Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian bannach

B i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach E ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:Cho C l mët tªp con lçi âng, kh¡c réng cõa khæng gian Banach thüc nâ ÷ñc giîi thi»u trong cuèn s¡ch "An Int

THI NGUY–N, 10/2018

Möc löc

Ch÷ìng 1 Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

1.1 nh x¤ j-ìn i»u 4

1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u 5

1.1.2 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c 6

1.1.3 nh x¤ j-ìn i»u 7

1.1.4 To¡n tû gi£i 9

1.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach10 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j-ìn i»u v  ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t 10

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j-ìn i»u 13

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷íng dèc nh§t x§p x¿ nghi»m b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 17 2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n 17

2.1.1 Giîi h¤n Banach 17

2.1.2 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n v  sü hëi tö 18

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p hi»n 24

2.2.1 Mæ t£ ph÷ìng ph¡p 24

2.2.2 Sü hëi tö 252.2.3 V½ dö minh håa 35

D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A

R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A

A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A

d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp Clim supn→∞xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn}

lim infn→∞xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn}

xn → x0 d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· x0

xn * x0 d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x0

j ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà

Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

∂f d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f

Mð ¦u

Cho E l  khæng gian Banach thüc Kþ hi»u E∗ l  khæng gian li¶n hñpcõa E, hx∗, xi l  gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc x∗ ∈ X∗t¤i x ∈ E v  chu©n cõa E v  ∗ ·u kþ hi»u l  k · k B i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach E ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:Cho C l  mët tªp con lçi âng, kh¡c réng cõa khæng gian Banach thüc

nâ ÷ñc giîi thi»u trong cuèn s¡ch "An Introduction to VariationalInequalities and Their Applications" cõa D Kinderlehrer v  G Stam-pacchia xu§t b£n n«m 1980 v  trong cuèn s¡ch "Variational and Qua-sivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems"cõa C Baiocchi v  A Capelo xu§t b£n n«m 1984

Luªn v«n tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n (1) trong khæng gian Banach lçi ·u, câ chu©n kh£ vi G¥teaux

·u vîi tªp r ng buëc C l  tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤

m-j-ìn i»u Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng.Ch÷ìng 1 giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa khæng gianBanach lçi ·u, câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©nt­c, ¡nh x¤ j-ìn i»u, to¡n tû gi£i trong khæng gian Banach; çngthíi tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t gi£i b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n, ph÷ìngph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t, ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng

iºm cõa ¡nh x¤ m-j-ìn i»u trong khæng gian Banach

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· k¸t hñp vîi ph÷ìngph¡p ÷íng dèc nh§t (mët ph÷ìng ph¡p l°p ©n v  hai ph÷ìng ph¡pl°p hi»n) gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi ¡nh x¤ gi¡ l  ¡nhx¤ j-ìn i»u m¤nh v  gi£ co ch°t, tªp r ng buëc l  tªp khæng iºmchung cõa c¡c ¡nh x¤ m-j-ìn i»u trong khæng gian Banach lçi ·u

câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håcTh¡i Nguy¶n ¦u ti¶n, tæi xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥us­c ¸n th¦y GS.TS Nguy¹n B÷íng, ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï tæitrong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n

Tæi xin gûi c¡m ìn ¸n c¡c quþ Th¦y Cæ trong khoa To¡n - Tin cõatr÷íng ¤i håc Khoa håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t ki¸nthùc v  kinh nghi»m quþ b¡u cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi håc tªpt¤i tr÷íng

Tæi xin gûi c¡m ìn ¸n c¡c quþ Th¦y Cæ trong Pháng  o t¤o cõaTr÷íng ¤i håc Khoa håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi chotæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y

Cuèi còng, tæi xin gûi líi c¡m ìn ¸n gia ¼nh v  b¤n b± ¢ ëngvi¶n, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh luªn v«n n y

