Về một lớp bất đẳng thức

Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ điển hình của kĩ thuật tách ghép trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.. Kĩ thuật tách ghép cũng là ý tưởng chủ đạo để ta giải quyết lớp bất đẳng thức t

Về một lớp bất đẳng thức

(Phạm Tiến Kha) Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá một lớp bất đẳng thức có cấu trúc như sau:

ca

xa + yb + zc +

ab

xb + yc + za +

bc

xc + ya + zb ≤ a + b + c

x + y + z trong đó x, y, z là các hằng số

Hãy bắt đầu với bài toán đơn giản sau đây:

Bài 1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca

c + a + 2b +

ab

a + b + 2c +

bc

b + c + 2a ≤ a + b + c

4 Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

1

c + a + 2b ≤ 1

4

 1

c + b+

1

a + b



Suy ra

ca

c + a + 2b ≤ 1

4

 ca

c + b+

ca

a + b



Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

c + a + 2b ≤ 1

4



c + b+

a + b



= 1 4

X a

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0.

Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ điển hình của kĩ thuật tách ghép trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Kĩ thuật tách ghép cũng là ý tưởng chủ đạo để ta giải quyết lớp bất đẳng thức trong bài viết này

Chúng ta tiếp tục với một bài toán khó hơn đôi chút:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng ming rằng:

ca

c + 4a + 4b +

ab

a + 4b + 4c +

bc

b + 4c + 4a ≤ a + b + c

9 Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

1

 2



Suy ra

ca

c + 4b + 4a ≤ 1

9

 2ca 2a + b+

ca 2b + c



Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

c + 4b + 4a ≤ 1

9



2a + b +

2b + c



= 1 9

X a

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0.

Nhận xét: Mấu chốt lời giải ở chỗ tách c + 4b + 4a = 2(2a + b) + (2b + c)

Bài 3 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca

c + 6b + 9a +

ab

a + 6c + 9b +

bc

b + 6a + 9c ≤ a + b + c

16

Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

1

c + 6b + 9a =

1 3(3a + b) + (3b + c) ≤ 1

16

 3 3a + b +

1 3b + c



Suy ra

ca

c + 6b + 9a ≤ 1

16

 3ca 3a + b +

ca 3b + c



Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

c + 6b + 9a ≤ 1

16



3a + b +

3b + c



16

X a

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0.

Nhận xét: Lời giải của bài toán này hoàn toàn giống với bài 2 Mấu chốt vẫn là sự khéo léo trong việc tách a + 9b + 6c = 3(3b + c) + (3c + a)

Bài 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca 36a + 84b + 49c +

ab 36b + 84c + 49a +

bc 36c + 84a + 49b ≤ a + b + c

169 Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

1 36a + 84b + 49c ≤ 1

169

 6 6a + 7b +

7 6b + 7c



Suy ra

ca 36a + 84b + 49c ≤ 1

169

 6ca 6a + 7b +

7ca 6b + 7c



Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

36a + 84b + 49c ≤ 1

169



6a + 7b +

6b + 7c



169

X a

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0.

Nhận xét: Bài 4, một lần nữa, hoàn toàn tương tự bài 2 và bài 3 Nhưng có lẽ bạn đọc cũng thấy rằng việc sử dụng "trực giác" để tách ghép đã có phần khó khăn hơn, đơn giản vì các hệ số ở mẫu trông rất cồng kềnh Một câu hỏi hết sức tự nhiên: liệu có kĩ thuật tách ghép tổng quát cho lớp bất đẳng thức này?

