Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

Möc löc

Ch÷ìng 1 Mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng

1.1 Khæng gian Banach 4

1.1.1 Khæng gian Banach ph£n x¤, lçi ·u 5

1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Banach 7

1.1.3 nh x¤ lo¤i ìn i»u trong khæng gian Banach 8

1.2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n lo¤i ìn i»u 12

1.2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u 12

1.2.2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j-ìn i»u 13

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p gi£i mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 15 2.1 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t 15

2.1.1 B i to¡n 15

2.1.2 Ph÷ìng ph¡p 16

2.2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p 18

2.2.1 Sü hëi tö cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.2) 18

2.2.2 Sü hëi tö cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.3) 24

2.2.3 Sü hëi tö cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.4) 29

2.2.4 V½ dö minh håa 34

K¸t luªn 36

lim infn→∞xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn}

xn → x0 d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· x0

xn * x0 d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x0

J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c

j ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà

Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

Mð ¦u

B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian væ h¤n chi·u

÷ñc nh  to¡n håc ng÷íi Italia l  Stampacchia (xem [12]) v  c¡c çng

sü ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k¿ XXtrong khi nghi¶n cùu v· b i to¡n bi¶n tü do B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

câ vai trá quan trång trong nghi¶n cùu to¡n håc lþ thuy¸t v· b i to¡ntèi ÷u, b i to¡n i·u khiºn, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n bò, b i to¡n gi¡trà bi¶n v.v Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n ang l  mët trong nhúng · t i thu hót ÷ñc sü quant¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc v  ¢ nhªn

÷ñc nhi·u k¸t qu£ hay, s¥u s­c B¶n c¤nh â, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥ncán câ nhi·u ùng döng cho c¡c b i to¡n thüc t¸ nh÷ mæ h¼nh c¥n b¬ngtrong kinh t¸, giao thæng, b i to¡n khæi phöc t½n hi»u, b i to¡n cængngh» låc khæng gian, b i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng v.v (xem [8],[10], [11]) Cho ¸n nay v¨n cán nhi·u v§n · mîi v  khâ cõa b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n c¦n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu vîi nhúng cæng cö to¡nhåc hi»n ¤i Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu ang ÷ñc quan t¥m

l  x¥y düng ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi tªp r ngbuëc l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå ¡nh x¤ khæng gi¢n, tªpkhæng iºm chung cõa mët hå ¡nh x¤ lo¤i j-ìn i»u, tªp nghi»m chungcõa b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºmb§t ëng trong khæng gian Hilbert v  khæng gian Banach

Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l  tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íngdèc nh§t gi£i mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong b i b¡o [5], [6] v 

[9] cõa Nguy¹n B÷íng, Nguy¹n Song H  v  Nguy¹n Thà Thu Thõy cæng

bè n«m 2016, 2017 v  2018

Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1

"Mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach" Ch÷ìng

n y giîi thi»u mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Banach ph£n x¤,lçi ·u, ¡nh x¤ ìn i»u, j-ìn i»u trong khæng gian Banach çngthíi, tr¼nh b y v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u v  j-ìn

i»u trong khæng gian Banach Ch÷ìng 2 "Ph÷ìng ph¡p lai gh²p gi£imët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n" Ch÷ìng n y tr¼nh b y ba ph÷ìngph¡p lai gh²p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j-ìn i»u trongkhæng gian Banach còng c¡c ành lþ hëi tö m¤nh cõa c¡c ph÷ìng ph¡p.Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng l  mët v½ dö minh håa cho c¡c i·u ki»n trongc¡c ành lþ hëi tö m¤nh ÷ñc thäa m¢n

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håcTh¡i Nguy¶n Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng

¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp,nghi¶n cùu T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡cth¦y, cæ trong Khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîiPGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£

ho n th nh luªn v«n n y

T¡c gi£ công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPT

H m Long ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ ÷ñc tham gia håc tªp,nghi¶n cùu

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019

T¡c gi£ luªn v«n

Ho ng Thà Hªu

Ch֓ng 1

Mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach

Ch÷ìng n y giîi thi»u mët sè ki¸n thùc v· khæng gian Banach v  b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u, j-ìn i»u trong khæng gianBanach Cö thº Möc 1.1 tr¼nh b y v· khæng gian Banach ph£n x¤, lçi

·u, ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Banach, ¡nh x¤ ìn i»u, ¡nhx¤ j-ìn i»u trong khæng gian Banach Möc 1.2 tr¼nh b y kh¡i ni»m

v  v½ dö v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u v  b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n j-ìn i»u trong khæng gian Banach Nëi dung cõa ch÷ìng

÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc tø c¡c t i li»u [1], [2], [3] v  [7].1.1 Khæng gian Banach

Cho E l  khæng gian Banach v  kþ hi»u E∗ l  khæng gian èi ng¨ucõa E Trong luªn v«n n y ta sû döng kþ hi»u k.k cho chu©n cõa c£ haikhæng gian E v  E∗ Vîi méi x ∈ E v  x∗ ∈ E∗ ta vi¸t hx∗, xi ho°c

hx, x∗i (t½ch èi ng¨u) thay cho x∗(x) N¸u E = H l  khæng gian Hilbertth¼ t½ch èi ng¨u ch½nh l  t½ch væ h÷îng h., i v  c£m sinh chu©n t÷ìngùng k.k

1.1.1 Khæng gian Banach ph£n x¤, lçi ·u

ành ngh¾a 1.1.1 (xem [1]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  ph£nx¤, n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E∗∗, khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E,

·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho

x∗(x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ E∗

ành lþ 1.1.2 (xem [2]) Cho E l  khæng gian Banach Khi â, c¡ckh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) E l  khæng gian ph£n x¤

(ii) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u

V½ dö 1.1.3 C¡c khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u, khæng gianHilbert H, khæng gian lp, Lp[a, b], 1 < p < ∞ l  c¡c khæng gian Banachph£n x¤

Kþ hi»u SE := {x ∈ E : kxk = 1} l  m°t c¦u ìn và cõa khæng gianBanach E

ành ngh¾a 1.1.4 (xem [2]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l 

(i) lçi ch°t n¸u vîi måi iºm x, y ∈ SE, x 6= y, suy ra

k(1 − λ)x + λyk < 1 ∀λ ∈ (0, 1);

(ii)lçi ·u n¸u vîi måi ε ∈ (0, 2] v  c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1,

kx − yk ≥ ε thäa m¢n th¼ tçn t¤i δ = δ(ε) > 0 sao cho

V½ dö 1.1.5

(i) Khæng gian E = Rn vîi chu©n kxk2 ÷ñc x¡c ành bði

khæng ph£i l  khæng gian lçi ch°t

(ii) Khæng gian Hilbert H l  khæng gian lçi ·u

M»nh · 1.1.6 (xem [2]) Måi khæng gian Banach lçi ·u l  khæng gianph£n x¤ v  lçi ch°t

tçn t¤i vîi x ∈ SE, kþ hi»u hy, 5kxki Khi â 5kxk ÷ñc gåi l  ¤o

h m G¥teaux cõa chu©n

(ii) Chu©n cõa E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi méi y ∈ SE,giîi h¤n (1.1) ¤t ÷ñc ·u vîi måi x ∈ SE

(iii) Chu©n cõa E ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet n¸u vîi méi x ∈ SE, giîih¤n (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi y ∈ SE

(iv) Chu©n cõa E ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet ·u n¸u giîi h¤n (1.1) tçnt¤i ·u vîi måi x, y ∈ SE

V½ dö 1.1.8 Khæng gian Hilbert H l  khæng gian câ chu©n kh£ viG¥teaux vîi 5kxk = x/kxk, x 6= 0 Thªt vªy, vîi méi x ∈ H vîi

.Vªy chu©n cõa H l  kh£ vi G¥teaux vîi 5kxk = x/kxk, x 6= 0.

1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Banach

M»nh · 1.1.9 (xem [2]) Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõakhæng gian Banach ph£n x¤ v  lçi ch°t E Khi â, vîi méi x ∈ E tçnt¤i duy nh§t mët iºm y ∈ C thäa m¢n

kx − yk = d(x, C),vîi d(x, C) = infz∈Ckx − zk

iºm y ∈ C trong M»nh · 1.1.9 cán ÷ñc gåi l  x§p x¿ tèt nh§t cõa

÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric tø E l¶n C

ành ngh¾a 1.1.11 (xem [2]) Tªp con C cõa khæng gian Banach E

÷ñc gåi l  tªp Chebyshev trong E n¸u méi iºm x ∈ E câ duy nh§tmët iºm y ∈ C l  x§p x¿ tèt nh§t cõa x

Nhªn x²t 1.1.12

(i) Tø M»nh · 1.1.9 suy ra, måi tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa mëtkhæng gian Banach ph£n x¤ v  lçi ch°t ·u l  tªp Chebyshev

(ii) Tø Nhªn x²t 1.1.12(i) suy ra måi tªp con kh¡c réng lçi âng trongkhæng gian Hilbert H ·u l  tªp Chebyshev, i·u n y câ ngh¾a l  ph²pchi¸u m¶tric PC tø H l¶n mët tªp con lçi âng C cõa H luæn x¡c ànhduy nh§t.

(iii) Vîi måi tªp Chebyshev C ⊂ E, ta câ

a + ||x−a||r (x − a) n¸u ||x − a|| > r

1.1.3 nh x¤ lo¤i ìn i»u trong khæng gian Banach

ành ngh¾a 1.1.15 (xem [3]) Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõakhæng gian Banach E nh x¤ F : C → E∗ ÷ñc gåi l :

(i) ìn i»u tr¶n C n¸u

hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C; (1.2)(ii) ìn i»u ch°t tr¶n C n¸u d§u ” = ” trong (1.2) x£y ra khi v  ch¿khi x = y;

(iii) ìn i»u ·u tr¶n C n¸u tçn t¤i mët h m li¶n töc v  t«ng ng°t

α : [0, ∞) → [0, ∞) vîi α(0) = 0 v  α(t) → ∞ khi t → ∞ sao cho

ành ngh¾a 1.1.16 (xem [3]) nh x¤ Js : E → 2E∗, s > 1 (nâi chung

l  a trà) x¡c ành bði

Jsx =

n

us ∈ E∗ : hx, usi = kxkkusk, kusk = kxks−1o,

÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach E Khi

s = 2, ¡nh x¤ J2 ÷ñc kþ hi»u l  J v  ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©nt­c cõa E Tùc l 

M»nh · 1.1.18 (xem [2]) Cho E l  khæng gian Banach thüc v 

J : E → 2E∗

l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E Khi â,

(i) J (0) = {0}

(ii) Vîi méi x ∈ E, J(x) l  tªp lçi âng, bà ch°n v  kh¡c réng

(iii) J (λx) = λJ (x) vîi måi x ∈ E v  λ ∈ R

(iv) N¸u E∗ l  khæng gian lçi ch°t th¼ J l  ¡nh x¤ ìn trà

M»nh · 1.1.19 (xem [2]) Cho E l  khæng gian Banach trìn tùc l n¸u vîi méi iºm x n¬m tr¶n m°t c¦u ìn và SE tçn t¤i duy nh§t mëtphi¸m h m gx ∈ E∗ sao cho hx, gxi = kxk v  kgxk = 1 Khi â,

kxk2+ 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2 ≤ kxk2+ 2hy, j(x + y)i

ành ngh¾a 1.1.21 (xem [2]) nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l  ¡nh x¤

γ-gi£ co ch°t n¸u tçn t¤i h¬ng sè γ ∈ (0, 1) v  j(x − y) ∈ J(x − y) saocho

hT (x) − T (y), j(x − y)i ≤ kx−yk2−γk(I−T )(x)−(I−T )(y)k2 ∀x, y ∈ C,

(1.4)vîi γ l  h¬ng sè khæng ¥m cè ành Trong (1.4), n¸u γ = 0 th¼ T ÷ñcgåi l  ¡nh x¤ gi£ co

Nhªn x²t 1.1.22 (xem [2])

(i) N¸u T : E → E l  ¡nh x¤ γ-gi£ co ch°t th¼ T l  ¡nh x¤ L-li¶n töcLipschitz vîi L = 1 + 1/γ

(ii) Måi ¡nh x¤ khæng gi¢n ·u l  ¡nh x¤ gi£ co li¶n töc

ành ngh¾a 1.1.23 (xem [3]) nh x¤ F : E → E ÷ñc gåi l 

(i) η-j-ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè η > 0 sao cho vîi måi x, ythuëc tªp x¡c ành D(F ) cõa ¡nh x¤ F , ta câ

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ ηkx − yk2, j(x − y) ∈ J (x − y);

