Phương pháp lặp ẩn tìm nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

Lþ thuy¸t b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ra íi v o nhúng n«m 60 v  l  mët cæng cö m¤nh v  thèng nh§t º nghi¶n cùu mët lîp rëng c¡c b i to¡n c¥n b¬ng. Câ thº th§y ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu rëng r¢i v  trð th nh mët cæng cö húu hi»u trong vi»c x¥y düng c¡c kÿ thuªt º gi£i mët sè b i to¡n, gçm câ: b i to¡n c¥n b¬ng m¤ng giao thæng, b i to¡n c¥n b¬ng gi¡, c¡c b i to¡n c¥n b¬ng t i ch½nh, c¥n b¬ng nhªp c÷, b i to¡n vªn t£i, lþ thuy¸t trá chìi v  nhi·u b i to¡n trong l¾nh vüc vªt lþ v  k¾ thuªt kh¡c. Nhi·u b i to¡n trong to¡n håc ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n nh÷ b i to¡n bò phi tuy¸n, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n iºm b§t ëng. Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  düa tr¶n c¡ch ti¸p cªn thæng qua iºm b§t ëng. Nëi dung cõa ph÷ìng ph¡p n y l  ÷a b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v· b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ nghi»m th½ch hñp. Ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient l  mët k¸t qu£ theo h÷îng ti¸p cªn n y b¬ng c¡ch sû döng ph²p chi¸u metric PC º x¥y düng mët d¢y l°p hëi tö m¤nh ¸n nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Ph÷ìng ph¡p n y câ ÷u iºm l  d¹ lªp tr¼nh v  tèc ë hëi tö m¤nh. Tuy nhi¶n ph÷ìng ph¡p n y th¼ vi»c t½nh to¡n ¡nh x¤ chi¸u metric PC khæng ìn gi£n v¼ sü phùc t¤p cõa tªp con lçi âng b§t ký C. º kh­c phöc khâ kh«n n y, Yamada ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai ÷íng dèc nh§t v o n«m 2001 º gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng ii

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-NGUYỄN THỊ MINH CHÂU

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM

CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-NGUYỄN THỊ MINH CHÂU

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM

CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TS NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

1

Mục lục

Mở đầu

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

Chương 2

Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân

Kết luận

Mục lục

Mở đầu ii

Bảng ký hiệu v

1 Một số khái niệm cơ bản 1 1.1 Không gian Banach 1

1.1.1 Không gian Banach 1

1.1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn đều 3

1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 5

1.2 Không gian Hilbert 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Ví dụ 7

1.3 Bài toán đặt không chỉnh 7

1.3.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 7

1.3.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 9

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân 9

1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 9

1.4.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm 14 1.5 Bài toán điểm bất động 15

1.5.1 Ánh xạ đơn điệu Ánh xạ không giãn 15

1.5.2 Bài toán điểm bất động 17

2 Phương pháp lặp ẩn giải bài toán bất đẳng thức biến

2.1 Phương pháp lặp ẩn giải một lớp bất đẳng thức biến

phân trong không gian Hilbert 212.2 Phương pháp lặp ẩn giải một lớp bất đẳng thức biến

phân trong không gian Banach 232.2.1 Mô tả phương pháp 232.2.2 Sự hội tụ 26

MỞ ĐẦU

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60 và làmột công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu một lớp rộng các bàitoán cân bằng Có thể thấy phương pháp bất đẳng thức biến phânđược quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệutrong việc xây dựng các kỹ thuật để giải một số bài toán, gồm có: bàitoán cân bằng mạng giao thông, bài toán cân bằng giá, các bài toáncân bằng tài chính, cân bằng nhập cư, bài toán vận tải, lý thuyết tròchơi và nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý và kĩ thuật khác Nhiềubài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳng thức biếnphân như bài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tối ưu,bài toán điểm bất động

Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựatrên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phươngpháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bấtđộng của một ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient

là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếumetric PC để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bấtđẳng thức biến phân Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình vàtốc độ hội tụ mạnh Tuy nhiên phương pháp này thì việc tính toánánh xạ chiếu metric PC không đơn giản vì sự phức tạp của tập conlồi đóng bất kỳ C Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuấtphương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không

gian phi tuyến Từ đó đến nay có nhiều công trình nhằm mở rộnghướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức biến phân.Mục đích của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một kếtquả nghiên cứu mới đây trong [4] về việc nghiên cứu phương pháp lặp

