Tác giả: Lê Đình Mẫn Giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC QUẢNG BÌNH 2016... KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY.0.1 Kỹ thuật tạo vết đám m
Trang 1Tác giả: Lê Đình Mẫn Giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh
KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY
TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
QUẢNG BÌNH 2016
Trang 30.1 KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY.
0.1 Kỹ thuật tạo vết đám mây.
<Giới thiệu>
Ví dụ 0.1.1. Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= 1
a2+b2 + 1
b2+c2 + 1
c2+a2
Lời giải.Không giảm tổng quát ta có thể giả sử a≥b≥c, bằng phép biến đổi tương đương ta có các đánh giá dưới đây:
•a2+c2 ≤
a+1007
2016c
2
;
•b2+c2≤
b+1009
2016c
2
;
•a2+b2 ≤
a+1007
2016c
2
+
b+ 1009
2016c
2
; Đặt x= a+ 1007
2016c, y=b+
1009
2016c⇒x+y =a+b+c=1 Khi đó
P≥ 1
x2+y2 + 1
x2 + 1
y2 = 1
x2+y2 + x2+y2
4x2y2 +3(x2+y2)
4x2y2
Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức AM−GMthu được kết quả
P≥ 1
xy +
3(x2+y2)
4x2y2 ≥ 4
(x+y)2 + 3(x+y)2
8x+2y4
=4+6=10
Khi x= y= 1
2 hay a= b= 1
2, c=0 thì P=10 Vậy min P =10.
Nhận xét. Tôi chắc chắn rằng sau khi đọc xong lời giải sẽ có không ít bạn tự đặt
ra một chuỗi các câu hỏi chẳng hạn như: Làm sao có thể nghĩ ra được lời giải như vậy? Bằng cách nào để có thể nghĩ đến được các đánh giá như thế? Và một điều nữa đó là các con số 1007
2016,
1009
2016 đưa vào như thế nào?
Đối với một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau tùy theo ý tưởng của người giải bài toán đó Tuy nhiên, để có thể tiết kiệm thời gian suy nghĩ trong định hướng lời giải, chúng ta hãy cố gắng tìm ra quy luật trong quá trình khám phá, tìm
tòi lời giải cho các bài toán Một kỹ thuật với với cái tên khá mới lạ "Tạo vết đám
Trang 4chúng ta có một niềm tin định hướng đúng đắn trong quá trình tìm lời giải cho bài toán bất đẳng thức
Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ rất cơ bản và rất quen thuộc - bất đẳng thức AM−GMcho 3 số không âm:
Ví dụ 0.1.2. Với các số thực không âm a, b, c, ta luôn có a3+b3+c3≥3abc
Phân tích và hướng dẫn giải
Giả sử ta xét trường hợp b=c Khi đó, bất đẳng thức trên trở thành
a3+2b3 ≥3ab2⇔ (a+2b)(a−b)2 ≥0(∗)
Việc xét trường hợp đặc biệt này nhằm mục đích gì? Bài toán tuy có nhiều cách giải nhưng tôi chỉ đề cập đến cách giải sau:
Theo bất đẳng thức AM−GMđối với 2 số không âm thì b3+c3 ≥ 2p(ab)3 Do
đó, ta cần phải chứng minh a3+2p(ab)3 ≥3abc(1)
Thật vậy, đặt x= √
ab, x≥ 0 ta có(1) ⇔ a3+2x3 ≥ 3ax2 ⇔ (a+2x)(a−x)2 ≥0 đúng
Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét.Quan sát các bất đẳng thức(∗)và (1)chúng ta sẽ thấy chúng có cùng một cấu trúc
Ví dụ 0.1.3. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh
a
b+c+
b
a+c+
c
a+b ≥
3 2
Phân tích và hướng dẫn giải
Xét trường hợp b=cbất đẳng thức trở thành a
2b+
2b
a+b ≥
3
2 (1) Đặt t= a
b, t>0
ta đưa về chứng minh bất đẳng thức một biến số
t
2+
2
t+1 ≥
3 2
Để ý rằng t
2 +
2
t+1 =
(t−1)2
2t+2 +
3
2 ≥
3
2 ∀t >0.
Trở lại bài toán a, b, c là các số dương tùy ý, ta viết a
b+c =
a
2.b+2c Với ý tưởng tương
Trang 50.1 KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY.
