bài tập ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Bài 1 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng :

1) ; tr c hoành và

2) và

Gi i:

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ ng cong và tr c hoành ( ) là:

+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :

Khi đó

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ ng cong và đ ng cong là:

+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :

ln( 1)

2

2

yx  x 2

4

3

x

y

ln( 1)

ln( 1)

1

2

x

x









 



      xln(x 1) 0  x 2;e1

2

2

dx du

v





2

1

2

e



2

5 4

e

2

2

yx  x

2

2

yx  x

1

1

x

x

 





 



NG D NG TÍNH DI N TÍCH DI N TÍCH HÌNH PH NG

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân tính di n tích hình ph ng thu c khóa h c Luy n

thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c

ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

V y (đvdt)

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ ng cong và đ ng cong là:

+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :

+) Tính

Khi đó

Chú ý:

Khi gi i ph ng trình hoành đ giao đi m cho ta hai nghi m ( ) thì vi c xác

Nh n xét : Nh v y khi bài toán yêu c u tính di n tích hình ph ng thì đ bài bu c ph i cho hai đ ng

cách gi i ph ng trình hoành đ giao đi m N u tìm đ c nghi m ( ) thì ta s tách thành tích phân mà đó m i tích phân có c n là 2 nghi m g n nhau nh t Gi s ta tìm đ c 3

1



1

S

2

4

3

x

y

2

4

3

x

y 2

3

x

3

x x

     x  3; 3

3

2

2 3 4

3

2 3

4



2sin

2 2

t   

2 cos





 



3

3

x    t 

3

3

2

3







3

3

S 

x x1; 2

2 2

3

x

2 2

3

x x

     x  3; 3

( )

1

n

nghi m v i thì

Bài 2 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng :

2) và hai tr c t a đ (D – 2002)

3) Parabol (P) : và hai ti p tuy n t i các đi m A(1;2), B(4;5) n m trên (P)

Gi i:

Ph ng trình hoành đ giao đi m:

*) Tính

(đvdt)

1, 2, 3

x x x x1x2 x3

S  f x g x dx f x g x dx  f x g x dx  f x g x dx

2

4 4

x

2

4 2

x

y

1

x y

x

 





2

yx  x

4

x y  x 2

1 3

2

4

4

x

2

4 2

x

y

2

2 2; 2 2

4

2 2

2 1

0

16

16x 4cost : 0

4





2 2

2 2

16 2

x

3

2 2

3

2) và hai tr c t a đ (D – 2002)

Ph ng trình hoành đ giao đi m:

3) Parabol (P) : và hai ti p tuy n t i các đi m A(1;2), B(4;5) n m trên (P)

Ta có: .Áp d ng công th c ph ng trình ti p tuy n:

Ta đ c ph ng trình ti p tuy n t i A(1;2), B(4;5) l n l t là: và

V y ph ng trình hoành đ giao đi m c a hai ti p tuy n:

Khi đó di n tích đ c chia thành hai mi n di n tích b i đi m chia

CHÚ Ý:

Khi hình ph ng đ c gi i h n b i 3 đ ng cong: ; và thì các b n ph i

tìm cách chia ph n di n tích thành các ph n mà đó đ c gi i h n b i hai trong ba đ ng cong và các

1

x y

x

 





1

x y x

 

 









x

x

 

       



0

0 1 3 1

3

4





3

 

2

yx  x

y  x y4x11

5

2

2

x

(x 2x 1)dx (x 8x 16)dx (x 1) d x( 1) (x 4) d x( 4)

5

4

5 1

2

4

( )

y f x yg x( ) yh x( )

đ ng th ng (ngh a là ph n biên không có có s xu t hi n đ ng th i c 3 đ ng cong trên)

Do tính đ i x ng c a hình ph ng c n tính (nh hình v ) nên:

*) V i là di n tích gi i h n b i:

*) V i là ph n di n tích gi i h n b i:

(*)

Áp d ng (*)

+) T ng t

CHÚ Ý:

*) Th c ch t n u s d ng ki n th c c p 1 (các em l p 5 đã bi t cách tính di n tích hình tròn)

*)Cách gi i trên ch ch ng minh m t đi u là tích phân có th tính đ c di n tích trong c tình hu ng trên