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018

T¡c gi£ luªn v«nNguy¹n V«n H£i

Ch֓ng 1

Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc

bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach

Ch÷ìng n y tr¼nh b y trong hai möc Möc 1.1 giîi thi»u kh¡i ni»m

v  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Banach lçi ·u câ chu©nkh£ vi G¥teaux ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c, ¡nh x¤ j-ìn i»u v to¡n tû gi£i trong khæng gian Banach Möc thù hai cõa ch÷ìng giîithi»u v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j-ìn i»u trong khænggian Banach, tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t gi£i b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤khæng gi¢n v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· trong tr÷íng hñp °c bi»tt¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j-ìn i»u Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñcvi¸t tr¶n cì sð c¡c t i li»u [1][3], [11][14] v  c¡c t i li»u ÷ñc thamchi¸u trong â

1.1 nh x¤ j-ìn i»u

Cho E l  khæng gian Banach vîi khæng gian èi ng¨u kþ hi»u l 

E∗ Ta dòng kþ hi»u k.k cho chu©n trong E v  E∗ v  vi¸t t½ch èing¨u hx, x∗i thay cho gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ E∗ t¤i

iºm x ∈ E, tùc l  hx, x∗i = x∗(x) Vîi mët ¡nh x¤ A : E → 2E, tas³ ành ngh¾a mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà v  ç thà cõa nâ t÷ìng ùng

nh÷ sau:

D(A) = {x ∈ E : A(x) 6= ∅},R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)},

v 

G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}

nh x¤ ng÷ñc A−1 cõa ¡nh x¤ A ÷ñc ành ngh¾a bði:

x ∈ A−1(y) n¸u v  ch¿ n¸u y ∈ A(x)

1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u

ành ngh¾a 1.1.1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  ph£n x¤, n¸uvîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E∗∗, khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E, ·utçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho

x∗(x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ E∗.N¸u E l  khæng gian Banach ph£n x¤ th¼ måi d¢y bà ch°n trong E

·u câ d¢y con hëi tö y¸u â l  nëi dung cõa ành lþ sau ¥y

ành lþ 1.1.2 (xem [3]) Cho E l  khæng gian Banach Khi â, c¡ckh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) E l  khæng gian ph£n x¤

(ii) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u

Kþ hi»u SE := {x ∈ E : kxk = 1} l  m°t c¦u ìn và cõa khænggian Banach E Sau ¥y l  ành ngh¾a khæng gian Banach lçi ch°t v lçi ·u

ành ngh¾a 1.1.3 (i) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ch°tn¸u vîi måi iºm x, y ∈ SE, x 6= y, suy ra

k(1 − λ)x + λyk < 1 ∀λ ∈ (0, 1)

(ii) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ·u n¸u vîi måi ε ∈ (0, 2]

v  c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thäa m¢nth¼ tçn t¤i δ = δ(ε) > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ

Mèi li¶n h» giúa khæng gian Banach lçi ·u, lçi ch°t v  ph£n x¤

÷ñc cho bði ành lþ d÷îi ¥y

ành lþ 1.1.4 (xem [3]) Måi khæng gian Banach lçi ·u ·u l  lçich°t v  ph£n x¤

ành ngh¾a 1.1.5 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  trìn n¸u vîiméi iºm x n¬m tr¶n m°t c¦u ìn và SE tçn t¤i duy nh§t mët phi¸m

kx + tyk − kxk

tçn t¤i vîi x ∈ SE, kþ hi»u hy, 5kxki Khi â 5kxk ÷ñc gåi l  ¤o

h m G¥teaux cõa chu©n

(ii) Chu©n cõa E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi méi y ∈ SE,giîi h¤n (1.1) ¤t ÷ñc ·u vîi måi x ∈ SE

Mèi li¶n h» giúa khæng gian Banach trìn v  t½nh kh£ vi G¥teauxcõa chu©n ÷ñc cæng bè trong ành lþ sau

ành lþ 1.1.7 (xem [3]) Khæng gian Banach E l  trìn khi v  ch¿khi chu©n cõa E kh£ vi G¥teaux tr¶n E \ {0}