Hãy cùng nhìn lại lời giải của bài 2, bài 3 và bài 4, mấu chốt vấn đề nằm ở kĩ thuật tách ghép: (Bài 2:)

c + 4a + 4b = 2(2a + b) + (2b + c)

(Bài 3:)

c + 6b + 9a = 3(3a + b) + (3b + c)

(Bài 4:)

49c + 84b + 36a = 6(6a + 7b) + 7(6b + 7c)

Một cách tổng quát, vế trái các đẳng thức trên có dạng xc + yb + za, trong đó 2.√

x.√

z = y Điều này gợi cho ta đẳng thức

(α + β)2 = α2+ β2+ 2αβ = α(α + β) + β(β + α)

Tiếp tục nhìn qua vế phải Để ý một chút, ta nhận thấy rằng vế phải luôn được tách thành dạng

√ x(√ x.a +√

y.b) +√

y(√ x.b +√

y.c) Lưu ý là cách tách như vậy đảm bảo dấu bằng khi sử dụng Cauchy-Schwarz, cũng như khi cộng vế theo vế rồi cộng các phân thức có cùng mẫu với nhau thì sẽ khử được mẫu (còn lại P a)

Như vậy, ta đã giải quyết được một dạng của lớp bất đẳng thức ban đầu, khi 2.√

x.√

z = y hay các hoán vị tương ứng.

Việc giải quyết được dạng bài trên đã làm bạn hài lòng? Tôi chắc là chưa, vì thật ra dạng trên chỉ là một dạng nhỏ (và khá đặc biệt) của lớp bất đẳng thức ban đầu Hãy xét tiếp ví dụ sau: Bài 5 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca 3a + 4b + 5c +

ab 3b + 4c + 5a +

bc 3c + 4a + 5b ≤ a + b + c

12

Lời giải Xét phân thức đại diện:

ca 3a + 4b + 5c

Rõ ràng bất đẳng thức này không giống với dạng trên Tuy nhiên, kĩ thuật tách ghép như trên vẫn

áp dụng được, vì thật ra ta chỉ cần sử dụng hết lượng b, còn a hoặc c có thể dư ra sau khi tách ghép (nếu dư một lượng b thì sau đó sẽ còn lại P ca

b ≥ P a, ngược dấu với bất đẳng thức cần chứng minh)

Giả sử ta có phân tích:

3a + 4b + 5c = α.a + β(β.a + γ.b) + γ(β.b + γ.c)

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được hệ phương trình:











α + β2 = 3 2βγ = 4

γ2 = 5

Việc giải hệ phương trình trên là khá dễ dàng Ta thu được α = 11

5 , β =

2

√

5, γ =

√ 5

Sau đây là lời giải hoàn chỉnh:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

ca 3a + 4b + 5c ≤ 49ca

720









11

7√ 5 7

√

5a +

2

√ 5 2

√

5a +

√ 5b +

√ 5 2

√

5b +

√ 5c









(Chú ý dấu bằng xảy ra khi a = b = c, tức là √2

5a +

√ 5b = √2

5b +

√ 5c = √7

5a Vì vậy khi

sử dụng Cauchy-Schwarz ta cần đảm bảo dấu bằng như trên)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

X ca

3a + 4b + 5c ≤ 49

720





 X

11

7√

5ca 7

√

5a

2

√

5ca 2

√

5a +

√ 5b

√ 5ca 2

√

5b +

√ 5c







= a + b + c 12 Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0.

Nhận xét: Lời giải trên trông có vẻ rất cồng kềnh (một lời giải khác cho bài này sẽ được trình bày ở phần sau), nhưng nó lại mang tính tổng quát cao Tất cả những tính toán đều được thực hiện chính xác dựa trên các phương trình, hệ phương trình chứ hoàn toàn không dựa trên "trực giác"

Đó chính là cái lợi rất lớn của phương pháp này

Vẫn còn một khúc mắc nhỏ ở đây Ở đầu bài giải, ta đã khẳng định cần sử dụng hết lượng b, còn a hoặc c có thể dư Liệu a và c có thể cùng dư?