ẩn giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong giải tích phi tuyến một cải biến kết quả của Yamada

-Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:

Trong chương một, chúng tôi sẽ hệ thống lại một số khái niệm cơbản gồm: không gian Banach,không gian Hilbert, khái niệm bài toánđặt không chỉnh, khái niệm điểm bất động, bài toán bất đẳng thứcbiến phân

Chương hai gồm các kiến thức về phương pháp lặp ẩn giải một lớpbất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert, trong không gianBanach

Tôi mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Giáo sư

- Tiến sĩ Nguyễn Bường, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôitrong quá trình tôi thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tôi hoànthành luận văn này

Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư, tiến sĩ ở ViệnToán học, Viện công nghệ thông tin thuộc Viện khoa học và và côngnghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học nóichung và khoa Toán - Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạtcho tôi nhiều kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi học tập tạitrường

Cuối cùng, tôi cũng muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè đã cổ vũ

tôi trong suốt thời gian vừa qua.

Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này khôngthể tránh khỏi có nhiều thiếu sót Tôi rất mong sẽ nhận được nhiều ýkiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

Hải Phòng, tháng 5 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Minh Châu

BẢNG KÝ HIỆU

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản củagiải tích hàm và giải tích hàm phi tuyến có liên quan đến nội dungnghiên cứu của đề tài Các kiến thức này được tham khảo trong cáctài liệu [1], [2], [3],[8], [9], [12]

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực là một không giantuyến tính thực E trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ E ta có một sốkxk gọi là chuẩn của x thỏa mãn các điều kiện sau:

là không gian Banach với chuẩn

kφk =

… b Z

a

|φ(x)|pdx

 1 p

, φ ∈ Lp[a, b] Cho E là không gian Banach thực, E∗ là không gian liên hợp của

E Không gian liên hợp của E∗ được gọi là không gian liên hợp thứhai của E và kí hiệu là E∗∗, tức là E∗∗ = L(E∗, R)

Định nghĩa 1.2 Không gian định chuẩn E gọi là không gian phản

xn → x0

Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh

Dãy {xn} ⊂ E được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ E, kí hiệu là xn * x0

nếu với ∀f ∈ E∗ ta có f (xn) → f (x0), khi n → ∞

Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau:

Tính chất 1.1 (i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {xn} suy ra sựhội tụ yếu của dãy đó

(ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất

(iii) Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội

(iv) Nếu E là không phản xạ thì xn * x khi và chỉ khi dãy {hf, xni}hội tụ trong R với mọi f ∈ E∗

(i) E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều;

(ii) {xn} ∈ M với M là một tập compact trong E

Định lý 1.1 (Banach - Steinhaus) Cho E là không gian Banach,

fn ∈ E∗ và giả sử dãy {hfn, xi} bị chặn với mọi x ∈ E Khi đó dãy{fn} bị chặn trong E∗

Định lý 1.2 Giả sử {fn} ⊂ E∗ hội tụ mạnh đến f ∈ E∗ và {xn} ⊂ Ehội tụ yếu đến x ∈ E hoặc {fn} ⊂ E∗ hội tụ yếu đến f ∈ E∗ và{xn} ⊂ E hội tụ mạnh tới x ∈ E Khi đó lim

x→∞hfn, xni = hf, xi

Định nghĩa 1.4 Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E đượcgọi là không gian có tính chất Ephimov - Stechkin (hay tính chất E-S)nếu trong E sự hội tụ yếu các phần tử (xn * x) và sự hội tụ chuẩn(kxnk → kxk) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (kxn− xk → 0)

1.1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn đều

Cho E là một không gian Banach thực, E∗ là không gian liên hợpcủa E và hx∗, xi là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ E∗ tại x ∈ E Ký hiệu

2E là một họ các tập con khác rỗng của E Cho T là một ánh xạ vớimiền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểmbất động của ánh xạ T , nghĩa là

F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}

Ký hiệu mặt cầu đơn vị của E là SE, tức là SE = {x ∈ E : kxk = 1}

Định nghĩa 1.5 Không gian Banach E được gọi là không gian(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SE, x 6= y thì

k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1),(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãnkxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho

x + y2

≤ 1 − δ

Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản

(ii) có một chuẩn khả vi Gâteaux đều, nếu giới hạn đạt được đềuvới x ∈ SE(0)