(ii) α-j-ìn i»u m¤nh ng÷ñc (hay α-çng bùc j-ìn i»u) n¸u tçn t¤ih¬ng sè α > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(F ), ta câ

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ αkF (x) − F (y)k2, j(x − y) ∈ J (x − y);

(iii) j-ìn i»u n¸u vîi måi x, y ∈ D(F ), ta câ

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y);

(iv) j-ìn i»u cüc ¤i n¸u F l  ¡nh x¤ j-ìn i»u v  ç thà G(F ) cõa

¡nh x¤ F khæng thüc sü bà chùa trong b§t k¼ mët ç thà cõa mët ¡nhx¤ j-ìn i»u kh¡c;

(v) m-j-ìn i»u n¸u F l  ¡nh x¤ j-ìn i»u v  R(F + I) = E, ð ¥yR(F ) l  kþ hi»u tªp gi¡ trà cõa ¡nh x¤ F

ành ngh¾a 1.1.24 (xem [3]) nh x¤ F : E → E∗ ÷ñc gåi l  li¶n töctheo tia t¤i iºm x ∈ E n¸u F (x + th) * F (x), khi t → 0 v  F ÷ñcgåi l  li¶n töc theo tia tr¶n E n¸u nâ li¶n töc theo tia t¤i måi x ∈ E.Nhªn x²t 1.1.25 N¸u F l  mët ¡nh x¤ li¶n töc, th¼ F l  li¶n töc theotia i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Ngo i ra n¸u F : E → E∗ l  ¡nh x¤

ìn i»u v  li¶n töc theo tia vîi D(F ) = E th¼ F l  ¡nh x¤ ìn i»ucüc ¤i

1.2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n lo¤i ìn i»u

1.2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u

Cho C l  tªp con kh¡c réng lçi âng cõa khæng gian Banach E v 

¡nh x¤ F : E → E∗, khæng gian èi ng¨u cõa E B i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n vîi ¡nh x¤ gi¡ F v  tªp r ng buëc C, kþ hi»u l  VI(F, C),

÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

T¼m ph¦n tû x∗ ∈ C thäa m¢n: hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.5)N¸u F l  ¡nh x¤ ìn i»u th¼ b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.5) ÷ñc gåi

¤t cüc tiºu t¤i t = 0 Suy ra φ0(t) ≥ 0 Hay

Bê · sau n¶u mèi li¶n h» giúa ¡nh x¤ j-ìn i»u v  ¡nh x¤ gi£ co

Bê · 1.2.4 (xem [7]) Cho T : D(T ) ⊂ E −→ E l  mët ¡nh x¤ Khi

â, T l  ¡nh x¤ j-ìn i»u khi v  ch¿ khi I − T l  ¡nh x¤ gi£ co, vîi I

l  ¡nh x¤ ìn và trong E

M»nh · 1.2.5 (xem [7]) Cho E l  khæng gian Banach trìn v 

F : E → E l  ¡nh x¤ η-j-ìn i»u m¤nh v  γ-gi£ co ch°t vîi η + γ > 1.Khi â,

(iii) QC l  ¡nh x¤ theo tia, tùc l  vîi måi 0 < t < ∞

(i) QC l  ¡nh x¤ khæng gi¢n theo tia

(ii) hx − QC(x), j(y − QC(x))i ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C

Chó þ 1.2.8 Khi X l  khæng gian Hilbert H th¼ ¡nh x¤ QC ch½nh l ph²p chi¸u m¶tric PC chi¸u H l¶n C

Ch֓ng 2

Ph÷ìng ph¡p lai gh²p gi£i mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íngdèc nh§t gi£i mët lîp b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach.Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð c¡c b i b¡o [5], [6] v  [9]cæng bè n«m 2016, 2017 v  2018

2.1 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t

2.1.1 B i to¡n

Cho E l  khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v  câ chu©n kh£

vi G¥teaux ·u, F : E → E l  ¡nh x¤ η-j-ìn i»u m¤nh v  γ-gi£ coch°t vîi η + γ > 1 Cho {Ti}∞i=1 l  mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤khæng gi¢n tr¶n E vîi

C := ∩∞i=1Fix(Ti) 6= ∅,

ð ¥y Fix(Ti) := x ∈ E : Ti(x) = x l  tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤

Ti, i = 1, 2, Lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc nghi¶n cùutrong ch÷ìng n y l :

T¼m ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗), j(x − x∗)i ≥ 0 ∀x ∈ C, (2.1)

ð ¥y j l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà cõa E Kþ hi»u b i to¡n(2.1) l  VI∗(F, C).

iºm x∗ ∈ C thäa m¢n (2.1) ÷ñc gåi l  nghi»m cõa b i to¡n VI∗(F, C).Tªp nghi»m cõa b i to¡n VI∗(F, C) kþ hi»u l  S(F,C)

Nhªn x²t 2.1.1

(i) B i to¡n (2.1) ÷ñc Aoyama v  c¡c çng nghi»p · xu§t l¦n ¦u ti¶n

v o n«m 2006 (xem [4]) C¡c t¡c gi£ ¢ x¥y düng mët ph÷ìng ph¡p l°pgi£i b i to¡n n y trong tr÷íng hñp E l  khæng gian Banach lçi ·u v 2-trìn ·u, F l  ¡nh x¤ α-j-ìn i»u m¤nh ng÷ñc v  thu ÷ñc sü hëi

tö y¸u cõa d¢y l°p Trong [4] công ch¿ ra b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n (2.1) câ li¶n h» vîi b i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ phi tuy¸n,

b i to¡n t¼m khæng iºm cõa to¡n tû j-ìn i»u

(ii) Khi E l  khæng gian Hilbert thüc H th¼ b i to¡n (2.1) trð th nh b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cê iºn:

T¼m ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (2.2)(iii) N¸u ¡nh x¤ F : E → E l  ¡nh x¤ η-j-ìn i»u m¤nh th¼ nghi»m(n¸u câ) cõa b i to¡n (2.1) l  duy nh§t

Thªt vªy, gi£ sû x∗, y∗ ∈ S(F,C) Khi â,

b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢ntrong khæng gian Banach thüc ph£n x¤ lçi ch°t E.

Ph÷ìng ph¡p 2.1.2 (xem [5]) Vîi xu§t ph¡t ban ¦u x1 ∈ E tòy þ,d¢y l°p {xk}∞k=1 ÷ñc x¥y düng nh÷ sau

xk+1 = (I − λkF ) ¯Sk(xk), k = 1, 2, (2.3)trong â ¡nh x¤ ¯Sk ÷ñc x¡c ành bði

Ph÷ìng ph¡p 2.1.4 (xem [9]) Vîi xu§t ph¡t ban ¦u x1 ∈ E tòy þ,d¢y l°p {xk}∞k=1 ÷ñc x¥y düng nh÷ sau

2.2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p

2.2.1 Sü hëi tö cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.2)

Sü hëi tö m¤nh cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.2) ÷ñc ph¥n t½ch v  chùngminh düa tr¶n c¡c bê · sau ¥y

Bê · 2.2.1 (xem [13]) Cho {ak}∞k=1 l  mët d¢y sè thüc khæng ¥m thäam¢n i·u ki»n

(iii) lim supk→∞ck ≤ 0.

Khi â, limk→∞ak = 0

Bê · 2.2.2 (xem [2]) Gi£ sû {xk}∞k=1 v  {zk}∞k=1 l  c¡c d¢y bà ch°ntrong khæng gian Banach E thäa m¢n

Khi â, limk→∞kxk − zkk = 0

Bê · 2.2.3 (xem [2]) Cho Q l  mët tªp con lçi âng cõa khæng gianBanach lçi ch°t E, {Ti}∞i=1 l  mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n tr¶n Q thäa m¢n ∩∞

i=1Fix(Ti) 6= ∅ Gi£ sû {ti}∞i=1 l  mët d¢y sè thücd÷ìng thäa m¢n P∞

i=1ti = 1 Khi â, ¡nh x¤ T tr¶n Q x¡c ành bði

γ-t ∈ (0, 1), chån mët sè λt ∈ (0, 1) tòy þ sao cho λt → 0 khi t → 0 v  gi£

sû {yt} l  d¢y x¡c ành bði

yt = (I − λtF )T (yt)

Khi â d¢y {yt} hëi tö m¤nh tîi x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n (2.1) vîi C = Fix(T ), ÷ñc gi£ thi¸t l  kh¡c réng, khi t → 0