1.1.2 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c

ành ngh¾a 1.1.8 nh x¤ Js : E → 2E∗, s > 1 (nâi chung l  atrà) x¡c ành bði

Jsx = {uq ∈ E∗ : hx, usi = kxkkusk, kusk = kxks−1},

÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach E Khi

s = 2, ¡nh x¤ J2 ÷ñc kþ hi»u l  J v  ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨uchu©n t­c cõa E Tùc l 

J x = {u ∈ E∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}

Trong khæng gian Hilbert H, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c l  ¡nh x¤

ìn và I Kþ hi»u j ch¿ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà

ành ngh¾a 1.1.9 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J : E → E∗ cõakhæng gian Banach E ÷ñc gåi l 

(i) Li¶n töc y¸u theo d¢y n¸u J ìn trà v  vîi måi d¢y {xn} hëi töy¸u v· iºm x th¼ Jxn hëi tö y¸u v· Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E∗.(ii) Li¶n töc m¤nh-y¸u∗ n¸u J ìn trà v  vîi måi d¢y {xn} hëi tö m¤nhv· iºm x th¼ Jxn hëi tö y¸u v· Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E∗.T½nh ìn trà cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c câ mèi li¶n h» vîi t½nhkh£ vi G¥teaux cõa chu©n cõa khæng gian Banach

ành lþ 1.1.10 (xem [3]) Cho E l  khæng gian Banach vîi ¡nh x¤

èi ng¨u chu©n t­c J : E → 2E∗ Khi â c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) E l  khæng gian trìn

(ii) J l  ìn trà

(iii) Chu©n cõa E l  kh£ vi G¥teaux vîi 5kxk = kxk−1J x

ành lþ 1.1.11 (xem [3]) Cho E l  khæng gian Banach câ chu©nkh£ vi G¥teaux ·u Khi â ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c j : E → E∗

l  li¶n töc ·u m¤nh-y¸u∗ tr¶n måi tªp con bà ch°n trong E

1.1.3 nh x¤ j-ìn i»u

ành ngh¾a 1.1.12 nh x¤ A : E → E ÷ñc gåi l 

(i) η-j-ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè η > 0 sao cho vîi måi

x, y ∈ D(A), mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ A, ta câ

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ηkx − yk2, j(x − y) ∈ J (x − y);

(ii) α-j-ìn i»u m¤nh ng÷ñc (hay α-çng bùc j-ìn i»u) n¸u tçnt¤i h¬ng sè α > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ αkAx − Ayk2, j(x − y) ∈ J (x − y);(iii) j-ìn i»u n¸u vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y);

(vi) j-ìn i»u cüc ¤i n¸u A l  ¡nh x¤ j-ìn i»u v  ç thà G(A) cõa

¡nh x¤ A khæng thüc sü bà chùa trong b§t k¼ mët ç thà cõa mët

ành ngh¾a 1.1.15 nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ γ-gi£ coch°t n¸u tçn t¤i h¬ng sè γ ∈ (0, 1) v  j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx−yk2−γk(I−T )x−(I−T )yk2 ∀x, y ∈ C,

(1.3)vîi γ l  h¬ng sè khæng ¥m cè ành Trong (1.3), n¸u γ = 0 th¼ T ÷ñcgåi l  ¡nh x¤ gi£ co

Nhªn x²t 1.1.16 (xem [3])

(i) N¸u F : E → E l  ¡nh x¤ γ-gi£ co ch°t th¼ F l  ¡nh x¤ L-li¶ntöc Lipschitz vîi L = 1 + 1/γ

(ii) Måi ¡nh x¤ khæng gi¢n ·u l  ¡nh x¤ gi£ co li¶n töc

Bê · 1.1.17 (xem [7]) Cho E l  khæng gian Bannach thüc v trìn, ¡nh x¤ F : E → E l  ¡nh x¤ η-j-ìn i»u m¤nh v  γ-gi£ coch°t, vîi η +γ > 1 Khi â λ ∈ (0, 1), I −λF l  ¡nh x¤ co vîi h¬ng

sè co 1 − λτ, trong â τ = 1 − p(1 − η)/γ

1.1.4 To¡n tû gi£i

Thuªt ngú "resolvent" l  mët thuªt ngú ÷ñc °t ra bði Fredholm

v o cuèi th¸ k 19 khi æng b­t ¦u mët nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n ph¡t sinh tø vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o

h m ri¶ng Tham sè λ l  mët ph¦n cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, v tham sè n y ban ¦u ¢ t¡ch ra khäi c¡c bi¸n, kÿ thuªt ÷ñc t¤o rabði Fourier v o ¦u th¸ k 19 º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o

h m ri¶ng

Mët ¡nh x¤ A ÷ñc gåi l  thäa m¢n i·u ki»n mi·n n¸u

D(A) ⊂ R(I + λA) ∀λ > 0, (1.4)

ð ¥y D(A) l  bao âng cõa mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ A

ành ngh¾a 1.1.18 Cho E l  mët khæng gian Banach, A : D(A) ⊂

E → 2E l  mët ¡nh x¤ j-ìn i»u thäa m¢n i·u ki»n mi·n (1.4) Khi

â vîi méi λ > 0 ¡nh x¤ JA

λ : R(I + λA) → D(A) x¡c ành bði

÷ñc gåi l  to¡n tû gi£i cõa A

To¡n tû gi£i cõa A câ t½nh ch§t sau ¥y

Bê · 1.1.19 (xem [15]) N¸u c2 ≥ c1 > 0 th¼

1

rkJtAx − JrAJtAxk ≤ 1

tkx − JtAxk vîi måi x ∈ R(I +tA) v  r, t > 0

1.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian

Kþ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) l 

S∗

ành ngh¾a 1.2.1 nh x¤ QC : E → C ÷ñc gåi l  ph²p co rótkhæng gi¢n theo tia tø E l¶n C n¸u QC thäa m¢n:

(i) QC l  ph²p co rót tr¶n C, tùc l  Q2

C = QC;(ii) QC l  ¡nh x¤ khæng gi¢n;

(iii) QC l  ¡nh x¤ theo tia, tùc l  vîi måi 0 < t < ∞

QC(QC(x) + t(x − QC(x))) = QC(x)

Tªp C ÷ñc gåi l  tªp co rót khæng gi¢n theo tia n¸u tçn t¤i ph²p corót khæng gi¢n theo tia QC tø E l¶n C

Sü tçn t¤i cõa ph²p co rót tø khæng gian Banach E l¶n tªp lçi C

÷ñc cho trong bê · d÷îi ¥y

Bê · 1.2.2 (xem [3]) Måi tªp con C lçi âng cõa khæng gianBanach lçi ·u E ·u l  tªp co rót cõa E, tùc l  tçn t¤i ph²p corót tø E l¶n C

Bê · 1.2.3 (xem [10]) Cho C l  tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõakhæng gian Banach trìn E v  QC : E → C l  ph²p co rót tø E l¶n

C Khi â, c¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) QC l  ¡nh x¤ khæng gi¢n theo tia

(ii) hx − QC(x), j(y − QC(x))i ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C

ành ngh¾a 1.2.4 Cho C l  tªp lçi, âng, kh¡c réng trong khænggian Banach thüc E v  T : C → C l  ¡nh x¤ B i to¡n iºm b§t ëng

M»nh · 1.2.5 (xem [4]) Cho C l  tªp con kh¡c réng, lçi, ângcõa khæng gian Banach trìn E Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n (1.6) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n iºm b§t ëng:

x∗ = QC(I − λF )x∗, λ > 0, (1.8)tùc l  S∗ = Fix(QC(I − λF ))

Chùng minh Theo Bê · 1.2.3, ta câ p∗ ∈ Fix(QC(I − λF )) khi

÷ñc x¥y düng düa v o c¡c ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng Khi

F : E → E l  ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz v  η-j-ìn i»u m¤nh th¼

¡nh x¤ QC(I − λF ), vîi λ ∈ (0, 2η/L2) l  ¡nh x¤ co Khi â, theoNguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach, d¢y l°p Picard x¡c ành bði

xn+1 = QC(I − λnF )xn (1.9)hëi tö m¤nh v· iºm x∗ l  nghi»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6)

N«m 2001, Yamada [17] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íngdèc º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp r ng buëc C

l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n Ti, i = 1, , N trong khæng gian Hilbert thüc H, ngh¾a l 

C := ∩Ni=1Fix(Ti) b¬ng d¢y l°p xoay váng d÷îi d¤ng:

un+1 = T[n+1]un − λn+1µF (T[n+1]un), (1.10)

ð ¥y [n] := n mod N l  h m modulo l§y gi¡ trà trong tªp {1, 2, , N},

u0 l  iºm ban ¦u b§t ký trong H, µ ∈ (0, 2η/L2) Ph÷ìng ph¡p

do Yamada (2001) [17] · xu§t ÷ñc chùng minh l  hëi tö m¤nh v·nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khænggian Hilbert H khi C := ∩N

i=1Fix(Ti) vîi i·u ki»n °t l¶n d¢y tham

sè {λn} nh÷ sau: (L1) limn→∞λn = 0, (L2) P∞n=1 λn = ∞, v (L3) P∞

n=1|λn − λn+N| < ∞

Khi N = 1, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc cõa Yamada trð v·d¤ng

un+1 = T (un) − λn+1µF (T un)

Trong tr÷íng hñp F = 5ϕ th¼ d¢y l°p (1.10) hëi tö m¤nh v· iºm x∗

l  iºm cüc tiºu cõa h m ϕ(x) tr¶n tªp r ng buëc ∩N

i=1Fix(Ti) K¸tqu£ n y ¢ ÷ñc Deutsch v  Yamada [8] cæng bè n«m 1998 ×u iºmcõa ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc l  khæng c¦n thüc hi»n ph²pchi¸u l¶n tªp r ng buëc C cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n m  thay v o

â l  d¤ng âng cõa hå c¡c ¡nh x¤ m  tªp iºm b§t ëng chung cõa

hå ¡nh x¤ â l  tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n

k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j-ìn i»u

Trong möc n y ta x²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) trongtr÷íng hñp ¡nh x¤ gi¡ F l  η-j-ìn i»u m¤nh v  γ-gi£ co ch°t tr¶n E,tªp r ng buëc C l  tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ Ai : E → E

câ t½nh ch§t m-j-ìn i»u trong khæng gian Banach E lçi ·u câ chu©nkh£ vi G¥teaux ·u, ngh¾a l 

C = ∩Ni=1ZerAi N ≥ 1, (1.11)

ð ¥y ZerAi := {p ∈ D(Ai) : 0 = Aip}

Khi C ≡ E, (Ai ≡ I) th¼ (1.6) trð th nh ph÷ìng tr¼nh to¡n tû

F x = 0 Khi â, º t¼m mët nghi»m cõa ¡nh x¤ η-j-ìn i»u m¤nh

v  L-li¶n töc Lipschitz F vîi mi·n x¡c ành D(F ) = E ta sû döngph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t: l§y z1 ∈ E l  iºm b§t ký v 

d¢y l°p {zk} ÷ñc x¡c ành bði:

zk+1 = (I − tkF )zk, k ≥ 1, (1.12)trong â tk thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(C1) tk ∈ (0, 1), limk→∞tk = 0, P∞

k=1tk = ∞.Vîi c¡c t½nh ch§t tr¶n th¼ F l  mët ¡nh x¤ m-j-ìn i»u trong khænggian Bannach ph£n x¤ Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p cê iºn t¼mkhæng iºm cõa ¡nh x¤ m-j-ìn i»u A l 

x1 ∈ E, xk+1 = JrA

kxk, k ≥ 1, (1.13)trong â JA

r k = (I + rkA)−1 l  to¡n tû gi£i cõa A v  {rk} l  d¢y sèthüc d÷ìng Sü hëi tö cõa d¢y l°p (1.13) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trongkhæng gian Hilbert thüc H, rçi ph¡t triºn sang khæng gian Banachtrìn ·u E

