Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Về kiến thức: Biết công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân.. Về kỹ năng: Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức:

Biết công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích

phân

2 Về kỹ năng:

Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhờ tích phân

3 Về tư duy, thái độ:

- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích

- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Chuẩn bị của giáo viên: bảng phụ các hình vẽ SGK, giáo án, SGK.

2 Chuẩn bị của học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài

mới

IV Tiến trình bài học

Ngày / /

Tiết 49

1 Kiểm tra bài cũ: Tính     

2

1

2 3x 2 dx x

I

2 Bài mới

Hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Cho học sinh tiến hành hoạt động

1 SGK

I Tính diện tích hình phẳng

1 Hình phẳng giới hạn bởi đường

- GV treo bảng phụ hình vẽ 51,52

SGK

- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách

tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox

và các đường thẳng x = a, x = b

- GV giới thiệu 3 trường hợp:

+ Nếu hàm y = f(x) liên tục và

không âm trên a; b Diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

của f(x), trục Ox và các đường

thẳng x = a, x = b là: 

b

a

dx x f

+ Nếu hàm y = f(x)  0 trên a; b

Diện tích 

b

a

dx x f

S ( ( ))

+ Tổng quát: 

b

a

dx x f

- Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, hướng

dẫn học sinh thực hiện

-Tiến hành hoạt động 1

- Hs suy nghĩ

- Giải ví dụ 1 SGK

- Tiến hành hoạt động nhóm

cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục

Ox và các đường thẳng x = a, x =

b được tính theo công thức:





b

a

dx x f

Ví dụ 1: SGK

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol

2 3

2







y và trục hoành Ox Bài giải

Hoành độ giao điểm của Parabol

2 3

2







là nghiệm của phương trình





















2

1 0

2 3

2

1 2

x

x x

  

 2

1

2 3x 2 dx x

S

Hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- GV treo bảng phụ hình vẽ 54

SGK

- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách

tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = f1(x), và y =

f2(x) và hai đường thẳng x = a, x =

b

- Từ công thức tính diện tích của

hình thang cong suy ra được diện

tích của hình phẳng trên được tính



b

a

dx x f x

f

S 1( ) 2( )

- Gv hướng dẫn học sinh giải vd2,

vd3 SGK

+ Phân nhóm, yêu cầu Hs thực hiện

+ Trình bày cách giải

- Theo dõi hình vẽ

- Hs lĩnh hội và ghi nhớ

- Theo dõi, thực hiện

- Hs tiến hành giải dưới

sự định hướng của giáo viên

- Hs thảo luận theo nhóm

và tiến hành giải

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số y = f1(x) và y

= f2(x) liên tục trên a; b Gọi

D là hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức:  

b

a

dx x f x f

S 1( ) 2( )

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các cách

Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối

Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0 Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc a; b thì:

Hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho là nghiệm của ptrình

x2 + 1 = 3 – x

x2 + x – 2 = 0













2

1

x x

2 9

) 2 (

) 3 ( 1

1

2 2

1

2 2



























dx x

x

x x

S





































b

d

d

c

c

a

b

d

d

c

c

a

dx x f x f

dx x f x f

dx x f x f

dx x f x f

dx x f x f

dx x f x f S

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

3 Củng cố:Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học

4 Bài tập về nhà:Giải các bài tập SGK

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) 0 , 1 , 0 , 5 4 3 2 3

















c y x2 2 ,y 3x





 d 4 2 , 0





e y lnx,y  0 ,xe.; g 3 , 1 , 8





x

- -Ngày / /

TIẾT 50:BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 Kiểm tra bài cũ: Nêu công thức tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x),liên

tục ,trục hoành và 2 đường x=a,x=b

2 Bài mới:

Hoạt động: Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

+Tính S giới hạn bởi

y =x3-x,trục ox,đthẳng

x=-1,x=1

+ Gv cho hs lên bảng

giải,hs dưới lớp tự giải

đđể nhận xét

+Hs trả lời

+Hs vận dụng công thức tính

HS mở dấu giá trị tuyệt đối để tính tích phân

S= f x dx

b

a

 ( ) = x x dx



 1

1 3

= x x dx



 0

1

( -x  x dx

1

0

3 ) (

=1/2

Hoạt động:Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi hai đường cong

+Nêu công thức tính diện

tích giới hạn bởi đồ thi

hàm số y=f(x),y=g(x) và

2 đường thẳng x=a,x=b

+Gv cho hs tính câu 1a ở

sgk

+GVvẽ hình minh hoạ

trên bảng phụ để hs thây

rõ

+Gv cho hs nhận xét và

cho điểm

+Gv gợi ý hs giải bài tập

1b,c tương tự

Hs trả lời

Hs tìm pt hoành độ giao điểm Sau đó áp dụng công thức tính diện tích

S= f x g x dx

b

a

 ( )  ( )

