30 Bài Toán Bất Đẳng ThứcK2PI

30 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN K2PI.NETĐỀ BÀI Bài 1.. Choa, b, clà các số thực dương có tích là1... Choa, b, clà các số thực dương.. Cho các số thựcx, y lớn hơn1... Đánh giá từng số hạng

30 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN K2PI.NET

ĐỀ BÀI

Bài 1 Chox, y, z > 0thỏa mãn2p

x y +pxz = 1 Tìm Min của :

P = 3y z

x +4zx

y +5x y

z

Bài 2 Choa, b, clà các số thực dương có tích là1 Tìm GTNN của biểu thức

P = a2b + b2c + c2a +p6 1

a3+ b3+ c3

Bài 3 Choa, b, c > 0t/m:9(a4+ b4+ c4) − 25(a2+ b2+ c2) + 48 = 0tìm GTNN

F = a

2

b + 2c +

b2

c + 2a+

c2

a + 2b

Bài 4 Chox, y, zlà ba số thực thuộc đoạn[1; 3]vàx + y +2z = 6.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

P = x3+ y3+ 5z3

Bài 5 Chox, y ≥ 1thoả3(x + y) = 4x y Tìm min, max củaP:

P = x3+ y3+ 3µ 1

x2+ 1

y2

¶

Bài 6 Cho các số thựcx, y thuộc đoạn[1; 2] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

2

x2+ x y + y2

Bài 7 Chox, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:3¡x2+ y2¢ = 2¡x + y¢ Tìm GTNN của biểu thức:

P =

µ

x +1 y

¶2 +

µ

y +1 x

¶2

Bài 8 Chox, y, z ∈ [0;1]thỏa mãnx + y + z =3

2 Tìm giá trị lớn nhất của:

x2+ y2+ z2

Bài 9 Cho

½

x, y, z ≥ 0

x + y + z = 1 Tìm max:

S = x2y + y2z + z2x

Bài 10 Chox, y thỏa mãn:x p1 − y2+ yp1 − x2= 1.Chứng minh rằng:

x2+ y2= 1

Bài 11 Choa, b, c > 0thỏa mãna + b + c = 1 Chứng minh rằng:

P =

µ

a +1 a

¶2 +

µ

b +1 b

¶2 +

µ

c +1 c

¶2

≥ 33 +1

3

Bài 12 Chox, y, z > 0thoả mãnpx y +py z +pzx = 1Tìm GTNN của

T = x

2

x + y+

y2

y + z+

z2

z + x

Bài 13 Cho các số thực dươnga, b, c thỏa mãn:4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh rằng:

1

a+25

b +64

c ≥ 49

Bài 14 Với mọix, y, z > 0 Chứng minh:

q

x2+ x y + y2+

q

y2+ y z + z2+pz2+ zx + x2≥p3(x + y + z)

Bài 15 Choa, b, c > 0.Chứng minh:

a3

b +b

3

c +c

3

a ≥ ab + bc + ca

Bài 16 Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng:

1

a+1

b+1

c ≥ 5

µ 1

2a + 3b+

1

2b + 3c +

1

2c + 3a

¶

Bài 17 Choa, b, c > 0thỏa mãn15µ 1

a2+ 1

b2+ 1

c2

¶

= 10

µ 1

ab+ 1

bc + 1

c a

¶ + 2011Tìm giá trị lớn nhất của

5a2+ 2ab + 2b2+

1 p

5b2+ 2bc + 2c2+

1 p

5c2+ 2ac + 2a2

Bài 18 Cho các số thựcx, y, z thoả mãn:x2+ 2y2+ 3z2= 6 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

P = 3x + 2y + z

Bài 19 Cho các số thực dươnga, b, c thỏa mãn điều kiện:a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

µ

1 +1

a

¶ µ

1 +1

b

¶ µ

1 +1

c

¶

≥ 64

Bài 20 Cho các số thực không âma, b, c thỏa mãn điều kiện:ab + bc + ca = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =pa6+ b6+ 1 +pb6+ c6+ 1 +pc6+ a6+ 1

Bài 21 Cho các số thựcx, y lớn hơn1 Chứng minh rằng:

4a2

a − 1+

5b2

b − 1≥ 36

Bài 22 Choa, b, clà các số thực dương thoả mãna + b + c = 3 Chứng minh rằng:

a5

b2+ c2+

b5

c2+ a2+

c5

a2+ b2≥

3 2

Bài 23 Choa, b, clà các số thực không âm thỏa mãna +b +c = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =pa2+ 2b2+pb2+ 2c2+pc2+ 2a2

Bài 24 Choa, b, c > 0.Chứng minh:

1

4a+ 1

4b+ 1

4c ≥ 1

2a + b + c+

1

2b + c + a+

1

2c + a + b

Bài 25 Choa; b; c > 0 Chứng minh

a

a + b+

b

b + c+

c

c + a <

r

a

b + c+

s

b

c + a+

r

c

a + b

2

Bài 26 Chox; y; z > 1vàx + y + z = x y z Tìm GTNN của

P = y − 2

x2 +z − 2

y2 +x − 2

z2

Bài 27 Choa, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

a2

b5+b

2

c5+c

2

d5+d

2

a5 ≥ 1

a3+ 1

b3+ 1

c3+ 1

d3

Bài 28 Cho các số thực dươnga, b, c thỏa mãn điều kiệna + b + c = 3 Chứng minh rằng:

1

3 − a+

1

3 − b+

1

3 − c ≥

9

2¡a2+ b2+ c2¢

Bài 29 Cho các số thực dươnga, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

a2(c + a)+

1

b2(a + b)+

1

c2(b + c)

Bài 30 Choa, b, c > 0thỏa mãna + b + c = 3 Tìm GTNN của:

4

3

p

a3+ 7+

b4

3

p

b3+ 7+

c4

3

p

c3+ 7

LỜI GIẢI Bài 1

Chox, y, z > 0thỏa mãn2p

x y +pxz = 1 Tìm Min của :

P = 3y z

x +4zx

y +5x y

z

Lời giải

Ta có :P =

µ

x y

z +y z

x +zx

y +zx

y

¶ + 2

µ

x y

z +x y

z +y z

x +zx

y

¶

Bài 2

Choa, b, c là các số thực dương có tích là1 Tìm GTNN của biểu thức

P = a2b + b2c + c2a +p6 1

a3+ b3+ c3 Lời giải

Đặtx = a

c ; y = b

a ; z = c

b

Lúc đó :

P = x + y + z + 6 1

px2y + y2z + z2x

Tiếp đến sẽ CM bất đẳng thức phụ :

x2y + y2z + z2x ≤ 4

27(x + y + z)3− x y z

Bài 3

Choa, b, c > 0t/m:9(a4+ b4+ c4) − 25(a2+ b2+ c2) + 48 = 0tìm GTNN

F = a

2

b + 2c +

b2

c + 2a+

c2

a + 2b

Lời giải

Ta có:

a4+ b4+ c4≥1

3(a

2

+ b2+ c2) Kết hợp với giả thiết ta suy ra được

3(a2+ b2+ c2)2− 25(a2+ b2+ c2) + 48 ≤ 0 Suy ra

3 ≤ a2+ b2+ c2≤16

3

Sử dụng BĐTC auch y − Schw ar z ta có

F = a

2

b + 2c+

b2

c + 2a+

c2

a + 2b ≥

(a2+ b2+ c2)2

(a2b + b2c + c2a) + 2(ab2+ bc2+ ca2)

Ta lại có

(a2b + b2c + c2a)2≤ (a2+ b2+ c2)(a2b2+ b2c2+ c2a2) ≤1

3(a 2

+ b2+ c2)3

Do đó

a2b + b2c + c2a ≤p1

3(a

2

+ b2+ c2)pa2+ b2+ c2

Tương tự ta cũng có

ab2+ bc2+ ca2≤p1

3(a

2

+ b2+ c2)pa2+ b2+ c2

Từ đây ta suy ra

2+ b2+ c2)2 p

3(a2+ b2+ c2)p

a2+ b2+ c2=

1 p 3

p

a2+ b2+ c2≥ 1

Đẳng thức xảy ra khia = b = c = 1

Bài 4

Chox, y, zlà ba số thực thuộc đoạn[1; 3]vàx + y + 2z = 6.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

P = x3+ y3+ 5z3

Lời giải

Ta có :

1 ≤ x y ≤ (x + y)

