60 Bài Toán Bất Đẳng ThứcK2PI

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =px2+ y + 12+px2+ y − 32.Bài 3 Lời giải anh Cẩn Quan sát đề bài, chúng ta có thể thấy ngay ý tưởng để giải bài này là dùng Cauchy − Schwarz nhưng tal





a2+ 2b2+ 8(a + b) = 16a.(a + 4) = 4b.(b + 2)

Em thấy cái dấu hiệu gì ở phương trình thứ 2 chưa??? Nhìn nhé

a(a + 4) = 4b(b + 2) ⇐⇒ a(a + 4) = 2b.(2b + 4)Hàm f (x) = x(x + 4) là hàm đồng biến trên R, từ đây ta suy ra a = 2b Thay vào phương trình thứ nhất và

ta tìm được b = −6 + 2

√15

3 , suy ra a =

−12 + 4√15

3 Và(16 + a2+ 2b2)3

108(a + 4)2(b + 2) =

448√15

9 − 192Vậy GTLN của x2y là 448

√15

c .Bài 2

Chú ý rằng bất đẳng thức trên có thể viết lại thành 4a + b ≤ mc, hay tương đương

(4 + n)a + (1 + n)b + (n − m)c ≤ 6n, ∀n > 0 (1)

Từ đây ta có ý tưởng là đánh giá Cauchy − Schwarz cho vế trái sao cho a2+ b2+ c2 xuất hiện (vì như thế

sẽ tận dụng được giả thiết a2+ b2+ c2 = 14) Cách đánh giá thích hợp ở đây là

2 ≤ [(4 + n)2+ (1 + n)2+ (n − m)2](a2+ b2+ c2)

= 14[(4 + n)2+ (1 + n)2+ (n − m)2]

(2)

5 + 3n − m,tức là

7 Ngoài ra, với các số

m, n như trên, thế (1) và (2), ta thu được

4a + b ≤ 31

2 c,với đẳng thức xảy ra khi a = 19

4a + b

c ≥ 2, (5)với đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 và c = 3 Bất đẳng thức (5) cũng được chứng minh tương tự như trên,

ta viết nó dưới dạng (sau khi đã chọn được các tham số thêm bớt thích hợp)

−4a − b + 2c ≤ 0,hay tương đương

3a + 6b + 9c ≤ 7(a + b + c) = 42

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có ngay

(3a + 6b + 9c)2 ≤ (32+ 62+ 92)(a2+ b2+ c2) = 14(32+ 62+ 92) = 422.Bài toán được giải quyết xong Cho hai số thực x và y thỏa mãn 2x − y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =px2+ (y + 1)2+px2+ (y − 3)2.Bài 3

Lời giải (anh Cẩn)

Quan sát đề bài, chúng ta có thể thấy ngay ý tưởng để giải bài này là dùng Cauchy − Schwarz nhưng talại không biết đẳng thức xảy ra tại đâu và dạng phát biểu của bài toán không gợi cho ta điều gì

Chính vì vậy, ta nghĩ đến việc sử dụng giả định dấu bằng :

Giả sử P đạt min tại x = a và y = b với 2a − b = 2

Khi đó, ta có các đánh giá sau sẽ đảm bảo được điều kiện đẳng thức

p

x2+ (y + 1)2 ≥ ax + (b + 1)(y + 1)

pa2+ (b + 1)2 , px2+ (y − 3)2 ≥ ax + (b − 3)(y − 3)

pa2+ (b − 3)2

a + 2b + 2

pa2+ (b + 1)2 + a + 2b − 6

pa2+ (b − 3)2 = 0,bởi vì thế giả thiết 2y − y = 2 sẽ tận dụng tối đa Như vậy, “điểm cực trị” của bài toán chính là ngiệm của

với đẳng thức xảy ra khi x = 2

Từ đó suy ra điểm M cần tìm chính là giao điểm của A0B và d

• Và hoàn toàn tương tự em có thể giải được bài sau : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểmA(2; 3; 0), B(0; −

√2; 0) và đường thẳng d có phương trình

P = x2+ 2y2+ 5z2.Bài 4

Lời giải

Dạng bài này trước đây anh hay dùng AM − GM để cân bằng hệ số : Ta cần tìm hằng số k sao cho

x2+ 2y2+ 5z2 ≥ k(xy + yz + zx) (k > 0)Giả sử P nhận giá trị nhỏ nhất khi x = a, y = b, z = c Lúc này ta sẽ đánh giá :

a + b5cGiải hệ này ta tìm được

Và ta suy ra

P = x2+ 2y2+ 5z2≥ 5Đẳng thức xảy ra khi x = √3

Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (x2+ 2y2+ 5z2)p(x2+ 2y2+ 5z2)2+ 4 − 1

Bài 5

Lời giải

Anh nảy ra một ý tưởng tìm hằng số k như sau : ta cần tìm hằng số k sao cho

x2+ 2y2+ 5z2 ≥ k(xy + yz + zx) (k > 0)Xem bất đẳng thức trên như một tam thức bậc hai với ẩn là x, ta đưa về

x2− k(y + z)x + 2y2+ 5z2− kyz ≥ 0Bất đẳng thức trên sẽ đúng nếu ∆x≤ 0 hay

k2(y + z)2− 4(2y2+ 5z2− kyz) ≤ 0 ⇐⇒ (8 − k2)y2+ 2(k2+ 2k)yz + (20 − k2)z2 ≥ 0

Em chia cả hai vế cho z2 và xem nó như một tam thức bậc hai với ẩn là t = y

z (đang nháp nên anh khôngxét trường hợp z = 0 :D) Ở bất đẳng thức ban đầu, em cho x : y : z = 1 : 1 : 1 thì sẽ có k ≤ 8

3, do đó

8 − k2 > 0, vậy nên ta cần tìm k sao cho ∆0t≤ 0 hay

(k2+ 2k)2− (8 − k2)(20 − k2) ≤ 0Chỉ cần dùng máy tính để đoán nghiệm của phương trình (k2+ 2k)2− (8 − k2)(20 − k2) = 0 là được, và emtìm được một nghiệm của nó là k = 2 Dừ em thử thay vào cái ∆x xem :

+ z

2 1 5

= 30(xy + yz + zx)

17

V T(2) = x

2 1 1+k

+ y

2 1 2+k

+ z

2 1 5+k

≥ (x + y + z)

2 1

1+k +2+k1 +5+k1

Do đó, số kmax thỏa mãn BĐT (2) phải là nghiệm của PT sau:

1

1 1+k+2+k1 +5+k1 = kGiải ra được 3 nghiệm, tất nhiên ta chọn nghiệm k = 1 bởi vì theo (1) thì k > 0 Như vậy với phân tíchtrên chúng ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ x2+ 2y2+ 5z2 ≥ 2(xy + yz + zx) = 2 Từ đósuy ra P ≥ 2(√4 + 4 − 1) = 4√2 − 2 Vậy min P = 4√2 − 2 khi x = 3z, y = 2z và z = ±

√11

11 .

Nó cũng giống với bài sau (em chỉ cần thay z bởi −z) : Cho x, y, z là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x2+ 2y2+ 5z2 = 22 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức: P = xy − yz − zx

Bài 6

Lời giải (anh Cẩn)

Theo yêu cầu của bài toán, ta cần phải đánh giá:

xy − yz − zx ≥ k(x2+ 2y2+ 5z2) (1)Nếu tìm được một số k để bất đẳng thức trên đúng và dấu bằng có thể xảy ra thì ta có thể kết luận đượcngay min P = 22k Ta viết được bất đẳng thức (1) dưới dạng:

2(xy − yz − zx) ≥ 2k(x2+ 2y2+ 5z2),hay

2(xy − yz − zx) + (x2+ 2y2+ 5z2) ≥ (2k + 1)(x2+ 2y2+ 5z2)

Bất đẳng thức cuối được thu gọn thành:

(x + y − z)2+ y2+ 4z2 ≥ (2k + 1)(x2+ 2y2+ 5z2),hay

(x + y − z)2+ (−1 − 4k)y2+ (−1 − 10k)z2 ≥ (2k + 1)x2.Nhận thấy (x + y − z) + (−y) + z = x nên ta nghĩ đến việc sử dụng Cauchy-Schwarz để đánh giá bất đẳngthức trên Muốn vậy thì hệ số của y2 và z2 bên vế trái phải dương, do đó ta nghĩ đến việc chọn k sao cho

−1 − 4k > 0 và −1 − 10k > 0, tức k < −1

4.Lúc này, ta thực hiện được đánh giá như sau:

4 nên nếu ta chọn được giá trị k



k < −14

sao cho:

√5

20 .Vậy: min P = −11 5 +

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz, ta có

14P = (a2+ b2+ c2)(1 + 9 + 4) ≥ (a + 3b + 2c)2 (1)Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz thì



≥ (1 + 9 + 4)2 = 142 (2)

3y3(x + y)2(x2 +x2 + 1)3(y2 +y2 + 1)3

S = x2y + y2z + z2xBài 9

P = (1 + cos2A)(1 + cos2B)(1 + cos2C)Bài 10

(3 + cos 2A)(3 + cos 2B) = 9 + cos 2A cos 2B + 3(cos 2A + cos 2B)

= (3 − cos C)2+ (1 − cos(A − B))(6 cos C − cos(A − B) − 1)

≥ (3 − cos C)2+ (1 − cos(A − B))(3 − cos(A − B) − 1)

≥ (3 − cos C)2Vậy nên ta chỉ cần có

(3 − cos C)2(1 + cos2C) ≥ 125

16Đặt t = cos C, (1

T = x3+ y3+ z3+ 3(x.2x+ y.2y+ z.2z)Bài 11

Lời giải

Xét hàm số f (x) = x + 1 − 2x trên [0; 1] Ta có f0(x) = 1 − 2x ln 2 Suy ra f0(x) = 0 ⇐⇒ x = log2 1

ln 2Lập BBT ta suy ra được f (x)min = f (0) = f (1) = 0

Suy ra : x ≥ 2x− 1 ⇒ x3+ 3x.2x≥ (2x− 1)3+ 3 (2x− 1) 2x= 8x− 1

Thiết lập thêm 2 BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế ta được :

T ≥ 8x+ 8y+ 8z− 3 = 7Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0; z = 1 và các hoán vị

Vậy min T = 7 khi x = y = 0; z = 1 và các hoán vị Cho x, y là các số thực thuộc khoảng (0; 1) Chứng minh rằng :

x + y + xp1 − y2+ yp1 − x2 ≤ 3

√3

2 .Bài 12

Lời giải

Do vai trò của x và y ngang nhau nên ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y; Thay vào BĐT cần chứng

2 Và từ đây ta đi đến các đánh giá sau : Ta có

2 −

1

√3





√3

2 − x

!2

+

√3

2 ,Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi x = y =

√3

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn : a2+ b2+ c2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = 6(b + c − a) + 27abcBài 13

Lời giải (thầy Mẫn)

Đây là lời lý giải đơn giản nhất mà theo tôi là một kinh nghiệm bổ ích cho các bạn

Ở đây, để cho đơn giản tôi không hề đụng chạm tới những kiến thức hàm ngoài chương trình phổ thông

Vì thế, mong các bạn đừng hỏi tại sao lại làm như vậy Tôi lấy ví dụ trên làm bài mẫu nhé

Đầu tiên, ta thay một biến, chẳng hạn c = 1 − a − b vào biểu thức P Khi đó

P = (2a3− 2a) + (3b2− 2b) + 2Tôi đã tách biểu thức P thành tổng các đa thức đơn biến riêng biệt a, b Tức là P = f (a) + g(b) + 2.Bây giờ, làm thế nào để đoán được điểm rơi

Các bạn lưu ý điều này: "Một hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 khi x0 là nghiệm của f0(x) = 0."

Các hàm số f (a), g(b) đều độc lập nên ta có thể vận dụng tính chất này của hàm số để dự đoán điểm rơinhư sau:

+ Giải các phương trình f0(a) = 0 ⇐⇒ 6a2 − 2 = 0 ⇐⇒ a = √1

√3



= −4

√3

9 , g

 13



= −13+ Mà ta thấy rằng với a, b ≥ 0 thì f (a) ≥ −4

√3



a −√13

22a +√4

3

+ 3



b − 13

2

+ 15 − 4

√3

9 ≥

15 − 4√39

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn : a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

A = 5a2 a −3

√510

!+ 3b2+ 6cBài 15

Lời giải

Thay c = 1 − a − b vào A ta được : A = 5a3−3

√5

2 a

2− 6a + 3b2− 6b + 6Xét f (b) = 5a3−3

√5

2 a

2− 6a + 6 với a ∈ [0; 1]

Ta có F0(a) = 15a2− 3√5a − 6 = 0 ⇒ a1 = 2

√5

5 , a2 = −

√5

5 .Lập bảng bảng biến thiên và ta tìm được M axF (a) = F (0) = 6

Vậy max A = 6 khi a = b = 0, c = 1

• GT N N : Đặt G(a) = A(1 − a) = 5a3+ (3 − 3

√5

Vậy GT N N của A = G(a1) khi a = −6 + 3

P = (x + y)2−p9 − x − y +√ 1

x + yBài 16

P = x2y + y2py2− x2

Bài 17

Lời giải

Điều kiện để căn thức có nghĩa: y2 ≥ x2 Từ giả thiết ta có : x2y − 2xy2+ 1 = 0

Ta có ∆0 = y4− y ≥ 0 ⇒ y ≥ 1 Dễ thấy y 6= 0 vì nếu y = 0 thì từ giả thiết ta suy ra 1 = 0

4 Từ đây ta lập BBT và suy ra được f (t) ≥ f (1) = 1Suy ra P ≥ 1 Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1 Vậy min P = 1 khi x = y = 1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn : 4y5+ x2y3− 4xy4= y3− 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

P = x3− 3x2y + 5y3Bài 18

Lời giải (thầy Mẫn)

• Quan sát và định hướng: Rõ ràng biểu thức P xem như đẳng cấp bậc ba hai biến x, y Nhưng giả thiếtthì các số hạng chứa nhiều bậc khác nhau, điều này khó khăn cho việc sử dụng hệ số bất định để xác địnhđiểm rơi hoặc đưa về một đánh giá đồng bậc Vì thế, điều chúng ta cần làm đó là tìm miền xác định vàmối quan hệ của hai biến x, y từ giả thiết, để từ đó có những đánh giá thích hợp bằng AM − GM hoặcCauchy − Schwarz

• Biến đổi giả thiết: Ta có, giả thiết có thể viết lại như sau:

y3(x − 2y)2 = y3− 1

Vì y > 0 nên từ đó suy ra y3≥ 1 ⇒ y ≥ 1 Còn biến x phụ thuộc vào biến y nhiều hơn Do đó, điểm rơi mà

ta cần dự đoán có thể xảy ra tại biên y = 1 ⇒ x = 2y = 2 Hay cụ thể công việc cần làm, ta cần dồn biểuthức P về biến y

• Đánh giá biểu thức P: Với dự đoán trên, biểu thức P sẽ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 = y = y2= y3 = = yn.Chú ý thêm nữa về cách tách biểu thức ta có

P = x3− 3.x.x.y + 4y3+ y3 = x

3+ x3+ (2y)3− 3.x.x.(2y)

2 + y

3

Viết như vậy chắc hẳn chúng ta thấy điều gì rồi đúng không? Đó chính là đẳng thức:

a3+ b3+ c3− 3abc = (a + b + c)(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca) = a + b + c

2 [(a − b)

2+ (b − c)2+ (c − a)2] ≥ 0Tức là x3+ x3+ (2y)3− 3.x.x.(2y) ≥ 0 Suy ra P ≥ y3≥ 1 Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x2+ 2y2+ 3z2 = 6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thức

P = xyz − 2(x + y + z)Bài 19

- Khi x = 2, y = −2, z = 0 thì P = −6, vậy nên min P = −6.

- Khi x = 2, y = 2, z = 0 thì P = 6, nên max P = 6 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn : x2+ 4y2+ 9z2 = 14 Chứng minh rằng

3y + 8z + xyz ≤ 12Bài 20

2

Suy ra xyz + 3y + 8z = 24 ≤ 36 hay 3y + 8z + xyz ≤ 12 Phép chứng minh hoàn tất

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 

• Anh nói ý tưởng lời giải :

Như trong bài này thì em có thể dự đoán được x = y = z = 1 rồi nhưng anh giải theo cách tổng quát.Giả sử ta tìm được dấu đẳng thức xảy ra khi x = a, y = b, z = c

Chú ý dấu đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức C.B.S : (a1b1+a2b2+· · · )2≤ (a1 +a2 +· · · )(b1 +b2 +· · · )

là a1b1= a2 : b2 = · · · , từ đó ta có đánh giá để đảm bảo dấu bằng là

(xyz + 3y + 8z+?)2 = (x.yz +√3a.√3yc + 2√2a.2√2bz + ka.kbc)2

≤ (x2+ 3a2+ 8a2+ k2a2)(y2z2+ 3c2y2+ 8b2z2+ k2b2c2)

Ta có

y2z2+ 3c2y2+ 8b2z2+ k2b2c2= y2(z2+ 3c2) + 8b2(z2+ 3c2) + (k2− 24)b2c2,vậy nên ta chon k =√24 để có thể phân tích thành nhân tử (y2+ 8b2)(z2+ 3c2) Từ đó ta có

(xyz + 3y + 8z+?)2 = (xyz + 3y + 8z + 24abc)2 ≤ (x2+ 35a2)(y2+ 8b2)(z2+ 3c2)

x2+ 35a2 = 4y2+ 32b2 = 9z2+ 27c2

x2+ 4y2+ 9z2= 14Giải hệ trên và ta tìm được a = b = c = 1

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : x2+ y2+ z2≤ 3y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 1(x + 1)2 + 4

(y + 2)2 + 8

(z + 3)2

Bài 21

Sử dụng bất đẳng thức trên ta có

P = 1(x + 1)2 + 1

y

2 + 1
2

+ 8(z + 3)2

≥ 8

x + 1 +y2 + 1
2 +

8(z + 3)2

= 8( 1

x + 1 + y2 + 1
2 + 1

(z + 3)2)

≥ 64(x + 1 + y2 + 1 + z + 3)2

= 256(2x + y + 2z + 10)2

Vậy ta chỉ cần chứng minh 2x + y + 2z ≤ a, theo các đánh giá trên thì đẳng thức xảy ra khi x = z = 1 và

y = 2 vậy nên ta cần chứng minh 2x + y + 2z ≤ 6

Em nhìn vào giả thiết và đẳng thức xảy ra nhé, em phải dùng AM − GM để hạ bậc nó xuống vì 2x, y, 2zđều là bậc 1 cả Ta có

3y ≥ x2+ y2+ z2 = (x2+ 1) + (y2+ 4) + (z2+ 1) − 6 ≥ 2x + 4y + 2z − 6Suy ra 3y ≥ 2x + 4y + 2z − 6 Hay 2x + y + 2z ≤ 6 (đúng rồi nhé!)

Từ đây ta suy ra P ≥ 256

(6 + 10)2 = 1 Đẳng thức xảy ra khi x = z = 1, y = 2

Vậy min P là 1 khi x = z = 1, y = 2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : (a + b + c)(b + 2a) = 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

Cho a, b là các số thực dương Chứng minh rằng :

b + a

2b4+ 1

a2 ≥ 6

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta suy ra

được đpcm Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Lời giải 2 (anh Cẩn)

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

a2 1

b + b

2

+ 1 ≥p3a2(a2+ b2+ 1)

≤ a2 3b2+ 3

2 +

1b

+ 2

và tiếp cận theo một cách nào đó thật khác biệt ;)) Với bài toán này chúng ta sẽ sử dụng tam thức bậc hai

để giải quyết, một tư tưởng khá mạo hiểm đúng không nào? Để có được điều này hãy viết bất đẳng thứcchứng minh về dạng :

a2 là x Khai triển ra thì phải chứng minh :

2

− 3 ≥ 0

f (x) ≥ 0 Bài toán được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : 5x2+ 4y2+ 3z2+ 2xyz = 60 Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức :

P = x + y + z

Bài 24

Lời giải (thầy Mẫn)

Đối với dạng toán này, nếu biết điểm rơi bài toán chắc có thể có nhiều hướng làm Nhưng, nếu trường hợpkhông biết điểm rơi thì phải làm thế nào? Chúng ta cùng tham khảo cách làm sau đây thử xem nhé.Đầu tiên, ta phân tích giả thiết xem có được những gì

Thật vậy, giả thiết cho ta những kết quả sau: 0 < z < 2√5 ⇒ 20 − z2 > 0, 3(9 − 2z) > 0, P − z > 0.Kết quả trên có thể có ích hay không có ích thì ta chưa biết được Bây giờ, thực hiện phép thế ta có:

5(P − y − z)2+ 4y2+ 3z2+ 2yz(P − y − z) − 60 = 0

⇐⇒ (9 − 2z)y2− 2(P − z)(5 − z)y + 5(P − z)2+ 3(z2− 20) = 0 (?)PT(?) lúc này là phương trình bậc hai, và phải tồn tại nghiệm y > 0 Do đó, từ PT(?) ta sẽ có điều kiệnhiển nhiên

(P − z)2(5 − z)2− (9 − 2z)[5(P − z)2+ 3(z2− 20)] ≥ 0 ⇐⇒ (z2− 20)[(P − z)2− 27 + 6z] ≥ 0Đến đây chúng ta mới thấy các kết quả ở trên thực sự hiệu nghiệm đúng không Tiếp tục suy ra rằng

(P − z)2− 27 + 6z ≤ 0 ⇐⇒ P ≤ z +√27 − 6z ≤ 6

Từ đó ta sẽ tìm được max P = 6 ⇐⇒ x = 1, y = 2, z = 3 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : x2+ xy + yz = 3zx và x2+ y2+ z2> 0 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức :

Ta sẽ giải quyết nó bằng Cauchy − Schwarz Chú ý dấu bằng + để sử dụng Cauchy − Schwarz ta viết

+ 3 1

y + z + 12.

1

z+x 4

)

≥ 13

3 (x + y) + 3(x + y + 2z) hay 3z ≥ x + y

Dừ chỉ hi vọng từ giả thiết nữa thôi Nhìn nào x2+ xy + yz = 3zx =⇒ 3xz ≥ x2+ xy Suy ra 3z ≥ x + yĐến đây thì đá phải con mèo rồi Và ta tìm được M inP = 34

3 khi x = 3z, y = 0. Cho x, y là các số không thỏa mãn : x(2x + 2y − 5) + y(y − 3) + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thức

P = (xy − x + 1)2+ (xy − y + 1)2Bài 26

Lời giải

Giả thiết có thể viết lại thành: (x + y − 1)(x + y − 2) = −(x − 1)2 Từ đó ta có được: 1 ≤ x + y ≤ 2

Mặt khác giả thiết cũng viết lại được dưới dạng:

2(x − 1)2+ (y − 1)2 = x + y − 2xy ⇒ x + y ≥ 2xy ⇒ 1 ≥ xy

• GTNN : Ta lại có biểu thức P có thể viết thành : a2− 2ab + 2b2− 2a + 2b + 2 = P Hay a2− 2a(b + 1) +2b2+ 2b + 2 − P = 0 (1) Trong đó a = x + y (1 ≤ a ≤ 2); b = xy (2 ≥ a ≥ 2b) Coi (1) như một phươngtrình bậc 2 theo a khi đó để tồn tại a; b ta phải có : ∆0 ≥ 0 ⇔ P ≥ b2+ 1 ⇒ P ≥ 1 Vậy M inP = 1 đạtđược khi a = 1; b = 0 ⇒ x = 1; y = 0

• GTLN : Xét hàm số f (a) = a2− 2a(b + 1) + 2b2+ 2b + 2 Ta chi làm 2 TH nhỏ sau:

+) Nếu b ≥ 1

2 ta xét hàm số trên [2b; 2]

Dễ thấy hàm số đặt max tại f (2) hoặc f (2b) (mà f (2) = f (2b) = 2(b2− b + 1))

Do đó : f (a) ≤ 2(b2− b + 1) = 2[b(b − 1) + 1] ≤ 2 Vậy trong TH này M axP = 2 khi x = y = 1

+) Nếu b ≤ 1

2 ta xét hàm số trên [1; 2]

Hàm số đạt M ax tại f (2) (vì f (2) ≥ f (1)) nên ta cũng có giá trị M ax như TH trên

Kết luận: M axP = 2 khi x = y = 1 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 2x(1 − x) ≥ y(y − 1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2

+



y − 12

2

≤ 3

4.

5a + b + 6ab ≤ 5



a2+14

+



b2+14

+ 3(a2+ b2) = 4(2a2+ b2) +3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

2, hay x = y = 1 Vậy max P = 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a3+ b3+ c3.Bài 28

Lời giải

Từ giả thiết, ta suy ra |a| ≤ 3√3 Do đó,

a3= a · a2≤ |a| · a2≤ 3√3 · a2.Đánh giá tương tự, ta cũng có

b3 ≤ 3√3b2và

√2

Do đó, bằng cách kết hợp các đánh giá lại, ta dễ dàng suy ra

A ≥ 2

√2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = z, t = 4y, 2√2(y + t) = 5(x + z) và (x + z)(y + t) = 1 Hệ trên chắcchắn có nghiệm nên ta đi đến kết luận min A = 2

√

2 Lời giải trên anh Cẩn cân bằng hệ số rồi tìm ra dấu

2≥p2(5 − l)zt1

P = (b − 2c)

2

ab + bc + ca.Bài 30

Lời giải (anh Cẩn)

Cách 1 (Đặt ẩn phụ chuyển về đối xứng)

Giả thiết của bài toán có thể được viết lại thành

2(a + b + c)2 = 7(ab + bc + ca)

Do đó,

P = 7(2c − b)

2

2(a + b + c)2.Bây giờ, đặt x = 2c − b, y = 2b − a, z = 2a − c và s = a + b + c = x + y + z thì ta có

7(ab + bc + ca) = 1

7

X(s + x + 3z)(s + z + 3y)

= 17

h3s2+ sX(x + 3y + 4z) +X(x + 3z)(z + 3y)i

= 17

h11s2+X(3xy + 9yz + zx + 3z2)i

P = 7x

2

2(x + y + z)2