Tập hợp bổ đề chứng minh bất đẳng thức luyện thi đại học k2pi.net.vn

Sẽ tiếp tục cập nhật.

NHỮNG BỔ ĐỀ THƯỜNG DÙNG KHI

GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Thế giới toán bất đẳng thức là một khung trời đầy tính nghệ thuật,lãng mãn và sự thách thức trị tuệ con người.Ta vẫn nhớ đến bất đẳng thức quen thuộc Nesbit:

Khi cho a b c , , ta có 3

2

b c caa b  Bài toán thoáng đơn giản với hơn 50 cách chứng minh đã được công bố,tuy nhiên con đường mở rộng bất đẳng thức trên lại trải qua hang chục năm dài.Điều đó minh chứng cho ta thấy việc bước trên đường giải toán bất đẳng thức không phải dể đi.Chính vì thế những ai thật sự đam mê mới làm nên thành công trên bước đường chinh phục các biến số a b c, , than quen này.Nhằm tạo cho các bạn những định nghĩa ban đầu về hướng đi đến những bài toán bất đẳng thức hay qua những bổ đề ,đẳng thức nhỏ,chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại nhiều bổ đề đơn giản ấy,các bạn sẽ sáng tạo ra nhiều bài toán bất đẳng thức hay hơn, đẹp hơn nữa.Bài viết nhỏ này nếu có gì sai sót mong nhận được sự góp y từ các bạn và nếu bạn nào có những bổ đềhay hơn xin gởi về địa chỉ email: ngohoangtoan1994@gmail.com để tác giả tổng hợp cho bài viết thêm sinh động.Thân ái!

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG QUAN TÂM

ab bc ca  a b b c c a   a b b c c a  

      

ab bc ca  a b b c c a   a b c  a b b c c a  

2 3 3 2

cyc cyc

a b  a b  ab bc ca a b b c c a    

 

     

cyc cyc

ab  a b ab bc ca  a b c a b b c c a  

 

cyc

a b b c

a b b c

 



ứng dụng:Cho a b c, , đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:

 2  2  2

1 4

a b  b c  c a  

Đào Hải Long

Lời giải

Ta có:

 

2 2

a b

a b





Mà

2

cyc

a b a b b c

a b a b b c

3 k a k b 1

b c c a

 



ứng dụng:

tương tự đẳng thức 2 ta có bất đẳng thức sau:

2

Trần Quốc Anh

  

2

1

b c

a b a c







5

 

ab bc

a b b c

 



6  2 2 22    4  4  4  4

3 a b c 2 ab bc ca   a b c   a b  b c  c a

7

2 2 2

a bc b ca

a b c

b c c a



2

a bc b ca

a b c

b c c a

   



3

a b c  a b c  a b b c c  a

11.a b b c c a a b b c c a 0



13

  

2

1

a

a b a c  



a  b  c   ab bc ca    a b c abc  

3

a b c  abc a b c  a b c  ab bc ca 

16.a b b c c    a  a b c ab bc ca     abc

xa x b x c x x a b c  x ab bc ca  abc

18.x a x b x c x3x2a b c  x ab bc ca   abc

19.x a b a c    y b c b a    z c a c b    

  2   2   2

20.Nếu đặt pa b c q  , ab bc ca r  , abcta có một số kết quả sau:

i a b b c c    a pq r

ii          2

a b b c   ca a b  ca c b  p q

iii 4 4 4 4 2 2

a b c  p  p q q  pr

a b c  p  p q pq  p r qr

a b c  p  p q p r p q  pqr r  q

vi.a b b c c a2  2  2 a b b c c a2  2  2 9r2p36pq r q3

vii. 3 3 3  3 3 3 2 2  5 3 2 4

a b b c c a  ab bc ca  p r  p  p apq rq

5

a b c  a b c  a b b c c  a a b c ab bc ca 

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1.Bất đẳng thức AM-GM

Cho a a1, 2, ,a nlà các số thực không âm thì

1 2 n 1 .2

a a  a n a a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

Mở rộng AM-GM:

Cho x x1, 2, ,x nlà các số thực không âm thỏa mãn x1x2 x n 1.Nếu a a1, 2, ,a nlà các

1 1 2 2 1x 2x x n

x a x a  a x a a a đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2 n

a a  a

2.Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với hai bộ số thực tùy ý a a1, 2, ,a nvà b b1, , ,2 b nta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

n

a

b b   b Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:

Giả sử là các số thực bất kì và b b1, , ,2 b nlà các số thực dương

Khi đó ta luôn có: 2 2 2  2

1 2

1 2

n n

n

a

a a

  

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

n

a

b b   b bất đẳng thức Bernoulli:

Với mọi số thực x  1,ta có :i.1xr rx1với r1 àv r0

ii 1xr rx1với 0 r 1

ngoài ra,nếu a a1, 2, ,a nlà các số thực thỏa mãn tính chất “ hoặc tất cả a iđều không âm

hoặc tất cả đều nằm trong đoạn  0;1 ”thì:1a11a2  1a n 1 a1a2 a n

4.Bất đẳng thức Holder

Cho m n, là hai số nguyên dương và x iij 1, ,m j1,nlà các số thực dương tùy ý.Giả sử

1 2

w ,w , , wnlà các số thực dương thỏa mãn w1w2 w n 1.Khi đó ta có:

11 21 1 12 22 2 1 2 11 12 1 n 21 22 2n 1 2 n

x x  x x x   x x  x x x x x x x  x x x

hay có phắt biểu hay sử dụng là :

i Với a b c m n p x y z, , , , , , , , là các số thực dương ta có:

 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3

ax

a b c x y z m n p  m byn czp 

Chứng minh:

   