2

4 = (3 − z)2

Đặtx y = t ⇒ 1 ≤ t ≤ (3 − z)2Lại có :

P = x3+ y3+5z3= (x + y)3−3x y(x + y)+5z3= (6−2z)3−3x y(6−2z)+5z3= −6t (3− z)+(6−2z)3+5z3

Xét hàm số : f (t ) = −6t(3 − z) + (6 − 2z)3+ 5z3, có :

f0(t ) = −6(3 − z) ≤ 0,∀z ∈ [1;3]

Bài 5

Chox, y ≥ 1thoả3(x + y) = 4x y Tìm min, max củaP:

P = x3+ y3+ 3µ 1

x2+ 1

y2

¶

Lời giải

Dự đoán dấu bằngx = y =3

2 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

P +27

8 ≥9

2x y + 6

x y

Đặtt = x y Từ giả thiết4x y = 3¡x + y¢ ≥ 6px y ⇒ x y ≥94

Xét hàm số: f (t ) =9

2t +6

t, vớit ≥9

4 Suy ra, GTNN của P bằng 93

12 Đạt được khix = y =3

Bài 6

Cho các số thựcx, y thuộc đoạn[1; 2] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

2

x2+ x y + y2

Lời giải

Ta có:x, y ∈ [1;2] ⇒ y

x ∈£12; 2¤ Biến đổi

1 +y

x+

³y x

´2

Đến đây, xét hàm số: f (t ) = t2+ t + 1, vớit = y

x

f (2) ≤ T ≤ 1

f ¡1 2

Bài 7

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:3¡x2+ y2¢ = 2¡x + y¢ Tìm GTNN của biểu thức:

P =

µ

x +1 y

¶2 +

µ

y +1 x

¶2

Lời giải

Từ giả thiết ta suy rax + y ≤4

3, biến đổi vế trái ( tức là thayx2+ y2=2(x + y)

3 ) ta được:

µ

x +1 y

¶2 +

µ

y +1 x

¶2

=2(x + y)

3 +4(x + y)

3x y +2(x + y)

3x2y2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay:

2(x + y)

3 +4(x + y)

3x y +2(x + y)

3x2y2 ≥2(x + y)

3(x + y)+

32

3(x + y)3

Đặtn = x + y( chú ý rằngn ≤4

3 ), ta quay về xét hàm:f (x) = 2n

4+ 16n2+ 32

3n3 Hàm này có f0(n) = 2(n

2− 12)(n2+ 4)

3n4 < 0

do đó f (n) ≥169

18 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix = y =2

Bài 8

Chox, y, z ∈ [0;1]thỏa mãnx + y + z =3

2 Tìm giá trị lớn nhất của:

x2+ y2+ z2

Lời giải Không mất tính tổng quát giả sửx ≥ y ≥ z.Viết lại điều kiện











1 ≥ x

1 +1

2=3

2≥ x + y

x + y + z = 3

2 Xét hàm số: f (x) = x2(x ≥ 0)ta cóf00(x) = 2 > 0;∀x ≥ 0)

Áp dụng bất đẳng thức Karamata ta có

x2+ y2+ z2≤ 1 +1

4+ 0 =5

4 Dấu "=" xảy ra khix = 1; y =1

6

Bỏi 9

Chox, y, z ≥ 0, x + y + z = 1Tớm max:

S = x2y + y2z + z2x

Lời giải Thayz = 1 − x − yvỏo ta được:

S = x2y + y2(1 − x − y) + x(1 − z − y)2

Coiylỏ biến,xlỏ tham số ta cụ

S0(y) = −3y2+ 2y + 3x2− 2x; S0(y) = 0 ⇔⇔

·

y = x

y = 2−3x3

Cụ

S(x) = 3x3− 3x2+ x, S( 2 − 3x

3 ) = −x3+ x2−x

3+ 4

27, S(1) = x3+ x2− x, S(0) = x3+ 2x2− x

Sử dụng bảng biến thiởn khảo sõt hỏm số ta xờt 2 trường hợp

TH1:x < 2 − 3x

3 ⇐⇒ x < 1

3 Qua bảng biến thiởn ta thấymax S = S(0)hoặc max S = S( 2−3x3 )

Khảo sõt hỏmS(0)vỏSâ2−3x

3

đ với0 < x <13

ta được maxS = 4

27 xảy ra cả vớiS(0)vỏSâ2−3x

3

đ

Dấu bằngxảy ra khi vỏ chỉ khix =1

3; y = 0; z = 1

3vỏ cõc hoõn vị TH2:x > 2 − 3x

3 ⇐⇒ x > 1

3

Bỏi 10

Chox, y thỏa mọn:x p1 − y2+ yp1 − x2= 1.Chứng minh rằng:

x2+ y2= 1

Lời giải

ạp dụng BĐT Bunhia cho giả thiết:

1 =

Ế

x

q

1 − y2+ yp1 − x2

ả2

≤âx2

+ y2đ ê2 − âx2

+ y2đô

⇒âx2

+ y2đ2− 2âx2

+ y2đ + 1 ≤ 0 ⇒ âx2

+ y2− 1đ2≤ 0 ⇒ x2+ y2= 1 Thế nỏy thớ sao: Xờtx 6= y Theo bunhia:

Ế

x

q

1 − y2+ yp1 − x2

ả2

≤âx2

+ 1 − x2đ â y2

+ 1 − y2đ = 1

⇒ x

q

1 − y2+ yp1 − x2≤ 1 Dấu " = ” xảy ra khi vỏ chỉ khi

x

p1 − y2=p y

1 − x2⇒ x

2

− x4= y2− y4⇔âx2

− y2đ âx2

+ y2− 1đ = 0 ⇒ fflpcm

Bài 11

Choa, b, c > 0thỏa mãna + b + c = 1 Chứng minh rằng:

P =

µ

a +1 a

¶2 +

µ

b +1 b

¶2 +

µ

c +1 c

¶2

≥ 33 +1

3

Lời giải

Dùng BĐT Bunhia:

V T ≥

µ

a +1

a + b +1

b + c +1

c

¶2

µ

1 +1

a+1

b+1

c

¶2

3

Do đó, ta cần chứng minh:

1

a+1

b+1

c ≥ 9 Lại dùng Bunhia:

9 =µpap1

a+pbp1

b+pcp1

c

¶2

≤ (a + b + c)µ 1

a+1

b+1

c

¶



Bài 12

Chox, y, z > 0thoả mãnpx y +py z +pzx = 1Tìm GTNN của

T = x

2

x + y+

y2

y + z+

z2

z + x

Lời giải1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki ta có:

µ

px + yp x

x + y+p y + zp y

y + z+

p

z + xp z

z + x

¶2

≤ (x + y + y + z + z + x)

µ

x2

x + y+

y2

y + z+

z2

z + x

¶

Suy ra:

T = x

2

x + y+

y2

y + z+

z2

z + x ≥

x + y + z

2 Mặt khác từ giả thiết ta có:

x + y + z ≥px y +py z +pzx = 1

Do đó:T ≥1

2 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =1

3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng1

2 x = y = z =1

Lời giải2

Sử dụng bất đẳng thứcC − Sdạng phân thức ta được:

T ≥ (x + y + z)

2

Màx + y + z ≥px y +py z +pzx = 1nênP ≥1

Bài 13

Cho các số thực dươnga, b, cthỏa mãn:4a + 9b + 16c = 49 Chứng minh rằng:

1

a+25

b +64

c ≥ 49

8

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thứcC − Sta có :

(4a + 9b + 16c)µ 1

a +25

b +64

c

¶

≥ (2 + 3.5 + 4.8)2= 492

Bài 14

Với mọix, y, z > 0 Chứng minh:

q

x2+ x y + y2+

q

y2+ y z + z2+pz2+ zx + x2≥p3(x + y + z)

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức

x2+ y2≥(x + y)2

2

Ta có

2px2+ x y + y2=

q

2(x + y)2+ 2(x2+ y2) ≥

q

2(x + y)2+ (x + y)2=p3(x + y) 

Bài 15

Choa, b, c > 0.Chứng minh:

a3

b +b

3

c +c

3

a ≥ ab + bc + ca

Lời giải1

V T ≥ ¡a

2+ b2+ c2¢2

ab + bc + ca ≥

(ab + bc + ca)2

Lời giải2

Ta có:

a3

b +b

3

c +c

3

a = a

4

ab+b

4

bc+ c

4

ac

Mặt khác ta được:

a4

ab+b

4

bc +c

4

ac ≥(a

2+ b2+ c2)2

ab + bc + ac ≥

(ab + bc + ca)2

ab + bc + ca = ab + bc + ca

Vậy bài toán được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c 

Bài 16

Choa, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

1

a+1

b+1

c ≥ 5

µ 1

2a + 3b+

1

2b + 3c +

1

2c + 3a

¶

Lời giải

Ta có

1

2a + 3b+

1

2b + 3c +

1

2c + 3a=

1 25

µ 25

2a + 3b+

25

2b + 3c+

25

2c + 3a

¶

≤ 1 25

µ 2

a+3

b+2

b+3

c+2

c +3

a

¶

=1 5

µ 1

a+1

b+1

c

¶



Bài 17

Choa, b, c > 0thỏa mãn15µ 1

a2+ 1

b2+ 1

c2

¶

= 10

µ 1

ab+ 1

bc+ 1

c a

¶ + 2011Tìm giá trị lớn nhất của

5a2+ 2ab + 2b2+

1 p

5b2+ 2bc + 2c2+

1 p

5c2+ 2ac + 2a2

Lời giải

Đặtx =1

a ; y =1

b ; z =1

c

⇒ 15¡x2

+ y2+ z2¢ = 10¡x y + yz + zx¢ + 2011 ≤ 10¡x2

+ y2+ z2¢ + 2011 ⇒ x2

+ y2+ z2≤2011

5 Mặt khác

¡x + y + z¢2≤ 3¡x2+ y2+ z2¢ ⇒ ¡x + y + z¢2≤ 3.2011

5

Ta có

1 p

5a2+ 2ab + b2≤

1 p

4a2+ 2ab + b2+ 2ab=

1

2a + b≤

1 9

µ 2

a+1

b

¶

=1

9¡2x + y¢

3¡x + y + z¢ ≤1

3

r

3.2011

Bài 18

Cho các số thựcx, y, z thoả mãn:x2+ 2y2+ 3z2= 6 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

P = 3x + 2y + z

Lời giải

Ta có P2≤¡x2+ 2y2+ 3z2¢

µ

9 + 2 +1

3

¶

Bài 19

Cho các số thực dươnga, b, cthỏa mãn điều kiện:a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

µ

1 +1

a

¶ µ

1 +1

b

¶ µ

1 +1

c

¶

≥ 64

Lời giải1

Ta chứng minh bất đẳng thức sau như một bổ đề:

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +p3abc)3

Chứng minh

Khai triển ra ta được:

1 + abc + ab + bc + ca + a + b + c ≥ 1 + 3p3 (abc)2+ 3p3abc + abc

⇐⇒ ab + bc + ca + a + b + c ≥ 3p3 (abc)2+ 3p3 abc Đúng theoAM −GM

Áp dụng bổ đề trên ta có :

µ

1 +1

a

¶ µ

1 +1

b

¶ µ

1 +1

c

¶

=(1 + a)(1 + b)(1 + c)

abc ≥(1 +p3 abc)3

Vớiabc ≤ 1

27 ta được :

(1 +p3 abc)3

³ 1

3

p

abc+ 1

´3

≥ 64

10

Vậya = b = c =1

Lời giải2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Ta có

1 +1

a =1

a (a + b + c + a) ≥ 1

a4

4

p

a2bc

=⇒ 1 +1

a ≥4

a

4

s

a4bc

a2 = 4r bc4

a2 Tương tự ta cũng có:

1 +1

b ≥ 4r ca4

b2; 1 +1

c ≥ 44

s

ab

c2

=⇒

µ

1 +1

a

¶ µ

1 +1

b

¶ µ

1 +1

c

¶

≥ 44

s

bc

a24r ca4

b244

s

ab

c2 = 64

Bài 20

Cho các số thực không âma, b, c thỏa mãn điều kiện:ab + bc + ca = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =pa6+ b6+ 1 +pb6+ c6+ 1 +pc6+ a6+ 1

Lời giải

Ta có :

a6+ b6+ 1 ≥(a

3+ b3+ 1)2 3

V T ≥ 2(a

3+ b3+ c3) + 3 p

3 ≥3ab + 3bc + 3ca

p

Bài 21

Cho các số thựcx, y lớn hơn1 Chứng minh rằng:

4a2

a − 1+

5b2

b − 1≥ 36

Lời giải

Áp dụngAM −GM ta có:

x − 1 = 1.(x − 1) ≤ µ 1 + x − 1

2

¶2

=x 2

4 =⇒ x

2

x − 1≥ 4

Nên

4a2

a − 1+

5b2

b − 1≥ 4 ∗ 4 + 4 ∗ 5 = 36

Bài 22

Choa, b, c là các số thực dương thoả mãna + b + c = 3 Chứng minh rằng:

a5

b2+ c2+

b5

c2+ a2+

c5

a2+ b2≥

3 2

Lời giải

Trước hết, nhận thấy đẳng thức xảy ra khia = b = c = 1 Do đó, a

5

b2+ c2=

1

2 Đánh giá từng số hạng ở VT để hạ bậc chúng Theo AM −GM, ta có:

a5

b2+ c2+b

2+ c2

4 +a

2 ≥3a

2 2 Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, suy ra:

V T ≥ ¡a2

+ b2+ c2¢ −3

2 Vấn đề còn lại là chứng minh:a2+ b2+ c2≥ 3

Ở đây, ta tiếp tục dùng AM −GMnhư sau:a2+ 1 ≥ 2a Do đó,

a2+ b2+ c2+ 3 ≥ 2 (a + b + c)

Bài 23

Choa, b, clà các số thực không âm thỏa mãna +b +c = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =pa2+ 2b2+pb2+ 2c2+pc2+ 2a2

Lời giải1

Ta có

p

a2+ 2b2≥p1

3a +

µp

3 −p1 3

¶

b ⇔ (a − b)2≥ 0 Tương tự

p

b2+ 2c2≥p1

3b +

µp

3 −p1 3

¶

c

p

c2+ 2a2≥p1

3c +

µp

3 −p1 3

¶

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

p

a2+ 2b2+pb2+ 2c2+pc2+ 2b2≥p1

3(a + b + c) +

µp

3 −p1 3

¶

(a + b + c) = 5p3

Vậymin P = 5p3khia = b = c =5

Lời giải2

Ta có : pa2+ 2b2≥a + 2b

p

3 Dopa2+ b2+ b2≥

s

(a + 2b)2

3 Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại cộng vế theo vế suy raMi nP = 5p3

Đẳng thức xảy ra khia = b = c =5

Bài 24

Choa, b, c > 0.Chứng minh:

1

4a+ 1

4b+ 1

4c ≥ 1

2a + b + c+

1

2b + c + a+

1

2c + a + b

Lời giải

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

a + a + b + c ≥ 4p4 a2bc > 0

12

a+1

a+1

b+1

c ≥ 44 1

a2bc > 0 Nhân vế theo vế:

(2a + b + c)µ 2

a+1

b+1

c

¶

≥ 16 Suy ra:

2

a+1

b+1

2a + b + c

Tương tự:

1

a+2

b+1

a + 2b + c

1

a+1

b+2

a + b + 2c

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

4

a+4

b+4

2a + b + c+

16

a + 2b + c+

16

a + b + 2c

⇔ 1

4a+ 1

4b+ 1

4c ≥ 1

2a + b + c+

1

2b + c + a+

1

2c + a + b

Bài 25

Choa; b; c > 0 Chứng minh

a

a + b+

b

b + c+

c

c + a <

r

a

b + c+

s

b

c + a+

r

c

a + b

Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy:

r

a

b + c =

a

p

a(b + c)≥

2a

a + b + c

Tương tự ta cũng có được những bất đẳng thức tương tự

⇒

r

a

b + c+

s

b

c + a +

r

c

a + b ≥ 2 (I )

a + b <

a + c

a + b + c (1)

a + b <

a + c

a + b + c ⇔ (a + c)(a + b) > a(a + b + c)

⇔ a(a + b) + c(a + b) > a(a + b) + ac ⇔ c(a + b) > ac ⇔ a + b > a(luôn đúng)

Tương tự ta cũng có:

a + b

a + b + c >

b

b + c (2)

c + a

a + b + c >

c

+C (3)

Ta có

(1) + (2) + (3) ⇒ a

a + b+

b

b + a+

c

a + c < 2 (I I )