Xét pt hđgđ

x2=x+2  x2-x-2=0  





 2

1

x x



2

1

2 - x - 2





2

1

2 - x - 2)dx (x

=9/2(đvdt)

Hoạt động: Bài toán liên quan đến tìm diện tích hai đường cong

+GV gợi ý hs giải câu 2 ở

sgk

+GVvẽ hình minh hoạ trên

+Hs viết pttt taị điểm M(2;5)

Pttt:y-5=4(x-2) Û y=4x-3

bảng phụ để hs thấy rõ

+Gv cho hs nhận xét +Hs áp dụng cong thức tính

diện tích hình phẳng cần tìm

Hs lên bảng tính

S=   

2

0

2 4 4 ) (x x dx =8/3(đvd t)

3 Củng cố :

Giáo viên nhấn mạnh các dạng toán cơ bản và phương pháp giải trong bài

4 Bài tập về nhà

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập 3 sgk và yêu cầu học sinh giải các bài tập về

thể tích khối tròn xoay

- -Ngày / /

TIẾT 51 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)

1 Kiểm tra bài cũ :

- Viết công thức diện tích

+Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b + Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a,

x = b

Giáo viên gọi một học sinh lên bảng trình bày

2 Bài mới:

Hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Giáo viên đặt vấn đề như

SGK và thông báo công

thức tính thể tich vật thể

(treo hình vẽ đã chuẩn bị

- Hs giải quyết vấn đề đưa

ra dưới sự định hướng của giáo viên

II Tính thể tích

1 Thể tích của vật thể

lên bảng)

- Hướng dẫn Hs giải vd4

SGK

- Thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên

Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và (Q) Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q) Gọi a, b (a < b) là giao điểm của (P) và (Q) với Ox Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (

a b

x ; ) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên

a; b Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức: 

b

a

dx x S

Hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Xét khối nón (khối chóp)

đỉnh A và diện tích đáy là

S, đường cao AI = h Tính

diện tích S(x) của thiết

diện của khối chóp (khối

nón) cắt bởi mp song song

với đáy? Tính tích phân

trên

- Đối với khối chóp cụt,

nón cụt giới hạn bởi mp

đáy có hoành độ AI0 = h0

và AI1 = h1 (h0 < h1) Gọi

S0 và S1 lần lượt là diện

tích 2 mặt đáy tương ứng

Viết công thức tính thể

tích của khối chóp cụt này

- Củng cố công thức:

+ Tính thể tích của vật thể

nằm giữa 2 mp x = 3 và x

2

2 ) (

h

x S x

Do đó, thể tích của khối chóp (khối nón) là:

3

.

0 2

2 S h dx h

x S V

h



- Hs tiến hành giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

Thể tích của khối chóp cụt (nón cụt) là:

 0 0 1 1

h

2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

* Thể tích khối chóp:

3

.

0 2

2 S h dx h

x S V

h



* Thể tích khối chóp cụt:

 0 0 1 1

h

= 5, biết rằng thiết diện

của vật thể bị cắt bởi mp

vuông góc với Ox tại điểm

có hoành độ x (x3 ; 5)

là một hình chữ nhật có độ

dài các cạnh là 2x, 2 9



x

Yêu cầu Hs làm việc theo

nhóm

- Gv yêu cầu Hs trình bày

- Đánh giá bài làm và

chính xác hoá kết quả

- Hs giải bài tập dưới sự định hướng của giáo viên theo nhóm

- Hs tính được diện tích của thiết diện là:

9

2 )



 x x x

S

- Do đó thể tích của vật thể là:

5

3

( )

V S x dx

5

2 3

128

2 9

3

- Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên

- Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng

O

S (x)

B

x

I

3 Củng cố

Giáo viên nhấn mạnh các kiến thức trọng tâm học sinh cần nhớ

4 Bài tập về nhà

Làm các bài tập liên quan trong SGK và SBT

- -Ngày / /

TIẾT 52 : BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)

1 Kiểm tra bài cũ :

- Viết công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt

Giáo viên gọi một học sinh lên bảng trình bày

2 Bài mới:

Hoạt động

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường cong : y=x2 ;

27

2

x

y  ,

27

y

x



Gọi học sinh lên bảng vẽ hình chỉ ra

miền cần tính diện tích

Gọi học sinh lên bảng viết công thức

tính diện tích

+ Học sinh vẽ hình

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

Lên bảng đưa công thức tính diện tích và tính

Hoạt động

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường cong : 2 4 3 ; 3







y

? Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm

số?

? Vẽ hình tìm miền cần tính diện tích?