Trong [9], Kaminrura v  Takahashi ¢ · xu§t hai thuªt to¡n Thuªtto¡n ¦u ti¶n cõa hå x¡c ành bði:

yk = JrA

kxk + ek, xk+1 = tku + (1 − tk)yk, (1.14)

ð ¥y {ek} l  d¢y sai sè Hå ¢ chùng minh r¬ng c¡c d¢y {xk} sinh

ra bði (1.14) hëi tö m¤nh tîi PZerAu, ph²p co rót khæng gi¢n theo tiachi¸u u l¶n ZerA, d÷îi i·u ki»n (C1) v 

(C2) rk ∈ (0, ∞) vîi måi k ≥ 1 v  limk→∞rk = ∞; v 

(C3) Pk≥1kekk < ∞

Hå công ch¿ ra thuªt to¡n thù 2

yk = JrAkxk + ek, xk+1 = tkxk + (1 − tk)yk, (1.15)hëi tö y¸u ¸n v ∈ ZerA vîi c¡c i·u ki»n (C1), (C2) v  (C3), ð

¥y v = limk→∞PZerAxk

Thuªt to¡n (1.14) v  (1.15) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu khi A l  mët ¡nhx¤ ìn i»u cüc ¤i trong khæng gian Hilbert thüc H C¡c thuªt to¡n

n y l  c¡c c£i bi¶n cõa thuªt to¡n iºm g¦n k·, mët thuªt to¡n ch¿cho sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u Mët c£i bi¶nkh¡c cho sü hëi tö m¤nh cõa thuªt to¡n iºm g¦n k· ÷ñc ÷a ra bði

r k+1 t k

r k t k+1 − 1 < ∞;(iii) {rk} l  d¢y sè thüc d÷ìng; v 

(vi) (C3)

Ho°c gi£ thi¸t X2:

(i) tk thäa m¢n i·u ki»n (C1) vîi P∞

k=1|tk+1− tk| < ∞;(ii) tk+1 ≤ rk+1

r k vîi måi k ≥ 1 v  limk→∞ t1

k

r k+1 t k

r k t k+1 − 1 < ∞;(iii) {rk} l  d¢y sè thüc sao cho 0 < r ≤ rk ≤ r vîi måi k ≥ 1 vîi

v  ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {yk} tîi PZerAu, n¸u c¡c

i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n

(i) tk thäa m¢n i·u ki»n (C1);

(ii) rk thäa m¢n i·u ki»n (C2); v 

(iii) ho°c (C3) ho°c kekk/tk → 0

Trong [13], Tian v  Song ¢ chùng minh hëi tö m¤nh cõa (1.17)d÷îi gi£ thi¸t X1 trø i·u ki»n (ii) G¦n ¥y Sahu v  Yao [11] ÷a rathuªt to¡n Prox-Tikhonov:

xk+1 = JrAk((1 − tk)xk + tkf xk + ek), k ≥ 1, (1.18)vîi ¡nh x¤ co f v  ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh vîi gi£ thi¸t t÷ìng

sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p Möc 2.2 tr¼nh b y hai ph÷ìng ph¡p l°phi»n v  c¡c ành lþ hëi tö m¤nh, çng thíi tr¼nh b y hai v½ dö sè trongkhæng gian hai chi·u K¸t qu£ cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð b ib¡o [6] cæng bè n«m 2018 v  mët sè t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â.2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n

2.1.1 Giîi h¤n Banach

X²t khæng gian c¡c d¢y sè bà ch°n `∞ = {x = (x1, x2, ) :supn|xn| < ∞}

ành ngh¾a 2.1.1 Phi¸m h m µ : `∞ → R ÷ñc gåi l  giîi h¤nBanach n¸u

Trong [13], Tian v  Song ¢ chùng minh hëi tử mÔnh cừa (1.17)dữợi giÊ thiát X1 trứ iÃu kiằn (ii)... trẵch dăn õ.2.1 Phữỡng phĂp lp ân

2.1.1 Giợi hÔn Banach

X²t khỉng gian c¡c d¢y sè bà ch°n `∞ = {x = (x1, x2, ) :supn|xn|