Giả sử a, c cùng dư Ta xét phân thức đại diện ca

xa + yb + zc, cụ thể là mẫu của nó xa + yb + zc Ta

sẽ chứng minh nếu có một phép phân tích

xa + yb + zc = α1.a + β.c + γ1(γ1.a + θ1.b) + θ1(γ1.b + θ1.c)

thì cũng sẽ có một phép phân tích tương ứng

xa + yb + zc = α2.a + γ2(γ2.a + θ2.b) + θ2(γ2.b + θ2.c)

Thật vậy Trước hết ta có:

α1.a + β.c + γ1(γ1.a + θ1.b) + θ1(γ1.b + θ1.c) = α2.a + γ2(γ2.a + θ2.b) + θ2(γ2.b + θ2.c)

Đồng nhất hệ số hai vế:











α2+ γ2

2 = α1+ γ2

1

2γ2θ2 = 2γ1θ1

θ22 = β + θ12

(∗)

(Ở đây chú ý α1, α2, β, γ1, γ2, θ1, θ2 > 0)

Từ phương trình thứ ba suy ra θ2 =pβ + θ2

1

Thế vào phương trình thứ hai, suy ra γ2 = γ1θ1

pβ + θ2

1

Cuối cùng, thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

α2 = α1+ γ12− γ

2

1θ21

2 = α1β + α1θ

2

1 + γ12β

Điều này có nghĩa là hệ (∗) luôn có nghiệm dương α2, γ2, θ2, tức là ta đã chứng minh được a, c không thể cùng dư

Bài tập:

Bài 6 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca 43c + 12a + b+

ab 43a + 12b + c+

bc 43b + 12c + a ≤ a + b + c

56

Bài 7 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca 10c + 42a + 49b +

ab 10a + 42b + 49c +

bc 10b + 42c + 49a ≤ a + b + c

101

PHỤ LỤC

NHỮNG CÁCH GIẢI KHÁC Những bài toán ở phần trên không hẳn chỉ có duy nhất cách giải như đã trình bày Sau đây ta sẽ xem xét cách giải khác của những bài toán đó

Bài 6 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca 43c + 12a + b+

ab 43a + 12b + c+

bc 43b + 12c + a ≤ a + b + c

56

Lời giải Chuẩn hóa a + b + c = 3 Bất đẳng thức tương đương:

42c + 11a + 3 ≤ 3

56 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

ca 42c + 11a + 3 ≤ ca

562

 42

11

a + 3



Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

42c + 11a + 3 ≤ 1

562

X 42a +X11c +X3ca



562

h

53Xa + (a + b + c)2i

56

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Nhận xét: Cách giải sử dụng chuẩn hóa khá ngắn gọn, nhưng khả năng áp dụng được phương pháp này không nhiều Xét phân thức đại diện ca

xa + yb + zc thì điều kiện để chuẩn hóa thành công

là y = min {x, y, z}

Ta tiếp tục đến với một ý tưởng khác:

Bài 5 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ca 3a + 4b + 5c +

ab 3b + 4c + 5a +

bc 3c + 4a + 5b ≤ a + b + c

12

Lời giải

Để ý rằng:

3a + 4b + 5c = 2(a + b) + 2(c + b) + a + 3c

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

ca 3a + 4b + 5c ≤ ca

62







2

a + b +

2

c + b+

1 2 2a+

3 2 2c







Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế:

3a + 4b + 5c ≤ 1

62







a + b +

c + b+

X

1

2ca

3

2ca 2c







= a + b + c 12 Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0.

Nhận xét: Dạng tổng quát của phương pháp tách ghép này chính là Bài 1, khi ta tách:

c + a + 2b = (c + b) + (a + b)

Một cách tổng quát hơn, xét phân thức đại diện ca

xa + yb + zc thì điều kiện để áp dụng được cách tách này là









x ≥ y 2

z ≥ y 2

Có thể thấy ứng dụng của phép tách này cũng khá rộng (vì điều kiện sử dụng của nó thoáng hơn và

dễ gặp hơn) Tuy nhiên, nó cũng không thể sánh bằng phương pháp tách ghép tổng quát được nêu

ở phần trên (bằng chứng là bài 2, bài 3, bài 4 và bài 7) Đó chính là điều tác giả muốn khẳng định với bạn đọc qua phần Phụ lục

Mong rằng qua bài viết nhỏ này, các bạn có thể nhận ra điểm mạnh, điểm yếu của từng phương pháp để áp dụng linh hoạt trong việc giải lớp bất đẳng thức được đề cập Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện bài viết xin gửi vào hộp mail khapham_1411@yahoo.com Xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm

[2] Diễn đàn MathScope: http://forum.mathscope.org/index.php