LT GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản..  Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: VẤN ĐỀ 3:

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp:

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

x

x

2

1 )'

(  (x > 0)

2

1 )'

1

(

x

x   (x  0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

u

u u

2

' )' (  (u > 0)

2

' )'

1 (

u

u

u   (u  0) (sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx

(tanx)' =

x

2

cos

1 (x   k

2 , k  Z) (cotx)' =

-x

2

sin

1 (x  k, k  Z)

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' =

u

u

2

cos

' (u   k

2 , k  Z) (cotu)' =

-u

u

2

sin

' (u  k, k  Z)

(ex)' = ex

(ax)' = ax.lna

(eu)' = u'.eu

(au)' = u'.au

x

x)' 1

(ln  (x ≠ 0)

)'

(log x a =

a

x ln

1 (x ≠ 0)

u

u

u)' ' (ln  (u ≠ 0)

)'

(log u a =

a u

u

ln ' (u ≠ 0)

2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b)

dy = f'(x)dx

3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:

 tanx =

x

x

cos

sin  cotx =

x

x

sin

 sin2a = 2sinacosa 

2

2 cos 1 cos2a  a

2

2 cos 1 sin2a  a



x

2

cos

x

2

sin

2

1 [cos(a+b)+cos(a-b)]



sinasinb=-2

1 [cos(a + b)-cos(a - b)]  sinacosb =

2

1 [sin(a+b)+sin(a-b)]

§1 NGUYÊN HÀM

I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R

Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x  K

* Chú ý:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C  R là họ tất

cả các nguyên hàm của f(x) trên K Kí hiệu  f )(x dx = F(x) + C

2) Trong kí hiệu  f )(x dx thì "d " gắn với biến tương ứng của hàm f Ví dụ:  ds

s

1 ,

costdt,

3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x)=F'(x)dx

= f(x)

2 Các tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 1:  f ('x)dx f(x) C

Tính chất 2: kf(x)dxk f(x)dx

(k là hằng số khác 0)

Tính chất 3: [f(x) g(x)]dx f(x)dxg(x)dx

3 Sự tồn tại nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

0dx  C

dx  x  C



  C ( 1 ) 1

x dx







) 0 x ( C x ln x



C e dx

e x  x 



   C ( 0  a  1 )

a ln

a dx

cos xdx  sin x  C

sin xdx   cos x  C

C tgx x cos

dx



   cot gx  C x

sin dx

2

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Nếu  f(u)duF(u) C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f[u(x)]u('x)dxF[u(x)] C

Hệ quả: Nếu  f(x)dxF(x) C thì F ax b C

a dx b ax

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

u(x)v' (x)dxu(x).v(x) u' (x)v(x)dx

Phương pháp: Tính u(x)v' (x)dx

Đặt













v dx dv

dx du

u Khi đó ta có u(x)v' (x)dx = uv  vdu

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x ( ) '( ) thì ta đặt t u x ( )  dt u x dx '( ) Khi đó:  f x dx( ) = g t dt( ) , trong đó g t dt( ) dễ dàng tìm được

Chú ý: Sau khi tính g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x)

vi phân hai vế

nguyên hàm hai vế

Lấy vi phân: lấy đạo hàm rồi nhân

thêm d của biến tương ứng

 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên

của f(x)

Bước 1: Tìm hàm g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

2

( ) ( ) ( )



2

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

( )

P x

f x

Q x



ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

x a x b   x a x b  

x m





( ). x

P x e dx

 P x( ).cosxdx P x( ).sinxdx P x( ).lnxdx

f(x) có chứa Cách đổi biến

x a t     t 

hoặc x a cos ,t 0  t 

x a t     t 

hoặc x a cot ,t 0  t 

21 2 2 2

x a x b     x a    x b

2 f(x) là hàm vô tỉ

cx d



cx d







R

x a x b

3 f(x) là hàm lượng giác

hàm cơ bản Chẳng hạn:

sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )

  



sin( )

a b sử dụng

a b



cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )

  



sin( )

a b sử dụng

a b

sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )

  



cos( )

a b sử dụng

a b



+ Nếu R( sin ,cos )  x x  R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx

+ Nếu R(sin , cos )x  x  R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx

+ Nếu R( sin , cos )  x  x  R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

§2 TÍCH PHÂN

I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:

1 Diện tích hình thang cong:

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong

b a

O

y = f(x)

x

y

B A

Diện tích hình thang cong aABb: S=F(b)-F(a),

trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số

y = f(x)

Với hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì ta có thể chia nhỏ thành những hình thang cong bằng cách kẻ những đường song song với các trục tọa độ

2 Định nghĩa tích phân:

Cho y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên

hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b

(hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là b

a dx x

f )(

Dùng kí hiệu b

a

x

F )( để chỉ hiệu số F(b) - F(a), ta có:

) ( ) ( ) ( )

a b

a







a dx x

f( ) 0(a = b), b  

a

a

b dx x f dx x

f( ) ( ) (a > b)

ii) Tích phân của hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận a, b nên ta có thể kí hiệu b

a dx x

f )( hoặc b

a dt t

f )(

iii) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và

không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân b

a dx x

f )( là diện tích S của hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b Vậy S= b

a dx x

f )(

II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:

a

b

a dx x f k dx x

kf( ) ( ) (k là hằng số)

b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

a

c

a

b

c dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( ) (a < c < b)

III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1 Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn   ;  sao cho ( ) a, ()=b và a  (t ) b, t  ;  ta có: 

b

a

dt t t f dx

x

f







( )

(

a) Đổi biến số dạng 1: Tính I =b

a dx x

f( ) bằng cách đặt x = (t)

b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =b

a dx x

f( ) bằng cách đặt t = (x)

Đặt t = (x)  dt = '(x)dx

Đổi cận: x = a  t1 = (a)

x = b  t2 = (b)

Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là hằng số)

Khi đó ta có: I =  2 

1

2

1 ) ( )

(' )].

( [ )

(

t t

t t

b a

dt t f C dx x x f C dx x

2 Phương pháp tính tích phân từng phần:

Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b thì :

a

b

a

b

x v x u dx

x

v

x

hayb  

a

b

a

b

uv

nguyên hàm hai vế

* Chú ý: Tính I = b

a

dx x v x

u( ) ' ( ) Đặt













v dx dv

dx du

b

a

vdu a

b uv)

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

a

f x dx F b F a 



Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( )

a

g x dx

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( )  f u x u x ( ) '( ) thì ( )

( )

( ) u b ( )

b

g x dx f u du

Dạng 2: Giả sử ta cần tính  f x dx( )



f x dx f x t x t dt g t dt





g t( )  f x t x t ( ) '( )

f(x) có chứa Cách đổi biến

x a t     t 

hoặc x a cos ,t 0  t 

x a t     t 

hoặc x a cot ,t 0  t 

x a

 

a

t

 

a

t

 

 





vi phân hai vế

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt

Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

a

f x dx







0

( ) 2 ( )

a

f x dx f x dx





Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:

0

I f x dx f x dx f x dx

0

( ) ; a ( )

a

J f x dx K f x dx



( ).

b

x a

P x e dx

a

a

P x xdx

a

P x l xdx



Bước 2: Tính tích phân 0 ( )

a

J f x dx



Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

0

1

x

f x dx f x dx a









(với  R + và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên

0

0

0





Để tính J ta cũng đặt: t = –x

Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;

2

(sin ) (cos )

f x dx f x dx

Để chứng minh tính chất này ta đặt:

2

t   x

Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và f a b x(   )  f x( ) hoặc f a b x(   )  f x( )

Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên

hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tìm hàm g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

2

( ) ( ) ( )



2

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi

a

I  f x n dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n

Ta thường gặp một số yêu cầu sau:

 Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I n theo các I n-k (1  k  n)

 Tính một giá trị

0

n

I cụ thể nào đó

x

y

) (

1 x f

y 

) (

2 x f

y 

x

y

O

a b

a

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG

HÌNH HỌC

I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1 Hình phẳng giới hạn giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị

của hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0)

và hai đường thẳng x = a, x = b được tính

theo công thức:





b a dx x f

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:

Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x)

liên tục trên đoạn [a; b] Gọi D là hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và

các đường thẳng x = a, x = b Khi đó diện

tích hình phẳng D là:



b a

dx x f x f

* Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f1(x) = f2(x) có đúng hai nghiệm

x1, x2  (a; b) với (x1 < x2) thì 1 1( )  2( ) x1[ 1( )  2( )]

a

x a

dx x f x f dx x f x

dx x f x f dx x f x f dx x f x f dx x f x f

x

x x

x a

b



2 2

1

1

)]

( ) ( [ )]

( ) ( [ )]

( ) ( [ )

( )

II- TÍNH THỂ TÍCH:

1 Thể tích của vật thể:

Cắt vật thể (T) bởi hai mặt

phẳng (P) và (Q) vuông góc trục Ox lần

lượt tại x = a, x = b Một mặt phẳng tùy

ý vuông góc với Ox tại x  [a; b] cắt

(T) theo thiết diện có diện tích là S(x)

Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]

Khi đó thể tích vật thể (T) là:

V = b

a dx x

S )(

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

2 Thể tích khối chóp cụt:

Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và có chiều cao bằng h Khi đó thể tích khối chóp cụt là V = ( ' ' )

h



III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:

Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a,

x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo

thành khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay là:





b a

dx x f

V  [ ( )] 2

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Trục hoành

– Hai đường thẳng x = a, x = b

a

S f x dx (1)

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Hai đường thẳng x = a, x = b là: b ( ) ( )

a

S f x g x dx (2)

Chú ý:

f x dx f x dx

 Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Ta có thể làm như sau:

Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d)

f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx  f x dx  f x dx

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

– Hai đường thẳng x = c, x = d

( ) ( )

d

c

S g y h y dy

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể

 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các

điểm các điểm a và b

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]

a

V S x dx

 Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)

sinh ra khi quay quanh trục Ox:

a

V  f x dx

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường

sau quay xung quanh trục Oy:

c

V  g y dy