thể tích khối tròn xoay

+Gv gợi ý hs tìm GTLN của V

theo a

+Gv gợi ý đặt t= cosa với t

1

;1

2

é ù

ê ú

Î

ê ú

+Hs lâp được công thức theo hướng dẫn của gv

+Hs tính được diện tích tam giác vuông OMP.Sau đó áp dụng công thức tính thể tích

+Hs nêu cách tìm GTLN và áp dung tìm

Btập 5(sgk)

a V= os 2 2

pò a

=

3

( os -cos ) 3

R c

p

a a

b.MaxV(a)=

3

2 3 27

R

p

H 7:Gv cho h c sinh gi i bài t p theo nhóm bài toán v th tích kh i tròn xoayọc sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể ải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay ề diện tích ể tích vật thể ối chóp và khối chóp cụt

+Gv phát phiếu hoc tập cho hs giải

theo nhóm

+Gv cho các nhóm nhận xét sau

đó đánh giá tổng kết

+Gv treo kết qủa ở bảng phụ

Hs giải và mỗi nhóm lên bảng trình bày

a.16 15

p

b. ( 2) 8

p

p-c.2 (ln 2 1)p - 2 d.64

15p 4.Củng cố và dặn dò:

Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã học để giải các bài toán tính diện tích

và thể tích

Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập 319-324 trang 158-159 ở sách bài tập

5 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục,trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b là:

S= ( )

b

a

f x dx

ò

2.Hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b].Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x=a;x=b là: S= ( ) ( )

b

a

f x - g x dx

ò

3.Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x) ;y=0;x=a;x=b quay quanh trục 0x

V= 2( )

b

a

f x dx

pò

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	255 KB