;

xa xb

4

x y  x

4

S S S

1

S

2

4







0

1

2



2

S

2

4

  





2

2 2

0 4

t    

cos





 



2sin

2

x    t 

x  t

0

2

2 2

4 4sin 2







0

2 2

2



2

2 2

0 4

2

(C) (C) 2 1 3

5) , tr c hoành và đ ng th ng

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m :

+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tính là :

+) t

Bài 3 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng:

Gi i:

Xét ph ng trình hoành đ giao đi m :

V y di n tích hình ph ng :

t

Khi đó :

(đvdt)

Bài 4 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s :

; tr c hoành và đ ng th ng

Gi i:

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ ng và (tr c hoành) :

+) Khi đó di n tích hình ph ng là :

2

1 3

2

x  x   x

S x  x dxx  x dx

3

tdt

t  x   t x  tdt xdxxdx

x  t x  1 t 2

2

2

2 ln( 1)

1

y x



 ; x1

1

x



2

1

1

x



dx du







2

0

1

0

ln 2

2 2 2

1

y

x





2 2 2

1

y

x





2 2 2

1

x x



2 2

0 0

e e





1 6

S

Bài 5. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng : ; hai tr c t a đ và

Gi i:

Do v i nên ta xét ph ng trình

hoành đ giao đi m:

(vì đ ng bi n v i )

+)

Khi đó di n tích hình ph ng c n tính là:

Bài 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng ; và

Gi i:

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a và :

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a và :

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a và :

D a vào hình v ta có di n tích hình ph ng là:

Bài 7 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng : và

Gi i:

Cách 1 ( dùng đ th ):

2

5x

2

5x 0  x

( )

3   x 0 x 3

3 2

2

x



3x

x

3x

x



( )

3x

x

  

3 y x

3

x

3

3

x

1

3

ln 3

x

ln 3

2 1

y x  (C1) y 5 x (C2)

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a và là:

+) Khi đó di n tích hình ph ng gi i h n b i và là đ c chia thành và

V y

hay (2*)

+) Thay (2*) vào (*) ta đ c di n tích hình ph ng:

Cách 2 ( làm theo ph ng pháp đ i s ):

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a và là:

+) Khi đó di n tích hình ph ng gi i h n b i và đ c xác đ nh:

+) B ng xét d u phá tr tuy t đ i:

1

(C ) (C2)

1

S S   S S S  S 2

2

S S S    x x dx  x x  dx

23 13

6

12

S

1

(C ) (C2)

1

(C ) (C2)

Suy ra

+) V y di n tích hình ph ng là

Nh n xét :

+) Khi ph n hình ph ng c n tính di n tích có tính đ i x ng ta có s d ng công th c

trong đó và đ i x ng nhau qua m t m t tr c ( bài toán trên ph n di n tích hình ph ng đ i

x ng v i qua tr c tung)

+) Khi đi tính di n tích hình ph ng mà ph n biên (vi n) c a nó đ c c u t o t 3 đ ng (cong) tr lên ( đây các đ ng đ c bi u di n theo ) và 2 đ ng th ng ; bu c ta ph i chia hình ph ng thành các ph n mà m i ph n ch đ c gi i h n b i 2 đ ng (n u đ i vai trò ta c ng làm t ng t )

Nh ví d trên ph n di n tích c a hình ph ng đ c gi i h n b i các đ ng biên

(v i )

Bài 8 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng :

Gi i



(x x 6)dx (x x 4)dx (x x 4)dx (x x 6)dx





12

12

S

S S S  S 1

2

S

,

x y 2

S

2

yx  y x

2

yx (C1)

2

4

x

y (C2) y 2

x

 (C3) y 8

x

 (C4)

*) Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a:

*) G i là di n tích hình ph ng c n tìm khi đó ta s chia thành hai ph n di n tích (nh hình

v )

Trong đó là ph n di n tích gi i h n b i các đ ng : ; và

là ph n di n tích gi i h n b i các đ ng : ; và

*) V y di n tích hình ph ng c n tìm là

1

x

x

2

(C ) (C3)

2

3

2

4

x

x

2

8

4

x

x

1

x

 (C3) 3

2

S

2

4

x

y (C2) y 8

x

x x

3

3

2

2 2

4

x

3

3

4ln 2

S

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng