Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ)

Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banachXấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

TRẦN HỌC TOÀN

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 10/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

TRẦN HỌC TOÀN

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 10/2018

RN 101.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 151.2.1 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert 151.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 161.2.3 Một số bài toán mô tả được dưới dạng bài toán bất

đẳng thức biến phân 171.2.4 Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 181.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 201.3.1 Ánh xạ j-đơn điệu 201.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 23

2 Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tậpđiểm bất động của nửa nhóm không giãn 252.1 Nửa nhóm không giãn 252.1.1 Định nghĩa Ví dụ 252.1.2 Một số tính chất 27

2.2 Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập

điểm bất động của nửa nhóm không giãn 292.2.1 Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 302.2.2 Phương pháp lặp và sự hội tụ 312.2.3 Ví dụ minh họa 39

Bảng ký hiệu

H không gian Hilbert thực

E không gian Banach

E∗ không gian đối ngẫu của E

SE mặt cầu đơn vị của E

R tập các số thực

R+ tập các số thực không âm

∀x với mọi x

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A−1 toán tử ngược của toán tử A

I toán tử đồng nhất

C[a, b] không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

lp, 1 ≤ p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp[a, b], 1 ≤ p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C

lim supn→∞xn giới hạn trên của dãy số {xn}

lim infn→∞xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đượcnhà toán học người Italia là G Stampacchia và các đồng sự đưa ra lần đầutiên vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX trong khi nghiên cứu

về bài toán biên tự do (xem [7], [9], [10] và [11]) Bài toán bất đẳng thứcbiến phân có vai trò quan trọng trong nghiên cứu toán học lý thuyết vềbài toán tối ưu, bài toán điều khiển, bài toán cân bằng, bài toán bù, bàitoán giá trị biên v.v Bên cạnh đó, bài toán bất đẳng thức biến phân còn

có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như mô hình cân bằng trongkinh tế, giao thông, bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán công nghệ lọckhông gian, bài toán phân phối băng thông v.v Do đó, việc nghiên cứucác phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đang là một trong những

đề tài thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong

và ngoài nước và nhiều kết quả sâu sắc đã được thiết lập

Đề tài luận văn giới thiệu và trình bày lại hai phương pháp lặp hiện giảibất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh

xạ không giãn trong trong không gian Banach trong bài báo [6] công bốnăm 2017

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 giớithiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều,không gian Hilbert và không gian Banach, trình bày mối liên hệ giữa bàitoán bất đẳng thức biến phân với một số bài toán liên quan Chương 2trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biếnphân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong khônggian Banach, trình bày sự hội tụ mạnh của các phương pháp và đưa ra ví

dụ minh họa.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đạihọc Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và độngviên của các thầy cô trong khoa Toán–Tin và các thầy cô trong trường.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung tâm GDNN – GDTXĐan Phượng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất chotác giả trong thời gian đi học Cao học

Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10 và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập

và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018

Tác giả luận văn

Trần Học Toàn

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan

Chương này giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân trong khônggian hữu hạn chiều và vô hạn chiều cùng một số bài toán liên quan đếnbất đẳng thức biến phân Nội dung của chương được tổng hợp từ các tàiliệu [1], [2], [3], [5] và [8]

1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian

hữu hạn chiều

1.1.1 Điểm bất động và phép chiếu mêtric

Ký hiệu RN là không gian Euclid N chiều có tích vô hướng và chuẩntương ứng ký hiệu là h., i và k.k

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một không gian mêtric với khoảng cách d.Ánh xạ F : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu

Định lý 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) (xem [2]) Nếu X là khônggian mêtric đầy đủ và nếu F : X → X là ánh xạ co, thì tồn tại duy nhấtmột điểm bất động của ánh xạ F

Nhận xét 1.1.6 (a) Định lý 1.1.5 nói chung không đúng khi F là ánh xạkhông giãn Chẳng hạn F : RN → RN xác định bởi F (x) = x, là ánh

xạ không giãn và Fix(F ) = RN

(b) Điều kiện ánh xạ co chỉ là điều kiện cần, chẳng hạn F : R → R xácđịnh bởi F (x) = sin x là ánh xạ không giãn và F có duy nhất điểmbất động Fix(F ) = {0}

Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) (xem [3]) Nếu F làánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ RN vào chính nó thì F có ít nhấtmột điểm bất động

Chú ý 1.1.8 (a) Nếu F không liên tục thì F vẫn có thể có điểm bất động.Chẳng hạn F : [0, 1] → [0, 1] xác định bởi F (x) = 0 nếu −1 ≤ x < 1

và F (x) = 1 nếu x = 1 là ánh xạ không liên tục trên [0, 1] và Fix(F ) ={0, 1}

(b) Trong Định lý 1.1.7 ta có thể thay hình cầu đóng B bởi một tập conlồi compact của RN.

Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi

Cho hai điểm a, b ∈ RN Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với

0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b].Định nghĩa 1.1.9 Tập C ⊆ RN được gọi là tập hợp lồi nếu với mọi

epif := (x, α) ∈ C × R : f(x) ≤ α (1.3)(c) Nếu domf khác rỗng và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C thì ta nói rằnghàm f là chính thường

Định nghĩa 1.1.12 Cho C ⊆ RN là một tập con lồi và khác rỗng Hàm

là một hàm lồi nhưng không là hàm lồi chặt

Định nghĩa 1.1.15 Cho C là một tập con lồi, khác rỗng trong không gian

RN Với mỗi x ∈ RN, ánh xạ PC : RN → C thỏa mãn

kx − PC(x)k = inf

u∈Ckx − ukđược gọi là phép chiếu mêtric chiếu RN lên C và y = PC(x) được gọi làhình chiếu của x lên C Nếu x ∈ C thì PC(x) = x

Bổ đề 1.1.16 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng củakhông gian RN Khi đó, với mỗi x ∈ RN, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ Csao cho

kx − yk = inf

u∈Ckx − uk (1.4)Chứng minh (a) Chứng minh tồn tại y ∈ C để kx − yk = infu∈Ckx − uk.Giả sử {uk} là một dãy cực tiểu thuộc C, nghĩa là

limk→∞kuk− xk = d = inf

limk,h→∞kuk− uhk = 0 (1.8)

Vì RN là không gian đủ nên tồn tại phần tử y ∈ C sao cho

limk→∞uk = y ∈ C (1.9)Hơn nữa

Định lý 1.1.17 (Đặc trưng của phép chiếu) (xem [3]) Cho C là mộttập con lồi đóng khác rỗng của không gian RN Khi đó y = PC(x), hìnhchiếu của x trên C, khi và chỉ khi

y ∈ C : hy, u − yi ≥ hx, u − yi ∀u ∈ C (1.10)Bất đẳng thức (1.10) có thể viết là

y ∈ C : hy − x, u − yi ≥ 0 ∀u ∈ C (1.11)Chứng minh (a) Giả sử x ∈ RN và y = PC(x) ∈ C, ta chứng minh bấtđẳng thức (1.10) Thật vậy, vì C là tập lồi, y ∈ C nên

(1 − t)y + tu = y + t(u − y) ∈ C ∀u ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1

Chứng minh Lấy x, x0 ∈ RN Giả sử y = PC(x) và y0 = PC(x0) Khi đótheo Định lý 1.1.17,

Định lý 1.1.19 (xem [3]) Cho C ⊂ RN là tập compact và lồi và F : C →

C là ánh xạ liên tục Khi đó, F có điểm bất động

Chứng minh Giả sử B là một hình cầu đóng trong RN sao cho C ⊂ B

Từ Hệ quả 1.1.18, PC là ánh xạ không giãn, do đó liên tục, suy ra ánh xạ:

F ◦ PC : B → C ⊂ Bcũng là ánh xạ liên tục từ B vào B Theo Định lý 1.1.7, ánh xạ này cóđiểm bất động, nghĩa là

F ◦ PC(x) = x ∈ C

Đặc biệt PC(x) = x nên F (x) = x 

1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian RNTrong mục này ta luôn giả thiết RN là không gian Euclid với tích vôhướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi h., i và k.k

Định nghĩa 1.1.20 Cho C là tập con lồi đóng trong RN và F : C → RN

là một ánh xạ đơn trị, còn gọi là ánh xạ giá Bài toán bất đẳng thức biếnphân với ánh xạ giá F trong không gian RN, ký hiệu là VI(F, C), đượcphát biểu như sau:

Tìm p∗ ∈ C sao cho hF (p∗), p − p∗i ≥ 0 ∀p ∈ C (1.13)

Tập hợp những điểm p∗ ∈ C thỏa mãn (1.13) được gọi là tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là S.