3

3

a b c  x y z  m n  p  a b c x y z m n  p

Từ đó ta có điều phải chứng minh

ii Với các số thực dương a a1, 2, ,a n ta có:

1 11 2  1  1 n 1 2 n

Chứng minh:

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

n

a  a   a  a a a

1 2

n

n n

n

n a a a a

a  a   a  a a a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh

5.Bất đẳng thức Chebyshev

Với hai dãy số thực đơn điệu tăng a a1, 2, ,a nvà b b1, 2, ,b nta có:

1

n

Kết quả thường sử dụng là :Nếu a a1, 2, ,a n là các số thực dương có tổng bằng n thì

1n 2n n 1n 2n n

a  a   a  a a  a

6.Bất đẳng thức Schur

Cho các số thực không âm a b c, , Khi đó với mọi số thực dương rta có:

a a b a c  b b c b a  c c a c b  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  ,hoặc a 0và b c hoặc các hoán vị tương

ứng

Trường hợp thường sử dụng là khi r 1và r 2

Với r 1ta có bất đẳng thức Schur bậc ba:

3 3 3

3

a b c  abcab a b bc b c ca ca

a b c  39abc4a b c ab bc ca     

  2  0

cyc

b c b c a  



2

abc

a b c

 

4

2

b c caa b  a b b c c  a 

Với r 2ta có bất đẳng thức Schur bậc bốn:

a b c abc a b c  ab a b bc b c ca c a

Bổ đề và các ứng dụng

Bài 1

n

n n n

a b c a b c  

  với a b c, , 0;n

Chứng minh

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

 

1



 

1



 

1



Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Ứng dụng

Những ứng dụng của bất đẳng thức này ta nhận thấy rất rõ qua những bài toán sau: 1.Với a b c , , 0.Chứng minh rằng:

a b c         

Chứng minh:

Ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2

a  b  c a b c  a b

Tương tự cho các biểu thức còn lại ta có được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Tương tự, ta cũng có thể giải bài toán tổng quát sau:

a b c         

2.Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn a b c  3.Chứng minh rằng:

5 5 5

3 2

b c c a a b 

Ngô Hoàng Toàn 3.Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn a b c  3.Chứng minh rằng:

3 2

b c c a a b 

Ngô Hoàng Toàn 2.Cho x y z, , là độ dài ba cạnh của một tam giác.Ta có:

xyz xyz xyyzzx 3 y z xz x yxyz Chứng minh

Đặt a y z x b,   z x y c,  x yzthì ta có a b c , , 0và

Chuẩn hóa abc 1bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

a b c  a b b c c    a2 a b b c   

2

a b c

a b





Theo AM-GM ta có:

a b c a b c a b c

a b ab



a b c a b c 

n

xy  x y x y

Chứng minh

 

1

2n n n

n

xy  x y

 

1 2

n n n n n n n n

1 1 n 1 1 n n 2 2 n n

Ta cần chứng minh

T

Thật vậy theo AM-GM ta có:

T

4.Cho a b c , , 0.Ta có:  2 2 2  

2 a b c abc 8 5 a b c 

5.Cho a b c , , 0có 2 2 2  

a b c  abc  ab bc ca  Chứng minh

Sử dụng AM-GM và Schur ta có:

2

a b c  abc  ab bc ca  a b c  abc  ab bc ca 

2

1 1

3 3

3 3

2 2

ab a b  ab bc ca ab a b 

Suy ra điều phải chứng minh

Ứng dụng:

Cho a b c , , 0.Chứng minh rằng:

 2  2  2   

a  b  c   ab bc ca 

Ta có:

 2  2  2    2  2 2  2 2 2  

a  b  c   ab bc ca   a   a b  a b c   ab bc ca

2

4 a 4 ab bc ca 2abc 1 9 ab bc ca

2 2 2

a b c abc ab bc ca

6.Cho a b c , , 0.Chứng minh rằng:

a b b c c a  abc  abc

Đặt

P

a b b c c a

  

 

 

   

3

a b P







Đặt k  3abc sử dụng AM-GM ta có :

1a 1b 1c     1 a b c ab bc ca  abc 1 3k3k k  1k

2

P

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

7.Cho a b c , , 0ta có:

a b c abc a b c  ab a b bc b c ca c a

Chứng minh:

Không giảm tổng quát giả sử a b c 

a b c abc a b c  ab a b bc b c ca c a  b c a b c

Ta chứng minh:

 2 2 2  2 2  2 2 2  2 2 2   

0

b c a b c c a b b c  a a b  c a b a b b c  



Đúng theo giả sử

Ứng dụng

Cho a b c , , 0chứng minh rằng:

3 3 3

a b c  a b c   abc ab bc ca 

Sử dụng AM-GM ta có:

2 4

4 a b c ab bc ca 8 ab bc ca

a b c

 

  Tiếp theo ta chứng minh:

9 ab bc ca

a b c abc

a b c

 

 

4

Sử dụng bổ đề trên ta có:

a abc a b c   ab a b  ab a b  a b

8.Cho a b c , , 0ta có :3 ab 3bc3ca3  a2b2c22

Thật vậy:

 3 3 3 1  2 2 22 1  2 2 2

ab bc ca  a b c   a c ab ac  bc 

9  2 3 6 3

Ta có:  2  3 6 3   4 2 

ứng dụng

Cho x y z , , 0ta chứng minh : 3x2 x 1y2 y 1z2 z 1xyz2xyz1

Ta có:  2  2  2  3  2  3 2  3 2 3

3 x x 1 y y 1 z z 1 3 x x 1 3 y y 1 3 z z 1

Mặt khác theo bất đẳng thứcHolder ta có:

 2  3 2  3 2  3 6 3  6 3  6 3 

 

1

xyz xyz

Suy ra điều phải chứng minh

Sẽ tiếp tục cập nhật