tự ví dụ 2, ta thử chứng minh
b
a+c+
c
a+b ≥
2.b+2c
a+ b+2c
Thật may mắn bất đẳng thức này tương đương với (a+b+c)(b−c)
2
(a+b)(a+c)(2a+b+c) ≥ 0 luôn đúng với mọi a, b, c dương
Việc còn lại bây giờ là chứng minh bất đẳng thức
a
b+c+
2(b+c)
2a+b+c ≥
3
2 (2)
Nếu đặt x = b+c
2 thì bất đẳng thức(2)có cấu trúc dạng giống với bất đẳng thức
(1)
Bài toán được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b= c
Ví dụ 0.1.4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh
1
a +
1
b+
1
c +
9
a+b+c ≥ 4
1
a+b+
1
b+c+
1
a+c
Phân tích và hướng dẫn giải
Cấu trúc bài toán gợi cho chúng ta nhớ đến bất đẳng thức phụ quen thuộc
1
x +
1
y ≥
4
x+y ∀x, y>0 Nhưng đối với bài toán này ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức phụ trên Hãy để ý khi cho b=cta thu được kết quả
1
a +
2
b +
9
a+2b ≥
8
a+b+
2
b ⇔
1
a +
9
a+2b ≥
8
a+b (1) Bất đẳng thức(1)luôn đúng theo Cauchy−Schwarz Hoặc cũng có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương thành 2(a−b)
2
a(a+b)(a+2b) ≥0
Vậy phép thử b = cnhằm mục đích gì? Qua phép thử này, chúng ta có thể định hướng nhanh được cách ghép các biểu thức như sau:
•1
b+
1
c −
4
b+c =
(b−c)2
bc(b+c);
• 1
a +
9
a+b+c−
4
a+b−
4
a+c
=1
a +
9
a+b+c−
16 2a+b+c+
16 2a+b+c−
4
a+b−
4
a+c
= (2a−b−c)2
a(a+b+c)(2a+b+c)− 4(b−c)
2
(a+b)(a+c)(2a+b+c)
;
Trang 6a(a+b+c)(2a+b+c)+
1
bc(b+c)− 4
(a+b)(a+c)(2a+b+c)
(b−c)2≥ 0(∗)
Nếu ban đầu giả sử a=max{a, b, c}thì ta sẽ có
4
(a+b)(a+c)(2a+b+c) ≤ 4
(bc+bc+bc+bc)(2a+b+c) <
1
bc(b+c)
Bài toán đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét. Nếu sử dụng đánh giá 1
b +
1
c ≥
4
b+c thì bất đẳng thức sẽ không còn đúng nữa Phép thử b = ckhá hiệu quả trong việc lựa chọn biểu thức ghép với nhau Tuy nhiên bài toán vẫn còn một số cách giải khác bạn đọc có thể tự tìm tòi
Ví dụ 0.1.5. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx6=0 Chứng minh rằng:
s
xy+yz+zx
x2+xy+y2 +
s
xy+yz+zx
y2+yz+z2 +r xy+yz+zx
x2+xz+z2 ≥2+ 1
√
3
Phân tích và hướng dẫn giải
Đẳng thức có được khi(x, y, z)là một trong các hoán vị của(t, t, 0)với mọi t là số dương Thử gán z=0, ta sẽ phải chứng minh bất đẳng thức
r
xy
x2+xy+y2 +
r x
y +
r y
x ≥2+
1
√
3 (1) Biến đổi bất đẳng thức này về dạng
v u u t
1
x+y
√
xy
2
−1
+ x+y
√
xy ≥ 2+
1
√
3
Đặt t= x+y
√
xy ta có t≥2 và
r 1
t2−1+t≥ 2+
1
√
3(2) Nhận thấy nếu t>3 thì bất đẳng thức(1)là hiển nhiên Xét t∈ [2; 3]ta có
(2) ⇔ (t−2)
"
1− t+2
p3(t2−1)(√
t2−1+√
3)
#
≥ 0
Trang 70.1 KỸ THUẬT TẠO VẾT ĐÁM MÂY.
Nhưng vì t+2
p3(t2−1)(√
t2−1+√
3) ≤ 3+2
3(√
3+√
3) =
5
6√3 < 1 ∀t ∈ [2; 3]nên bất đẳng thức(2)luôn đúng với mọi t≥ 2
Trở lại bài toán ban đầu, ta giả sử z =min{x, y, z} Khi đó
xy+yz+zx
x2+xz+z2 ≥ y+z
x+z ⇔
xz[y(x−z) +z(y−z)]
(x2+xz+z2)(x+z) ≥0 (đúng)
Tương tự ta cũng có xy+yz+zx
y2+yz+z2 ≥ x+z
y+z Ý tưởng của chúng ta là tìm cách đánh giá để đưa đến cấu trúc tương tự bất đẳng thức(1) Có nghĩa rằng chúng ta hi vọng bất đẳng thức dưới đây đúng
xy+yz+zx
x2+xy+y2 ≥ (x+z)(y+z)
(x+z)2+ (x+z)(y+z) + (y+z)2
Thật vậy, với giả sử z= min{x, y, z}thì đây là một bất đẳng thức hoàn toàn đúng
và chúng ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương Các đẳng thức phía trên đều xảy ra khi x= y> 0, z=0
Tiếp theo chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau nữa là xong:
r y+z
x+z +
s
x+z
y+z+
s
(x+z)(y+z) (x+z)2+ (x+z)(y+z) + (y+z)2 ≥2+ 1
√
3 (3)
Rất thú vị rằng bất đẳng thức (3)có cấu trúc tương tự bất đẳng thức(1) Vậy bài toán xem như được chứng minh xong
Bình luận. Theo dõi các ví dụ trên đây có lẽ bạn đọc đã hình dung được kỹ
thuật "Tạo vết đám mây" rồi đúng không? Thực ra kỹ thuật này cũng khá đơn giản
và dễ hiểu Bằng phương pháp đặc biệt hóa, chúng ta có thể làm lộ diện "vết" của một hướng đi đúng đắn để giải quyết bài toán Tuy nhiên đối với nhiều bài toán,
kỹ thuật này chỉ tạo được "vết" rất mờ mà chỉ những người có kinh nghiệm về bất đẳng thức mới có thể tìm được hướng giải quyết trọn vẹn
Bài tập rèn luyện.