Ví dụ 1.1.21 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R Tìm phần

tử x∗ ∈ [a, b] thỏa mãn

f (x∗) = min

x∈[a,b]f (x)

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:

(i) Nếu x∗ ∈ (a, b) thì f0(x∗) = 0

(ii) Nếu x∗ = a thì f0(x∗) ≥ 0

(iii) Nếu x∗ = b thì f0(x∗) ≤ 0

Những phát biểu trên được tổng hợp thành

f0(x∗)(x − x∗) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],

đây là một bài toán bất đẳng thức biến phân

Ví dụ 1.1.22 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồi đóng

C của không gian Euclid N chiều RN Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn

Bài toán bất đẳng thức biến phân không phải luôn có nghiệm Chẳnghạn, nếu C = R, f (x)(y − x) ≥ 0 với mọi y ∈ R không có nghiệm nếu

f (x) = ex Định lý sau đây cho ta điều kiện tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân

Định lý 1.1.23 (xem [8]) Giả sử C là tập con lồi và compact của khônggian RN và F : C → RN là một ánh xạ liên tục trên C Khi đó, tồn tại ítnhất một điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.13)

Chứng minh Xét ánh xạ PC(I−F ) : C → C, ở đây I là ánh xạ đơn vị trên

C, tức là I(x) = x Vì PC(I −F ) : C → C là ánh xạ liên tục, nên theo Định

lý 1.1.19 nó tồn tại điểm bất động x∗ ∈ C, nghĩa là x∗ = PC(I − F )(x∗).Theo Định lý 1.1.17 về đặc trưng của phép chiếu,

hx∗, x − x∗i ≥ hx∗− F (x∗), x − x∗i ∀x ∈ C,

tức là ta nhận được bài toán bất đẳng thức biến phân (1.13)

Nhận xét 1.1.24 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong RN Đặt

Định lý 1.1.25 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng của không gianEuclid RN và F : C → RN là một ánh xạ liên tục trên C Điều kiện cần

và đủ để bài toán bất đẳng thức biến phân (1.13) có nghiệm là tồn tại một

số thực r > 0 và một nghiệm xr ∈ Cr của bài toán bất đẳng thức biến phân(1.14) thỏa mãn điều kiện

Định nghĩa 1.1.26 Cho C là một tập con lồi trong không gian RN và F

là một ánh xạ từ C vào RN Ánh xạ F được gọi là

(i) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho

hF (u) − F (v), u − vi ≥ ηku − vk2 ∀u, v ∈ C;

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu

hF (u) − F (v), u − vi > 0 ∀u, v ∈ C, u 6= v;

(iii) đơn điệu trên C nếu

hF (u) − F (v), u − vi ≥ 0 ∀u, v ∈ C

Bổ đề 1.1.27 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng trong không gian

RN và F : C → RN là ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C Khi đó, x∗ ∈ C

là nghiệm của bài toán VI(F, C) khi và chỉ khi

hF (x), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.15)

Chứng minh (a) Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán VI(F, C) Do ánh xạ

F đơn điệu nên

Mệnh đề 1.1.28 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng trong khônggian RN và F : C → RN là ánh xạ xác định trên C Khi đó, nếu F là ánh

xạ đơn điệu và liên tục trên C thì tập nghiệm S của bất đẳng thức biếnphân VI(F, C) là tập lồi, đóng (có thể là tập rỗng)

Nghiệm của bất đẳng thức biến phân nói chung không duy nhất nếukhông có thêm các điều kiện đặt lên ánh xạ F Tính duy nhất nghiệm của

bất đẳng thức biến phân phụ thuộc vào tính chất đơn điệu chặt của ánh

xạ F

Định lý 1.1.29 (xem [8]) Nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C)

là duy nhất nếu F : C → RN là ánh xạ đơn điệu chặt

Chứng minh Thật vậy, giả sử x1 ∈ C và x2 ∈ C là hai nghiệm khácnhau của VI(F, C) Khi đó,

hF (x1), x − x1i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.16)

và

hF (x2), x − x2i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.17)Lần lượt thay x = x2 trong (1.16) và x = x1 trong (1.17), sau đó cộng hai

vế tương ứng của hai bất đẳng thức thu được ta có:

hF (x1) − F (x2), x1 − x2i ≤ 0

Điều này vô lý vì giả thiết F là đơn điệu chặt Suy ra x1 = x2 

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian

Hilbert

1.2.1 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được kýhiệu lần lượt là h., i và k.k Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trongkhông gian Hilbert thực H, ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H trênC

Định lý 1.2.1 (xem [3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho

kx − yk = min

z∈C kx − zk

Điểm y ∈ C được gọi là hình chiếu của x trên C và được ký hiệu là PC(x)

Định nghĩa 1.2.2 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H, ánh xạ PC : H → C xác định bởi

kx − PC(x)k = min

z∈C kx − zkđược gọi là toán tử chiếu trên C

Sau đây là một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng

C trong không gian Hilbert thực H

Bổ đề 1.2.3 (xem [3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H Cho x ∈ H và y ∈ C Khi đó,