? Lên bảng trình bày

Hs trả lời

Hs tìm pt hoành độ giao điểm Sau đó áp dụng công thức tính diện tích

Hoạt động

? Tính thể tích khối cầu bán kính R=7 cm

GV gọi học sinh lên bảng

Gọi học sinh nhận xét, đưa ra lời giải hoàn

chình nếu cần

GV nêu cách làm khác nếu cần

Ghi nội dung bài tập Lên bảng đưa ra công thức tính thể tích và tính

Nhận xét bài làm trên bảng

3 Củng cố : Giáo viên hệ thống các dạng bài tập cơ bản và pp pháp giải đã được học

trong phần ứng dụng

4 Bài tập về nhà: Làm bài tập sau:

Bài 1: Đh Công Đoàn 2000: x y;xy 2  0 ;y 0 Đs: 5

6 ( Có thể vẽ hình or theo y)

Bài 2 : Kinh Tế Quốc Dân-Khối A 2000

(P): y2=2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2+y2=8 thành 2 phần.Tính diện tích của mỗi phần đó

- -Ngày / /

TIẾT 53 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)

1 Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa mặt tròn xoay và khối tròn xoay

2 Bài mới:

Hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Giáo viên nhắc lại khái niệm khối

tròn xoay: Một mp quay quanh một

trục nào đó tạo nên khối tròn xoay

+ Gv định hướng Hs tính thể tích

khối tròn xoay (treo bảng phụ trình

bày hình vẽ 60SGK) Xét bài toán

cho hàm số y = f(x) liên tục và không

âm trên a; b Hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và

đường thẳng x = a, x = b quay quanh

trục Ox tạo nên khối tròn xoay

Tính diện tích S(x) của thiết diện

khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc

với trục Ox? Viết công thức tính thể

tích của khối tròn xoay này

- Thiết diện khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính y = f(x) nên diện tích của thiết diện là:

) ( )

Suy ra thể tích của khối tròn xoay là:





b

a

dx x f

V 2 ( )



III Thể tích khối tròn xoay

1 Thể tích khối tròn xoay





b

a

dx x f

V 2 ( )



2 Thể tích khối cầu bán kính R

3

3

4

R

V  

Hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Gv hướng dẫn Hs giải vd5,

vd6 SGK

+ Đối với câu a) Gv hướng

dẫn Hs vẽ hình cho dễ hình

- Dưới sự định hướng của giáo viên Hs hình thành công thức tính thể tích khối cầu và giải vd5 SGK

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau quanh trục Ox:

+ Đánh giá bài làm và chính

xác hoá kết quả

3

1

x x

y  , y = 0, x = 0 ; x = 3

b) ye x cosx, y = 0, x =

2



, x = 

Giải:

2 3

3 2 0

V   x  x  dx 



b)

2

8

x



 







3 Củng cố

1.Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học

2.Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của

thể tích khối chóp, khối nón

3.Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay

4 Bài tập về nhà: Giải các bài tập SGK và SBT

- -Ngày / /

TIẾT 54:BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (tt)

1 Kiểm tra bài cũ: Đan xen vào các hoạt động trong giờ học

2 Bài mới

Hoạt động: Bài toán tính thể tích khối tròn xoay

+Nêu công thức tính thể

tích khối tròn xoay sinh ra

bởi hình phẳng giới hạn

bởi các đường

y =f(x); y=0;x=a;x=b

quay quanh trục ox

+Gv cho hs giải bài tập 4a

+Gv gợi ý hs giải bài4c

tương tự

+Hs trả lời

+Hs vận dụng lên bảng

trình bày

a PTHĐGĐ

1-x2= Û x=1hoăc x=-1

V=

1

2 2 1

(1 x ) dx p

15p

0

os

c x dx

p

2 2

p

V= 2( )

b

a

f x dx

pò

* Tính thể tích khối tròn xoay sinh

ra bởi

a y =1-x2 ;y=0

b y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p

Hoạt động: Bài toán liên quan đến tính thể tích khối tròn xoay

+Gv gợi ý hs xem hình vẽ

dẫn dắt hs tính được thể

tích khối tròn xoay

+Gv gợi ý hs tìm GTLN

của V theo a

+Gv gợi ý đặt t= cos a

với t 1;1

2

é ù

ê ú

Î

ê ú

+Hs lâp được công thức

theo hướng dẫn của gv

+Hs tính được diện tích

tam giác vuông OMP.Sau

đó áp dụng công thức tính thể tích

+Hs nêu cách tìm GTLN

và áp dung tìm

Btập 5(sgk)

0Rc atan x dx

=

3

3 ( os -cos ) 3

R c

b.MaxV(a )=

3

2 3 27

R p

Hoạt động:Gv cho học sinh giải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay

cho hs giải theo nhóm

+Gv cho các nhóm nhận

xét sau đó đánh giá tổng

kết

+Gv treo kết qủa ở bảng

phụ

Hs giải và mỗi nhóm lên

16 15

p

; b ( 2)

8

p

p-c.2 (ln 2 1)p - 2; d.64

15p

3.Củng cố

Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã học để giải

các bài toán tính diện tích và thể tích

4 Bài tập về nhà: Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập

319-324 trang 158-159 ở sách bài tập