Từ(I )và(I I ) ⇒ a

a + b+

b

b + c+

c

c + a <

r

a

b + c+

r

b

a + c+

r

c

Bài 26

Chox; y; z > 1vàx + y + z = x y z Tìm GTNN của

P = y − 2

x2 +z − 2

y2 +x − 2

z2

Lời giải

Từ giả thiết:

x + y + z = x y z ⇒ 1

x y + 1

y z+ 1

zx = 1

Do đó, đặta = 1

x ; b = 1

y ; c =1

z Ta thu được:0 < a,b,c < 1vàab + bc + ca = 1 Khi đó:

P = a2µ 1

b− 2

¶

+ b2µ 1

c− 2

¶

+ c2µ 1

a− 2

¶

P = a2µ 1

b− 1 +1

a− 1

¶

+ b2µ 1

c − 1 +1

b− 1

¶

+ c2µ 1

a − 1 +1

c− 1

¶

− (a + b + c)

Áp dụngAM −GM:

a2+ b2≥ 2ab ⇒µ 1

b − 1

¶

¡a2

+ b2¢ ≥µ 1

b− 1

¶

2ab = 2a − 2ab

Làm tương tự:

V T ≥ (a + b + c) − 2(ab + bc + ca) = (a + b + c) − 2

Cái công việc còn lại nhẹ nhàng rồi: TìmGT N N củaa + b + cvới0 < a < 1vàab + bc + ca = 1

Lại dùngAM −GM:a2+ b2≥ 2ab Tương tự thì thu được:

a2+ b2+ c2≥ ab + bc + ca ⇒ (a + b + c)2≥ 3 (ab + bc + ca) = 3

Bài 27

Choa, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

a2

b5+b

2

c5+c

2

d5+d

2

a5 ≥ 1

a3+ 1

b3+ 1

c3+ 1

d3

Lời giải

Ta có

3a 2

b5+ 2

a3≥ 55

r 1

b15= 5

b3

3b 2

c5+ 2

b3≥ 55

r 1

c15 = 5

c3

3c 2

d5+ 2

c3≥ 55

r 1

d15 = 5

d3

3d 2

a5+ 2

d3≥ 55

r 1

a15 = 5

a3

14

Bài 28

Cho các số thực dươnga, b, cthỏa mãn điều kiệna + b + c = 3 Chứng minh rằng:

1

3 − a+

1

3 − b+

1

3 − c ≥

9

2¡a2+ b2+ c2¢

Lời giải

V T = 1

b + c+

1

a + c+

1

a + b ≥

9

2(a + b + c)=

27

2(a + b + c)2≥

9

Bài 29

Cho các số thực dươnga, b, cthỏa mãn điều kiện:a + b + c = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

a2(c + a)+

1

b2(a + b)+

1

c2(b + c)

Lời giải

Ta có

1 = a + b + c ≥ 3p3abc ⇒ p3 1

abc ≥ 3

Do đóP =

1

a2

a + c+

1

b2

b + a+

1

c2

b + c ≥

µ 1

a+1

b+1

c

¶2

2(a + b + c) ≥

µ

33

r 1

abc

¶2

2 ≥81

Bài 30

Choa, b, c > 0thỏa mãna + b + c = 3 Tìm GTNN của:

4

3

p

a3+ 7+

b4

3

p

b3+ 7+

c4

3

p

c3+ 7

Lời giải

Ta có

a4

3

p

a3+ 7=

4a4

3

p

8.8.(a3+ 7)≥

4a4

a3+ 23 3

= 12a

4

a3+ 23

Hơn nữa,

12a4

a3+ 23−

µ 31

16a −23

16

¶

=(a − 1)2(161a2+ 345a + 529)

16(a3+ 23) ≥ 0 Suy ra

a4

3

p

a3+ 7≥

12a4

a3+ 23≥

31

16a −23

16 Tương tự

b4

3

p

b3+ 7≥

31

16b −23

16 và

c4

3

p

c3+ 7≥

31

16c −23

16 Cộng theo vế các bất đẳng thức,

a4

3

p

a3+ 7+

b4

3

p

b3+ 7+

c4

3

p

c3+ 7≥

31

16(a + b + c) − 3.23

16 =3 2 Vậymin P =3