(i) y = PC(x) khi và chỉ khi hx − y, z − yi ≤ 0 với mọi z ∈ C

(ii) kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hPC(x) − PC(y), x − yi với mọi x, y ∈ H Do đó

PC(.) là ánh xạ không giãn, nghĩa là

kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ H

1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗngcủa H và A : C → H là một ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian Hilbert H được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hA(x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.18)

Ký hiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (1.18) là CVI(A, C) Tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân CVI(A, C) trong không gian Hilbert

H được ký hiệu là SH Nếu ánh xạ A có dạng

A(x) = x − x0 ∀x ∈ C, x0 ∈ H (1.19)thì từ Bổ đề 1.2.3 và (1.19),

hA(x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C ⇔ hx∗− x0, x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C

⇔ x∗ = PC(x0)

Do đó SH = {PC(x0)}

1.2.3 Một số bài toán mô tả được dưới dạng bài toán bất đẳng

thức biến phân

Bài toán cực trị

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H và

f : C → R là phiếm hàm lồi trên C Bài toán cực trị được phát biểu nhưsau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho: f (x∗) = min{f (x) | x ∈ C} (1.20)Mối quan hệ giữa bài toán cực trị (1.20) và bất đẳng thức biến phânCVI(A, C) được khẳng định trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.4 (xem [8]) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trongkhông gian Hilbert H và f : C → R là phiếm hàm lồi khả vi trên C Khi

đó, x∗ ∈ C là nghiệm của (1.20) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toánCVI(A, C) với A = 5f

Bài toán điểm bất động

Cho C là một tập khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C

là một ánh xạ Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:

(b) Ngược lại nếu x∗ ∈ SH thì

x∗ là điểm bất động của ánh xạ PC(I − λA), tức là

x∗ = PC(I − λA)(x∗) (1.22)

Bài toán giải hệ phương trình

Xét H = RN, C = RN và ánh xạ A : RN → RN Khi đó x∗ ∈ RN lànghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, RN) khi và chỉ khi x∗

là nghiệm của hệ phương trình A(x∗) = 0

Thật vậy, nếu A(x∗) = 0 thì bất đẳng thức ở (1.18) xảy ra dấu bằng

Do đó ta có x∗ ∈ S

Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phânVI(A, RN) thì

hA(x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ RN.Chọn x = x∗ − A(x∗) ta được

hA(x∗), −A(x∗)i ≥ 0 hay − kA(x∗)k2 ≥ 0

1.2.4 Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.18) phụthuộc vào tính chất của ánh xạ A và miền ràng buộc C Kết quả này được

chứng minh trong không gian RN Ở đây ta sẽ chứng minh lại trong khônggian Hilbert H.

Định nghĩa 1.2.7 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H Ánh xạ A : C → H được gọi là

(a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số η > 0 (gọi tắt là η-đơn điệu mạnhtrên C) nếu

Khi đó với mọi x, y ∈ C ta có

kT (x) − T (y)k2 = kPC(x − µA(x)) − PC(y − µA(y))k2

≤ kx − µA(x) − (y − µA(y))k2

= kx − yk2 − 2µhA(x) − A(y), x − yi + µ2kA(x) − A(y)k2

Sử dụng tính η-đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C củaA,

kT (x) − T (y)k2 ≤ kx − yk2 − 2µηkx − yk2 + µ2L2kx − yk2

= (1 − 2µη + µ2L2)kx − yk2

Do đó

kT (x) − T (y)k ≤p1 − µ(2η − µL2)kx − yk,trong đó

ρ = p1 − µ(2η − muL2) ∈ [0, 1)

Vậy T : C → C là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất

x∗ ∈ C sao cho T (x∗) = x∗ Do đó theo Bổ đề 1.2.6 x∗ ∈ SH

Chú ý rằng, nếu SH khác rỗng thì SH là tập lồi đóng nếu ánh xạ A đơnđiệu và liên tục Lipschitz trên C (xem [8])

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian

Banach

Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là E∗ Tadùng ký hiệu k.k cho chuẩn trong E và E∗ và viết tích đối ngẫu hx∗, xithay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E∗ tại điểm x ∈ E, tức là

hx∗, xi = x∗(x)

1.3.1 Ánh xạ j-đơn điệu

Trước hết ta trình bày các khái niệm về không gian Banach trơn, lồiđều, có chuẩn khả vi Gâteaux đều Ký hiệu SE := {x ∈ E : kxk = 1} làmặt cầu đơn vị của không gian Banach E

Định nghĩa 1.3.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọiđiểm x, y ∈ SE, x 6= y, suy ra

k(1 − λ)x + λyk < 1 ∀λ ∈ (0, 1)