Không gian E được gọi là lồi chặt, nếu cho x, y ∈ SE(0) với x 6= y,chúng ta có k(1 − λ)x + λyk < 1 với mọi λ ∈ (0, 1)

Định lý 1.3 [6] Cho E là một không gian Banach trơn, thực và

F : E → E là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co ngặt với η + γ > 1.Khi đó, với bất kì λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co với hằng số 1 − λτ ,trong đó τ = 1 −È(1 − η)/γ

Định nghĩa 1.7 Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩnthực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ E Mô đun trơn của

Ta có định nghĩa khác về không gian trơn đều như sau:

Định nghĩa 1.8 Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

Các không gian Lp, lp là các ví dụ về không gian trơn đều

1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Giả sử E là một không gian Banach có không gian đối ngẫu E∗ Đểđơn giản hóa, chuẩn của E và E∗ được ký hiệu bằng ký hiệu k.k và taviết hx, x∗i là giá trị của x∗ ∈ E∗ tại x ∈ E

Định nghĩa 1.9 Một ánh xạ J từ E vào E∗ thỏa mãn điều kiện

J (x) = {x∗ ∈ E∗ : hx, x∗i = kxk2 và kx∗k = kxk }

được gọi là một ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banachnói chung là đa trị Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong không gian Hilbert đó Ánh

xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau:

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian Banach Khi đó,

(i) J (x) là tập lồi, J (tx) = tJ (x) với t > 0; x ∈ E và J (−x) =

−J(x)

(ii) J là ánh xạ đơn trị nếu X∗ là không gian lồi chặt.

Nếu E là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

là đơn trị Nếu E là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của E Ta ký hiệuánh xạ có đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị là j

Bổ đề 1.1 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn thực Khi

đó ta có bất đẳng thức sau

kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i, ∀x, y ∈ E, ∀j(x + y) ∈ J (x + y)

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Định nghĩa

Cho H là một không gian tuyến tính trên R Một tích vô hướngtrong H là một ánh xạ h., i : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau:(i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

ξiηi, x = (ξ1, ξ2, , ξn), y = (η1, η2, , ηn) ∈ Rnvà

hφ, ψi =

b Z

a

φ(x)ψ(x)dx, φ, ψ ∈ L2[a, b]

1.3 Bài toán đặt không chỉnh

1.3.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào khônggian Banach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa củaHadamar:

Định nghĩa 1.10 Cho A là một toán tử từ không gian X vào khônggian Y Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu:1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này duy nhất;

3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì Bàitoán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill - posed) Đối vớicác bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thỏa mãn

Do vậy, các bài toán phi tuyến đều là các bài toán đặt không chỉnh.Hơn nữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta cóđịnh nghĩa sau:

Định nghĩa 1.11 Cho A là một toán tử từ không gian X vào khônggian Y Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệmcủa nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Chú ý 1.1 Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f ,

có nghĩa là x = R(f ), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y )nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε)cho ta ρX(f1, f2) ≤ ε, ở đây xi = R(fi), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2.Chú ý 1.2 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian nàynhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác

Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) dữ kiệnban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f Giả sử toán tử Ađược cho chính xác, còn vế phải f (có được do đo đạc) cho bởi fδ thỏamãn ρY(f, fδ) ≤ δ Như vậy, với (fδ, f ) ta cần phải tìm một phần tử

xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x0 của (1.3) khi δ → 0 Phần tử

xδ có tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt khôngchỉnh (1.3)

Chú ý 1.3 Gọi xδ là nghiệm của (1.3) với f thay bởi fδ (giả thiếtrằng nghiệm tồn tại) Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặtkhông chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x

1.3.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Sau đây ta sẽ chỉ ra một ví dụ về toán tử A mà (1.3) là bài toánđặt không chỉnh

Định nghĩa 1.12 Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh,nếu nó ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành hội tụ mạnh tức là nếu xn * xsuy ra Axn → Ax

Mệnh đề 1.2 Cho X và Y là các không gian Banach thực Nếu

A : X → Y là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh

Ví dụ 1.3 Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.3) (vô hạnchiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh

Định nghĩa 1.13 Nghiệm x0 được gọi là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏnhất của phương trình (1.3) nếu

kx0 − x∗k = min

x∈S 0

kx − x∗kvới

S0 = {x ∈ X : A (x) = A (x0) = f }

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.14 Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E∗

là không gian liên hợp của E, F : E → E∗ là một toán tử đơn trị

và K là tập con lồi, đóng của E Bài toán bất đẳng thức biến phân(variational inequality, viết tắt là VI(F, K)) được phát biểu như sau:

Với f ∈ E∗ hãy tìm x∗ ∈ K sao cho

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ K (1.4)Tập nghiệm của VI(F, K) kí hiệu là S∗

Ví dụ 1.4 f (x) là một hàm thực khả vi trên tập mở chứa C = [a, b].Tìm x∗ ∈ C sao cho

f (x∗) = min

x∈C f (x), x∗ ∈ [a, b]

Có 3 trường hợp xảy ra:

a) Nếu x∗ ∈ (a, b), theo định lý Fermat, ta có f0(x∗) = 0;

b) Nếu x∗ = a, f (x∗) = lim

x→x ∗+

f (x)−f (x∗) x−x ∗ ≥ 0;

c) Nếu x∗ = b, f0(x∗) = lim

x→x ∗−

f (x)−f (x∗) x−x ∗ ≤ 0

Kết hợp lại, ta có thể viết x∗ là nghiệm của bài toán

f0(x∗) (x − x∗) ≥ 0, ∀x ∈ C

Như vậy x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4)với F = f0 trên C = [a, b]

Trong trường hợp F là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm f :

E → R ∪ { + ∞} lồi chính thường nửa liên tục dưới thì bất đẳng thứcbiến phân (1.4) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi

thì A(x∗) = f

Nếu A là một toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trên tương đươngvới

hA (x∗) − f, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ E (1.7)Chứng minh Giả sử x∗ không là nghiệm của phương trình Ax = f ,khi đó tồn tại vectơ z 6= 0 trong E sao cho

Bây giờ ta chứng minh (1.6) ⇒ (1.7) Thật vậy, do A là toán tử đơnđiệu nên ta có

hAx − Ax∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ E, x∗ ∈ E

Bất đẳng thức này tương đương với

0 ≤ hAx − Ax∗, x − x∗i = h(Ax − f ) − (Ax∗ − f ) , x − x∗i

Chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho t sao đó cho t → 0 và

sử dụng tính chất h-liên tục của toán tử A ta được điều cần chứngminh

Mệnh đề 1.3 Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i) tương đươngvới (ii) Thật vậy, nếu x∗ là nghiệm của bài toán (1.5) thì với ∀x ∈

Ngược lại nếu x∗ thỏa mãn (1.9), với mọi x ∈ E, λ ∈ [0, 1] thì

f (x) − f (x∗) ≥ 1

λ[f ((1 − λ) x

∗ + λx) − f (x∗)] Cho qua giới hạn khi λ → 0 thu được

f (x) − f (x∗) ≥ hF (x∗) , x − x∗i ≥ 0

Điều này chứng tỏ x∗ là nghiệm của (1.5)

Ta sẽ chứng minh (ii) tương đương với (iii) Thật vậy, vì F : X → E∗

là toán tử đơn điệu nên

hF (x) − F (x∗) , x − x∗i ≥ 0, ∀x, x∗ ∈ E (1.10)Kết hợp (1.9) và (1.12) suy ra (1.10) Giả sử x∗ thỏa mãn (1.10).Lấy x = (1 − λ) x∗ + λy, y ∈ E, λ ∈ [0, 1] ta có

hF ((1 − λ) x∗ + λy) , (1 − λ) x∗ + λy − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E, x∗ ∈ E

1.4.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm

Định lý 1.4 Giả sử F là một toán tử đơn điệu h-liên tục và bức, K

là một con lồi đóng của E thỏa mãn intK 6= ∅ Khi đó, bất đẳng thức(1.4) có ít nhất một nghiệm với mọi f ∈ E∗

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.14 Cho E không gian Banach phản xạ thực, E∗

là không gian liên hợp E,... chuẩn tắc

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn khơng gian Banachnói chung đa trị Nếu E không gian Hilbert ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc tốn tử đơn vị I khơng gian Hilbert Ánh

xạ đối ngẫu chuẩn... đơn trị X∗ không gian lồi chặt.

Nếu E không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

là đơn trị Nếu E khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J liên tục tập